第一篇：弦切角定理证明
弦切角定理证明
弦切角定理
编辑本段弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）
如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。
编辑本段弦切角定理
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：
证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。
∵∠tcb=90-∠ocb
∵∠boc=180-2∠ocb
∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）
∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠tcb(敬请期待公文素材库更好文章：www.bsmz.neta=弧ca
∵为半圆,
∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.
过a作直径ad交⊙o于d,
若在优弧m所对的劣弧上有一点e
那么，连接ec、ed、ea
则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab
∴∠cea=∠cab
∴(弦切角定理)
(3)圆心o在∠bac的外部,
过a作直径ad交⊙o于d
那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90
∴∠cda=∠cab
∴(弦切角定理)
编辑本段弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
应用举例
例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.
解：连结oa，ob.
∵在rt△abc中,∠c=90
∴∠bac=30°
∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.
求证：ef∥bc.
证明：连df.
ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac
∠efd=∠bad
∠efd=∠dac
⊙o切bc于d∠fdc=∠dac
∠efd=∠fdc
ef∥bc
例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，
求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.
证明：∵ab是⊙o直径
∴∠acb=90
∵cd⊥ab
∴∠acd=∠b，
∵mn切⊙o于c
∴∠mca=∠b，
∴∠mca=∠acd，
即ac平分∠mcd，
同理：bc平分∠ncd.
第二篇：弦切角定理的证明
弦切角定理的证明
弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明
证明：设圆心为o，连接oc，ob，oa。过点a作tp的平行线交bc于d，
则∠tcb=∠cda
∵∠tcb=90-∠ocd
∵∠boc=180-2∠ocd
∴,∠boc=2∠tcb
证明：分三种情况：
(1)圆心o在∠bac的一边ac上
∵ac为直径，ab切⊙o于a，
∴弧cma=弧ca
∵为半圆,
(2)圆心o在∠bac的内部.
过a作直径ad交⊙o于d,
那么
.
(3)圆心o在∠bac的外部,
过a作直径ad交⊙o于d
那么
2
连接并延长to交圆o于点d，连接bd因为td为切线，所以td垂直tc，所以角btc+角dtb=90因为td为直径，所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a
3
编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pt切圆o于点c，bc、ac为圆o的弦，∠tcb，∠tca，∠pca，∠pcb都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb=∠cab（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角b点应在a点左侧(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.
第三篇：弦切角定理证明方法
弦切角定理证明方法
(1)连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。得oc‖ad，知∠oca=∠cad。
而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。进而有∠oac=∠bac。
由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。
(2)连接bc，且作ce⊥ab于点e。立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。
由射影定理有ac²=ae*ab。又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。
第一题重新证明如下：
首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。
连接oa、oc、bc，则有
∠acd+∠aco=90°
=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)
=(1/2)(2∠aco+∠aoc)
=∠aco+(1/2)∠aoc,
所以∠acd=(1/2)∠aoc，
而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，
得∠acd=∠cba。
另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，
所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。
2
证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。
∵∠tcb=90-∠ocb
∵∠boc=180-2∠ocb
∴,∠boc=2∠tcb(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)
∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)
∴∠tcb=∠cab(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)
证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.
求证：(弦切角定理)
证明：分三种情况：
(1)圆心o在∠bac的一边ac上
∵ac为直径，ab切⊙o于a，
∴弧cma=弧ca
∵为半圆,
∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.
过a作直径ad交⊙o于d,
若在优弧m所对的劣弧上有一点e
那么，连接ec、ed、ea
则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab
∴∠cea=∠cab
∴(弦切角定理)
(3)圆心o在∠bac的外部,
过a作直径ad交⊙o于d
那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90
∴∠cda=∠cab
∴(弦切角定理)
编辑本段弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
应用举例
例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.
解：连结oa，ob.
∵在rt△abc中,∠c=90
∴∠bac=30°
∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)
例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.
求证：ef∥bc.
证明：连df.
ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac
∠efd=∠bad
∠efd=∠dac
⊙o切bc于d∠fdc=∠dac
∠efd=∠fdc
ef∥bc
例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，
求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.
证明：∵ab是⊙o直径
∴∠acb=90
∵cd⊥ab
∴∠acd=∠b，
∵mn切⊙o于c
∴∠mca=∠b，
∴∠mca=∠acd，
即ac平分∠mcd，
同理：bc平分∠ncd.
第四篇：弦切角的逆定理的证明
弦切角逆定理证明
已知角cae=角abc，求证ae是圆o的切线
证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，
则角adc=角abc=角cae
而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae
所以角dae=角dac+角cae=90度
故ae为切线
第五篇：弦切角、切割线、相交弦三条圆这一章已删定理的证明
肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王老师18201*60373
弦切角、切割线、相交弦
三条圆这一章已删定理的证明
一、弦切角定理
1、弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图（1）所示，ab为圆的一条弦，bc为圆的切线，∠abc即为圆的的弦切角。
图（1）
bc
2、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半。证明如下：
a
图（2）
如图（2）所示，已知ab为⊙o的直径，bd为过圆上b点的切线，求证：（1）∠cbd=∠cab,∠cbd=∠ceb（2）∠cbd=∠cob 21证明：（1）∵ab为⊙o的直径，bd为过b点的切线∴ab⊥bd
∴∠abd=90o
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肯特教育欢迎各位朋友批评指正，王老师18201*60373∴∠abc＋∠cbd=90°
∵ab为⊙o直径
∴∠acb=90°
则∠abc＋∠cab=90°
∴∠cbd=∠cab
∵∠cab和∠ceb同弧所对的圆周角∴∠cab=∠ceb
则∠cbd=∠ceb
（2）∵∠cab和∠cob是同弧所对的圆周角和圆心角∴ ∠cab=∠cob 21
又∵∠cbd=∠cab
∴∠cab=∠cob 21
二、切割线定理及推论
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。证明如下：
图（3）
如图（3）所示，直线pa与圆相切于a点，直线pc与圆相交于b、c两点，求证：pa2=pb·pc
证明：连结ba、ca
∵pa为圆的切线∴∠pab=∠pca（弦切角定理）
∵∠pab=∠pca，∠bpa=∠apc（公共角）∴△pab∽△pca
∴pa
pc = pb
pa
∴ pa2=pb·pc
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