勾股定理的证明方法(精选多篇)

第一篇：勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法

绪论

勾股定理是世界上应用最广泛,历史最悠久,研究最深入的定理之一,是数学、几何中的重要且基本的工具。而数千年来，许多民族、许多个人对于这个定理之证明数不胜数，达三百余种。可见，勾股定理是人类利用代数思想、数学思想解决几何问题、生活实际问题的共同智慧之结晶，也是公理化证明体系的开端。

第一节 勾股定理的基本内容

文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。 数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2 事实上，它是余弦定理之一种特殊形式。

第二节勾股定理的证明

2.1欧洲

在欧洲,相传最早证明勾股定理的是毕达哥拉斯，故在欧洲该定理得名毕达哥拉斯定理；又因毕达哥拉斯在证毕此定理后宰杀一百头牛庆祝，故亦称百牛定理。

欧洲最早记载这一定理之书籍，属欧几里得《几何原本》。

毕达哥拉斯的证明方法（相传）：

一说采用拼图法，一说采用定理法。

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像左图那样拼成两个正方形。

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。

a2+b2+4×1/2ab = c2+4×1/2ab ，整理即可得到。

定理法就是几何原本当中的证法：

设△abc为一直角三角形，其中a为直角。从a点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（sas定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方(本文来源公文素材库：www.bsmz.netld的面积。类似地，正方形ackh的面积=长方形mcel的面积。即正方形bced的面积=正方形abfg的面积+正方形ackh的面积，亦即是ab2+ac2=bc2。由此证实了勾股定理。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以ml将正方形分成bmld和mcel的两个部分!

这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。

欧几里得(euclidofalexandria)约生於公元前325年，卒於约公元前265年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为c，其余两边的长度为a和b，则由於大正方形的面积应该等於4个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有

(a+b)2=4(1/2ab)+c2

展开得a2+2ab+b2=2ab+c2

化简得a2+b2=c2

由此得知勾股定理成立。

第五篇：勾股定理证明方法

勾股定理证明方法

勾股定理的种证明方法(部分)

【证法1】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上.过c作ac的延长线交df于点p.

∵d、e、f在一条直线上,且rtδgef≌rtδebd,

∴∠egf=∠bed，

∵∠egf+∠gef=90°，

∴∠bed+∠gef=90°，

∴∠beg=180º―90º=90º.

又∵ab=be=eg=ga=c，

∴abeg是一个边长为c的正方形.

∴∠abc+∠cbe=90º.

∵rtδabc≌rtδebd,

∴∠abc=∠ebd.

∴∠ebd+∠cbe=90º.

即∠cbd=90º.

又∵∠bde=90º，∠bcp=90º，

bc=bd=a.

∴bdpc是一个边长为a的正方形.

同理，hpfg是一个边长为b的正方形.

设多边形ghcbe的面积为s，则

,

∴.

【证法2】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上.

过点q作qp‖bc，交ac于点p.

过点b作bm⊥pq，垂足为m;再过点

f作fn⊥pq，垂足为n.

∵∠bca=90º，qp‖bc，

∴∠mpc=90º，

∵bm⊥pq，

∴∠bmp=90º，

∴bcpm是一个矩形，即∠mbc=90º.

∵∠qbm+∠mba=∠qba=90º，

∠abc+∠mba=∠mbc=90º，

∴∠qbm=∠abc，

又∵∠bmp=90º，∠bca=90º，bq=ba=c，

∴rtδbmq≌rtδbca.

同理可证rtδqnf≌rtδaef.

【证法3】(赵浩杰证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

分别以cf，ae为边长做正方形fcji和aeig，

∵ef=df-de=b-a，ei=b，

∴fi=a，

∴g,i,j在同一直线上，

∵cj=cf=a，cb=cd=c，

∠cjb=∠cfd=90º，

∴rtδcjb≌rtδcfd，

同理，rtδabg≌rtδade，

∴rtδcjb≌rtδcfd≌rtδabg≌rtδade

∴∠abg=∠bcj,

∵∠bcj+∠cbj=90º,

∴∠abg+∠cbj=90º,

∵∠abc=90º,

∴g,b,i,j在同一直线上，

【证法4】(欧几里得证明)

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结

bf、cd.过c作cl⊥de，

交ab于点m，交de于点

l.

∵af=ac，ab=ad，

∠fab=∠gad，

∴δfab≌δgad，

∵δfab的面积等于，

δgad的面积等于矩形adlm

的面积的一半，

∴矩形adlm的面积=.

同理可证，矩形mleb的面积=.

∵正方形adeb的面积

=矩形adlm的面积+矩形mleb的面积

∴，即.

勾股定理的别名

勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.

前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。

证明

这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

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