余弦定理的证明方法
在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a
由勾股定理得：
c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2
所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2
=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因为cosc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知：
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
第二篇：正余弦定理的多种证明方法利用向量统一正、余弦定理的证明
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，［1］人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）是用向量的数量积（内积）给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。
定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,则
（1）（正弦定理）==；
（2）（余弦定理）
c2=a2+b2-2abcos c,
b2=a2+c2-2accos b,
a2=b2+c2-2bccos a。
证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=（0，0）、b=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：
c=（bcos a,bsin a），以ab、bc为邻边作平行四边形abcc′，则∠bac′=π-∠b，
∴c′(acos(π-b),asin(π-b))
=c′（-acos b,asin b）。
根据向量的运算：
=（-acos b,asin b），
=-=（bcos a-c,bsin a）,
（1）由=：得
asin b=bsin a,即
=。
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同理可得：=。
∴==。
(2)由=（b-cos a-c）2+(bsin a)2=b2+c2-2bccos a，
又||=a,
∴a2=b2+c2-2bccos a。
同理：
c2=a2+b2-2abcos c；
b2=a2+c2-2accos b。
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第三篇：余弦定理证明过程在△abc中，设bc＝a，ac＝b，ab＝c，试根据b，c，a来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，边a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用边角关系表示，db可利用ab－ad转化为ad，进而在rt△aｄc内求解。
解：过c作cd⊥ab，垂足为d，则在rt△cｄb中，根据勾股定理可得： a2＝cｄ2＋bｄ2
∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2
又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2
∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2
－2c·aｄ 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa ∴a2＝b2＋c2－2bccosa类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc
第四篇：余弦定理及其证明余弦定理及其证明
1.三角形的正弦定理证明：
步骤1.
在锐角△abc中，设三边为a，b，c。作ch⊥ab垂足为点h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到
a/sina=b/sinb
同理，在△abc中，
b/sinb=c/sinc
步骤2.
证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.
连接da.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
a/sina=bc/sind=bd=2r
类似可证其余两个等式。
2.三角形的余弦定理证明：
平面几何证法：
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所对的边为c，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根据勾股定理可得：
ac^2=ad^2+dc^2
b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2
b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosb
cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac
3
在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b
则c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a
由勾股定理得：
c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2
所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2
=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因为cosc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
题目中^2表示平方。
2
谈正、余弦定理的多种证法
聊城二中魏清泉
正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教a(内容来源好 范文网：www.bsmz.neta.mb,mc,应用余弦定理证明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得：
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
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