第一篇：证明极限不存在
证明极限不存在
二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..
2
是因为定义域d={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点
沿着两条直线y=2x
y=-2x趋于(0,0)时
极限分别为-3和-1/3不相等
极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等
所以极限不存在
3
lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
证明该极限不存在
lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)
=1-lim8/
因为不知道x、y的大校
所以lim(x和y)趋向于无穷大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
极限不存在
4
如图用定义证明极限不存在~谢谢!!
反证法
若存在实数l，使limsin(1/x)=l，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，
使|sin-l|<1/3，
和|sin-l|<1/3，
同时成立。
即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同时成立。
这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。
第二篇：如何证明极限不存在
如何证明极限不存在
反证法
若存在实数l，使limsin(1/x)=l，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，
使|sin-l|<1/3，
和|sin-l|<1/3，
同时成立。
即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同时成立。
这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。
反证法：
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在
假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)
矛盾
所以原命题成立
令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^3-x^2/x^2=-1
两种情况极限值不同，故原极限不存在
2答案：首先需要二项式定理：
(a+b)^n=∑c(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)
用数学归纳法证此定理：
n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即：
(a+b)^n1=∑c(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)
则，当n=n1+1时:
式二两端同乘(a+b)
*(a+b)=*(a+b)
=(a+b)^(n1+1)=∑c(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)
因此二项式定理(即式一成立)
下面用二项式定理计算这一极限：
(1+1/n)^n(式一)
用二项式展开得：
(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+∞,得0。因此总的结果是当n-+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：
(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)
当n-+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。
第三篇：证明二重极限不存在
证明二重极限不存在
如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，y。。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。o13a1673-3878(201*)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，yo)的特殊曲线，如果动点(x，y)沿这些曲线趋于(xo，y。)时，f(x，y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，y)不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。
3
当沿曲线y=-x+x^2趋于(00)时，极限为lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;
当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx^2/2x=0。故极限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
f(x,y)=————————
x+y
它的累次极限存在：
x-y+x^2+y^2
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x^2+y^2
limlim————————=1
x->0y->0x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
第四篇：极限不存在的证明
不如何证明极限不存在
一、归结原则
原理:设f在u0(x0;?")内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于
x?x0
u(x0;?)且以x0为极限的数列?xn?极限limf(xn)都存在且相等。
"
n??
例如：证明极限limsin
x?0
1x
不存在
12n??
证：设xn??
1n?
?,xn?
?
2
(n?1,2,?)，则显然有
xn?0,xn?0(n??)，si由归结原则即得结论。
??
?0?0,si?1?1(n??)??xnxn
二、左右极限法
原理：判断当x?x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)?arctan(因为limarctan(
x?0
?
1x
)
当x
?0
时的极限不存在。
1x)?
1x
)??
?
2
x=0，limarctan(
x?0
?
?
2
，limarctan(
x?0
?
1x
)?lim?arctan(
x?0
1x
)，
所以当x?0时，arctan(
1x
)的极限不存在。
三、证明x??时的极限不存在
原理：判断当x?
?
时的极限，只要考察x???与x???时的极限，如果两者
相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)?ex在x?
x???
?
时的极限不存在
x???
x???
xxxx
因为lime?0，lime???；因此，lime?lime
x???
所以当x?
四、柯西准则
?
时，ex的极限不存在。
0"
原理：设f在u(x0;?)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给?
x?x0
?0
，存
在正数?(???)，使得对任何x?,x???u0(x0;?)，使得f(x?)?f(x??)??0。 例如：在方法一的例题中，取?0?1，对任何??0，设正数n?
x??1
n?,x???1
n??1?，令?
2即证。
五、定义法
原理：设函数f(x)在一个形如(a,??)的区间中有定义，对任何a?r，如果存在
?0?0，使对任何x?0都存在x0?x,使得f(x0)?a??0,则f(x)在x???
x???时没有极限。 例如：证明limcosx不存在
设函数f(x)?cosx，f(x)在(0,??)中有定义，对任何a?r，不妨设a?取?0?120,，于是对任何??0，取?0?0 反证法（利用极限定义） 数学归纳法
第五篇：极限证明
极限证明
1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x， limf(k)(x)?0． x???
2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为
偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和． x
f(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，???
?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．
sin(f(x))?1．求证limf(x)存在． 4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???
5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。
6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n
7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.
8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。 an?1
t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，
为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。
10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?. n??2n2
11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。
12.证明：若???
af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.
11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?
n
14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.
15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f"?xn??0.
16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f"?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0
??
?r?0?.
i
?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f"?x2?y2?dxdy;?3?求limr2
r??
d
r
17.设f?x?于[a,??)可导，且f"?x??c?0?c为常数?,证明：
?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。
18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明lim
ana?.
n???bbn
?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，
在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明：lims?x????.
x?x0
20.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理?
??a
23.设?
f(x)= 0. 证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,???上一致连续，???
24.设a1>0，an?1＝an＋，证明＝1 nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在
?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：
1）limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在；
2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;
3)f?x?在x?a处连续的充要条件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26设?xn?满足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,证明?xn?收敛。
27.设an?a,用定义证明:limn???an?a
28.设x1?0，xn?1?
31?xn
,(n?1,2,?)，证明limxn存在并求出来。
n??3?xn
??
29.用“???语言”证明lim30.设f(x)?
(x?2)(x?1)
?0
x?1x?3
x?2
，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1
n??
1，2，?)，求证：limxn?2。
31.设fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求证：
（a）对任意自然数n，方程fn(x)?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；
（b）设xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，则limxn??/3。
n??
32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使
limf(xn)?a(n??)及limf(yn)?b(n??)，则对a，b之间的任意数?，
可找到数列xn?a，使得limf(zn)??
33.设函数f在[a,b]上连续，且
f?0,记fvn?f(a?v?n),?n?
?exp{
b?a
，试证明：n
1b
lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式证明下?ab?a
式
2?
?
2?
ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)
f(b)?f(a)
?k
b?a
34.设f‘(0)?k,试证明lim
a?0?b?0?
35.设f(x)连续，?(x)??0f(xt)dt，且lim
x?0
论?"(x)在x?0处的连续性。
f(x)
，求?"(x)，并讨?a（常数）
x
36． 给出riemann积分?af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛
i1
lim?()s。 n??ni?0n
?x322
,x?y?0?2
37.定义函数f?x???x?y2. 证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。
?0,x?y?0?
n?1
b
38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.
39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0
f?2x??f?x??a,求证：f"?0?存在且等于a.
x
1n
40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.
n??ni?1
41.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f"?x??0,f""有界，则limt??f"?t??0
42.用???分析定义证明limt??1
x?31
? x2?92
43.证明下列各题
?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；
n?1
?
?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n201*an收敛，试证明limn201*an?0;
n??
n?1
?
?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.
?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1?
a?1。 45.设an?0，n=1,2， an?a?0,(n??),证 limn
n??
?
46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1(内容来源好 范文网www.bsmz.netf（x）存在且小于1＋。
x?＋?4
，证明x?1）2
x2＋f（x）
?
47.已知数列{an}收敛于a，且
a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于a
n
48.若f?x?在?0,???上可微，lim
n??
f(x)
?0，求证?0,???内存在一个单
x??x
调数列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0
n??
x??e?sinx?cosx?,x?0
49.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f""?x?在???,??处处存在。
??ax?bx?c,x?0
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