如何证明等差数列(精选多篇)

第一篇：如何证明等差数列

如何证明等差数列

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差：an-(an-1)=常数(n≥2)

等比：an/(an-1=常数(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).

2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明：

1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

则sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是s(k+1)=a(k+1)+sk

而由题意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时，推测仍成立。

3

在新的数列中

an=s

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

a(n-1)=s

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。

4

a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差为3/4an除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

5

那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)²=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b

所以三边之比为3：4：5

6

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

第二篇：等差数列的证明

等差数列的证明

1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差：an-(an-1)=常数(n≥2)

等比：an/(an-1=常数(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).

2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明：

1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

则sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是s(k+1)=a(k+1)+sk

而由题意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时，推测仍成立。

3

在新的数列中

an=s

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

a(n-1)=s

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。

4

a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差为3/4an除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

5

证明：

an=sn-sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2

2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1

(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1(1)

同理

(n-1)*(an+1)=nan-a1(2)

(1)-(2)

得到

(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)

2an=an-1+an+1

所以an+1-an=an-an-1

所以数列{an}是等差数列

那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)&su(感谢访问公文素材库：www.bsmz.net的轨迹方程为椭圆。然后在根据圆的性质：切点与圆心的连线与切线垂直，切点与圆心的距离等于半径，再加上向量垂直，即可求解。

?12x2

222?y2?1 解：?b?x?y?1?0?x?4y?4?44

设圆的切线的切点坐标为p(x0,y0)，则k0p?y0x，因为op和ab垂直，所以kab??0，x0y0则设直线ab的方程：y?y0??x0(x?x0)带入到椭圆方程中，得： y0

2(y0?4x0)x?8x0rx?4r?4y0?0?x1?x2?222248x0r2

y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222

r2?x0x1r2?x0x2又因为0a?0p?x1x2?y1y2?0?x1x2?()()?0y0y0

?x1x2?r2?x0(x1?x2)?0

将上面求得的x1?x2?8x0r2

y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222带入到上式中，整理可求得

r2?4422，即圆的方程为x?y? 55

⊙设ａ＞１，则双曲线ｘ2÷ａ2－ｙ2÷（ａ＋１）2＝１的离心率ｅ的取值范围是？ a2?(a?1)21解：e??2a??2?5 aa

总结;最后求范围是根据对勾函数求的，如果不懂，可以参考函数课程中的“分式函数”这节课。

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