小数乘法教学案例
最近发展区理论是由前苏联心理学家维果茨基提出的，它指的是现有水平和潜在发展水平之间的幅度，也叫做“教学的最佳期”。维果茨基认为在此基础上的教学是促进学生发展的最佳教学，就有可能使学生通过努力达到较高智能的发展。在教学实践中我们都会有这样的体会：假如教学过程没有落实在学生已经达成的发展水平或超越学生的“最近发展区”，就会影响学生参与的积极性，使师生之间产生互动障碍。笔者执教小学数学已经十余载了，自以为对学生学习某一数学知识的“最近发展区”的把握十拿九稳，但在前段时间组织学生进行小数乘法计算练习时却遭遇了失败，这才发觉自己这份自信实在是没有理由。
[镜头回放]
师出示3.8×2.5、7.5×5，请学生估计这两题小数乘法的积是多少？（略）
师：哪一题比较简便？你能计算出它的正确结果吗？（学生计算，教师巡视。）
生：7.5×5=（7+0.5）×5=7×5+0.5×5=37.5
生：7.5×5=75×5÷10=375÷10=37.5
生：7.5×5=15+15+7.5=37.5
生：我是笔算的…
我表扬了学生能运用原有知识解决新问题，然后请他们继续用自己的方法计算剩下的乘法算式3.8×2.5。
学生蛮有把握地开始计算，然而我在巡视时发现有部分学生采用了这样的一种方法：3.8×2.5=3×2+0.8×0.5=6+0.4=6.4，并且这样计算的学生之多出乎我的意料。着急之中我努力思量学生为什么会这样计算，细细想后，我也就释然了：原来学生运用乘法分配律计算7.5×5时，体会到了这种方法的便捷，因此比较乐意用这种方法去计算，但学生在运用乘法分配律时却出现了错误。这显然是受到前一个学习环节的影响，是知识的负迁移。
面对学生的“错误”，我决定根据课堂出现的实际情况，引导学生勇敢地说出这种算法，并把错因作为重点进行分析讨论。（此时的我在暗暗得意自己敏锐的课堂资源捕捉能力）
在师生一起分析了3.8×2.5另外几种正确算法的算理后，我问学生还有没有其他的算法，生1站起来说：“我的算法跟他的不一样，是运用乘法分配律算的，结果却跟估算的结果相差比较远。我是这样算的：3.8×2.5=3×2+0.8×0.5=6+0.4=6.4，我也不知道自己错在哪里？！”（部分学生跟着他表示疑惑不懂）
学生的疑惑已经出炉了，“是啊，这是怎么回事呢？”我把问题重新抛回了学生。我试图想在学生自己的群体中寻找到答案，让学生用他们自己的理解来进行解释，也许效果会更好些。
我的眼神期盼地寻找着，这时生2举手了，一脸蛮有把握的样子。这是一位思维敏捷的学生，于是我请他为大家解惑：“这样计算比原来的结果小了。3.8×2.5=（3+0.8）×（2+0.5），我们可以先把（3+0.8）看作一个整体，然后运用乘法分配律可以得到（3+0.8）×（2+0.5）=（3+0.8）×2+（3+0.8）×0.5，然后再用一次乘法分配律可以得到3×2+0.8×2+3×0.5+0.8×0.5。我们可以与他的3×2+0.8×0.5比较一下，像他那样计算就会比正确结果小了。”
学生们听得很专心，他们的敬佩神态中还是透着厚厚的迷茫。
我惊叹学生2的出色解释，但是连续运用两次的乘法分配律，而且要把一个算式看成一个整体，其他的学生能理解这种解释吗？于是我决定自己出手了，我开始引导：“大家想一想3.8×2.5表示什么意义？”
教师里一片寂静，没有学生响应，个个沉默着。学生启而不发，我只好填鸭了：“3.8×2.5就是表示3.8的2.5倍是多少。所以3.8×2.5=3.8×2+3.8×0.5，我们可以把这个结果与3×2+0.8×0.5比较一下……”从他们的眼神中我发现我的解释并没有被学生接受，但我实在是没有招数了。幸亏练习时也不再有学生采用那种错误的计算方法（这是因为那一部分学生对其中的奥秘虽然是不知所以然，但他们还是感觉到了那是错误的算法，所以不再选用），但是我知道我原先的自以为是的“出手”却是失败的……
[惑……]
“最近发展区”是学生现有发展水平与潜在发展水平之间的桥梁，是教师课堂教学的重要依据。本案例中，教师在面对学生学习发生思维障碍出现错误时，成功捕捉到了课堂教学中生成的错误资源，教者也意识到应该好好利用这“生成点”，要因势利导地帮助学生深究其错误根源，要使学生在其“最近发展区”的基础上理解并解决问题。但是这节课之后，面对教者那自以为是却劳而无功的“出手”，笔者不禁疑惑了：
1、难道教者当时的引导“大家想一想3.8×2.5表示什么意义？”“3.8×2.5就是表示3.8的2.5倍是多少。所以3.8×2.5=3.8×2+3.8×0.5，我们可以把这个结果与3×2+0.8×0.5比较一下……” 这样的解释不正是建立在学生已有知识的“最近发展区”吗？学生为什么不接受他们认知水平可以理解的解释呢？
2、课堂练习时虽然已经不再有学生采用那种错误的计算方法，这是因为那一部分学生对其中的奥秘虽然是迷惘，但他们还是感觉到了那是一种错误的算法，所以从大流乖巧地不再选用。这种“不知所以然”的知识状况的存在对学生数学能力的发展甚至对于后续的数学课堂教学将会产生怎样的后果呢？
[思……]
学生的数学活动是主动而富有个性的，教师必须在教学活动中不断的关注学生学习的个性化特征。案例中学生们当时的神态表明他们已经相信3.8×2.5=3×2+0.8×0.5这样计算，确实是丢了一些“东西”，而生2的精彩发言显然离学生知识的“最近发展区”比较远。那么怎样引领学生在“最近发展区”的基础上学习数学才是有效的呢？
一、追根究底，重觅“最近发展区”。
疑惑中细细思量，发觉问题就出在没有正确把握当时学生的“最近发展区”。在当时的教学情景中，由于生2对乘法分配律的精彩运用，使学生的思维陷入其中不能自拔。学生关心的是用乘法分配律计算，他们在积极思考运用乘法分配律计算的两种不同结果。可是急于求成的我没有留给学生消化与评价的时间，却另起厨灶自以为是地启发“大家想一想3.8×2.5表示什么意义？”结果却是启而不发只好“填鸭”了。如此启发显然是没有落实在学生思维的“最近发展区”，遭遇学生思维冷遇就在所难免了。
吃一堑长一智。如果笔者当时能因势利导，进行这样的启发：“生2对乘法分配律理解得很好，如果大家觉得运用乘法分配律进行这样的计算有难度，你可以只拆开一个数，再用乘法分配律，相信你会发现计算结果确实比正确的小了。”学生肯定能发现3.8×2.5=3.8×（2+0.5）=3.8×2+3.8×0.5，在这基础上还可以继续引导他们拆分3.8，就可以得到3×2+0.8×2+3×0.5+0.8×0.5。这样的引导为学生理解生2的解释降低坡度，应该是更贴近学生思维的“最近发展区”，而且对提出见解的生2更是一种积极的评价。遗憾的是当时的我虽然是对生2的回答作出了肯定的评价，但却没有借机顺势而导，这个学生的失落肯定会波及其他学生，影响他们对问题探究的积极性。
二、有效引领，探寻“最近发展区”。
加涅（Gagne）认为，学生学习的所有内部过程是在学习者以外的事物的影响和作用下发生的，即学习是学习者与外部环境相互作用的结果。学生解决问题的水平不但受原有水平的影响，而且受具体的教学情景的影响。教师对学生在课堂教学中动态发展的“最近发展区”要有捕捉的能力。案例中的相当一部分学生采用“3.8×2.5=3×2+0.8×0.5=6+0.4=6.4”这种算法，就是受到前一个学习环节的影响。如果教师不加分析，责难学生，学生的学习情绪就会受到影响，不敢暴露自己的真实想法，师生之间的交流就不再顺畅，从而就会导致学生参与这种算法错因分析的积极性不高。而案例中，学生对错因的“不知所以然”不仅不能使知识得到迅速的成长，而且不利于学生相应的“情感、态度和价值观”的培养，甚至不利于师生关系的和谐发展。长期的如此状况将会是学习上一个极大的反作用力，不容忽视。
在具体的教学情景中，教师对学生的评价，学生之间的互动，教学环节的安排等都影响着学生“最近发展区”的生成。教师要想使师生之间的互动顺畅，不仅在课前要认真分析学生知识层面上、解决问题水平上的“最近发展区”，更需要我们在教学实践中有敏锐的观察能力，捕捉学生思想的能力，积极关注学生在课堂教学中的动态的“最近发展区”，要用心捕捉和筛选学生学习活动中反馈出来的、有利于学习者进一步学习建构的生动情境和鲜活的课程资源，及时调整教学行为、教学环节。特别是要坚持在有一定思维价值的问题上，组织学生进行“再创造”式的探究性学习，教师要正确把握学生学习的“最近发展区”巧点妙引，给足时间，让学生深入探究，让“最近发展区”成为学生数学学习的兴奋点。
综上所述，最近发展区理论在数学教学中的运用，它既符合儿童的认识规律，又符合儿童的身心发展规律。我们要针对班级的实际情况，善启善诱，大胆实践，科学地把学生最近发展区的水平转化为现有发展水平，又将现有发展水平引导到新的最近发展区，循环往复，使学生的学习一步一步地向前深化。所以，维果茨基强调教学不能只适应发展的现有水平，而应适应“最近发展区”，从而走在发展的前面，最终跨越“最近发展区”而达到新的发展水平。
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