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余弦定理的证明方法(精选多篇)

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-22 10:55:49 | 移动端:余弦定理的证明方法(精选多篇)
第一篇:余弦定理的证明方法

余弦定理的证明方法

在△abc中,ab=c、bc=a、ca=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在锐角△中证明第一个等式,在钝角△中证明以此类推。

过a作ad⊥bc于d,则bd+cd=a

由勾股定理得:

c^2=(ad)^2+(bd)^2,(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因为cosc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c对边为c,∠b对边为b,∠a对边为a-->

bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知:

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以,cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右图,在abc中,三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点,ac所在的直线为x轴建立直角坐标系,于是c点坐标是(b,0),由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa,csina).∴cb=(ccosa-b,csina).现将cb平移到起点为原点a,则ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c),asin(π-c))即d点坐标是(-acosc,asinc),∴ad=(-acosc,asinc)而ad=cb∴(-acosc,asinc)=(ccosa-b,csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可证asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得:

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

第二篇:正余弦定理的多种证明方法

利用向量统一正、余弦定理的证明

正、余弦定理是解三角形强有力的工具,关于这两个定理有好几种不同的证明方法,[1]人教版中等职业教育国家规划教材《数学》(提高版)是用向量的数量积(内积)给出证明的,如是在证明正弦定理时用到:作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积,这种构思方法过于独特,不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义,利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明,方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。

定理:在△abc中,ab=c,ac=b,bc=a,则

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcos c,

b2=a2+c2-2accos b,

a2=b2+c2-2bccos a。

证明:建立如下图所示的直角坐标系,则a=(0,0)、b=(c,0),又由任意角三角函数的定义可得:

c=(bcos a,bsin a),以ab、bc为邻边作平行四边形abcc′,则∠bac′=π-∠b,

∴c′(acos(π-b),asin(π-b))

=c′(-acos b,asin b)。

根据向量的运算:

=(-acos b,asin b),

=-=(bcos a-c,bsin a),

(1)由=:得

asin b=bsin a,即

=。

第 1 页 共 2 页

同理可得:=。

∴==。

(2)由=(b-cos a-c)2+(bsin a)2=b2+c2-2bccos a,

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccos a。

同理:

c2=a2+b2-2abcos c;

b2=a2+c2-2accos b。

第 2 页 共 2 页

第三篇:余弦定理证明过程

在△abc中,设bc=a,ac=b,ab=c,试根据b,c,a来表示a。 分析:由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题,所以应添加辅助线构造直角三角形,在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作cd垂直于ab于d,那么在rt△bdc中,边a可利用勾股定理用cd、db表示,而cd可在rt△adc中利用边角关系表示,db可利用ab-ad转化为ad,进而在rt△adc内求解。

解:过c作cd⊥ab,垂足为d,则在rt△cdb中,根据勾股定理可得: a2=cd2+bd2

∵在rt△adc中,cd2=b2-ad2

又∵bd2=(c-ad)2=c2-2c·ad+ad2

∴a2=b2-ad2+c2-2c·ad+ad2=b2+c2

-2c·ad 又∵在rt△adc中,ad=b·cosa ∴a2=b2+c2-2bccosa类似地可以证明b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc

第四篇:余弦定理及其证明

余弦定理及其证明

1.三角形的正弦定理证明:

步骤1.

在锐角△abc中,设三边为a,b,c。作ch⊥ab垂足为点h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到

a/sina=b/sinb

同理,在△abc中,

b/sinb=c/sinc

步骤2.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:

如图,任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d.

连接da.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

a/sina=bc/sind=bd=2r

类似可证其余两个等式。

2.三角形的余弦定理证明:

平面几何证法:

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所对的边为c,∠b所对的边为b,∠a所对的边为a

则有bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c

根据勾股定理可得:

ac^2=ad^2+dc^2

b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2

b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b*c^2-2ac*cosb

b^2=(sin^2b+cos^2b)*c^2-2ac*cosb+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosb

cosb=(c^2+a^2-b^2)/2ac

3

在△abc中,ab=c、bc=a、ca=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在锐角△中证明第一个等式,在钝角△中证明以此类推。

过a作ad⊥bc于d,则bd+cd=a

由勾股定理得:

c^2=(ad)^2+(bd)^2,(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因为cosc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

题目中^2表示平方。

2

谈正、余弦定理的多种证法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具,关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教a(内容来源好 范文网:www.bsmz.neta.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得:

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

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