职高数学教学总结

职高数学教学总结

九、十月份数学教学工作总结

开学以来来，在学校领导的引导和大力支持下，我在教学工作中与全体老师一道勤勤恳恳，认真负责，全面实施素质教育，更新教学理念，促进学生素质全面发展，顺利地完成各项教学工作任务，取得一定成绩。为总结经验，争取更好的成绩，现将九、十月份的教学工作总结如下：

一、在教学工作中主要认真做好备课、上课、巩固应用、课外辅导等环节工作。

1、备课。首先认真学习教学大纲和新课程标准，阅读有关教学参考资料，深入钻研教材。熟练掌握教材的全部内容，学期初制订好各阶段的教学计划，确定教学目标，把握教学重点、难点、关键，使教学工作循序渐进，有条无紊，按进度、按要求进行教学工作。同时，根据每个班级数学基础的好坏准备难易两种教学思路，使得各班级同学均能学有所得。

2、上课。①认真组织教学，目标明确。把知识与能力、过程与方法、情感态度价值观体现于教学全过程，并特别注重解题过程与方法。突出重点和突破难点的策略促进学生多方面发展。②准确地把握每一课的知识结构。根据教学实际情况，对教材进行适当的加工或调整，变“教教材”为“用教材”。使知识变为学生乐于接受的东西。③重视设计教法学法。根据教学内容设计出教学活动，形式灵活多样，运用恰到好处，引导学生自主学习与探究问题，适应学生各种能力的发展需要。在教学过程中，引导学生积极参与教学的全过程，尊重学生，注重发展学生个性差异，鼓励学生敢于发言，使课堂气氛、平等、民主、合作、融洽。师生、生生多向交流，形成互动，共同发展，使学生在课堂兴趣浓厚，注意力集中，想象丰富，思维活跃，心情愉快，使学生变“学会”为“会学”，全面提高学生数学素养。④注重对学生解题能力的培养。这学期

我主要教授13汽修班以及13空乘班两个班级，其中汽修班均为男生，且数学基础较差，而空乘班以女生为主，且数学基础相对较好。因此，在汽修班上课时我以课本例题为主，重点在于将例题讲细、讲透，使学生能基本掌握该堂课的知识点。而在空乘班，我主要在例题讲解的基础上培养学生的自我解题能力，以例题为基准往外衍生多种类型的习题来使学生能够将知识点融会贯通。

二、重视自身素质的培养。

我不断加强教学理论学习，更新教学理念，提高教学水平。同时不断吸取先进教学经验，认真听课，积极参与课改活动。

总之，开学以来，我在数学教学上有很大的改进，并取得了一定成效，但距新时期新课标的要求还有一定的距离，如在培养学生良好的学习习惯方面比较薄弱，主要原因一是班主任管理任务较重，时间不足，在以后的教学工作中，要不断总结经验，力求提高自己的教学水平，还要多下功夫加强对个别差生的辅导，相信一切问题都会迎刃而解，我也相信有耕耘总会有收获.

扩展阅读：职高数学教案 第一册

科目：数学教案（第一册）

初中知识复习（1-4）

第一节乘法公式、因式分解

重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法难点：公式的灵活运用，因式分解教学过程：

一、乘法公式

引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？(abc)abc2ab2bc2ac（从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如(ab)?，能用学过的公式推导吗？（平方———立方）

32222(ab)3(ab)2(ab)a33a2b3ab2b3①

那(ab)?呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将(ab)中的b换成－b即可。（bR）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换

33(ab)3a33a2b3ab2b3符号的记忆，和——差从代换的角度看

问：能推导立方和、立方差公式吗？即（）（）＝ab

由①可知，ab(ab)(3ab3ab)(ab)(aabb)②立方差呢？②中的b代换成－b得出：ab(ab)(aabb)▲符号的记忆，系数的区别

例1：化简(x1)(x1)(xx1)(xx1)法1：平方差——立方差法2：立方和——立方差

（2）已知xx10,求证：(x1)(x1)86x

▲注意观察结构特征，及整体的把握

二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等）（1）十字相乘法

试分解因式：x3x2(x1)(x2)

2

22332233223332222要将二次三项式x+px+q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p,满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即

x+px+q=x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

用十字交叉线表示:1a1ba+b（交叉相乘后相加）若二次项的系数不为1呢？axbxc(a0)，如：2x7x3

2222

2如何处理二次项的系数？类似分解：1－3

2－1

-6+-1=-7

2x27x3(x3)(2x1)

整理：对于二次三项式ax+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1+c1

a2+c2

2

a1c2+a2c1=a1c2+a2c1

2

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax+bx+c的一次项系数

b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即2

ax+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。〔按行写分解后的因式〕十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项系数为负时，如何简化

5x6xy8y（3）例2：因式分解：（1）6x7x5（2）(xy)(2x2y3)2

（2）分组分解法

分解xmxnymyn，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十字相乘法两种方法

适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，叫分组分解法▲如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式

练习：因式分解（1）x93x3x（2）x4(xy1)4y

（3）x3x4（试根法，竖式相除）归纳：如何选择适当的方法

3

332222

作业：

将下列各式分解因式

（1）x5x6；（2）x5x6；（3）x5x6；（4）x5x6（5）3x2axa；（6）xyxyxy；（7）2abab2ab（8）a64；（9）x(a1)xa

第二节二次函数及其最值

重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题难点：给定区间的最值问题教学过程：

一、韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）

二次方程axbxc0(a0)什么时候有根（判别式0时），此时由求根公式得，

222222233222262bb24acx，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方程，直

2a接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗，

bb24acbb24acbx1x2

2a2aabb24acbb24accx1x2

2a2aa反过来，若x1,x2满足x1x2bc,x1x2，那么x1,x2一定是ax2bxc0(a0)aa的两根，即韦达定理的逆定理也成立。

作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系

（2）已知两数，构造出以两数为根的一元二次方程（系数为1）：x(x1x2)xx1x20例1：x1,x2是方程2x3x50的两根，不解方程，求下列代数式的值；①x1x2②|x1x2|③x1x2

223322

第一章集合 1．1集合的概念（5-6）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解集合、元素及其关系；

（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．能力目标：

通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.

【教学重点】

集合的表示法．

【教学难点】

集合表示法的选择与规范书写．

【教学设计】

（1）通过生活中的实例导入集合与元素的概念；（2）引导学生自然地认识集合与元素的关系；

（3）针对集合不同情况，认识到可以用列举和描述两种方法表示集合，然后再对表示法进行对比分析，完成知识的升华；

（4）通过练习，巩固知识．

（5）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学．

【教学过程】

*新阶段学习导入语

介绍中职阶段学习数学的必要性，数学的学习内容、学习方法、学习特点等等．

同学们就要开始新的人生阶段了，很高兴可以和大家一起度过这段美好的时光.希望同学们可以通过自己不懈的努力，在毕业后能够找到一个合适的工作，能够独立生存，能够成为为家庭、为企业、为社会做出自我贡献的能工巧匠.当然要达到这样的目的需要你脚踏实地的认真的学做人、学做事，那么现在请让我们从学习开始1．学习旅程

学习是一段旅程，对知识的探求永无止境，而且这段旅程可以从任何时候开始！未来的成功在现在脚下！

2．老师导游

与大家一起开始这一段新的旅程、一起分享学习中的快乐、一起体会成长与进步的滋味.

5

3．目的运用

我们应当能够理解数学，而且通过运用数学进行沟通和推理，在现实生活中应用数学来解决问题，养成一种数学上的自信心理.请不要害怕学数学，每个人都可以根据自己的能力和实际需要学好自己的数学．

4．准备必需品

轻松愉快的心情、热情饱满的精神、全力以赴的态度、踏实努力的行动、科学认真的方法、及时真诚的交流．*揭示课题

缤纷多彩的世界，众多繁杂的现象，需要我们去认识．将对象进行分类和归类，加强对其属性的认识，是解决复杂问题的重要手段之一．例如，按照使用功能分类存放物品，在取用时就十分方便．

这就是我们将要研究学习的1.1集合．*创设情景兴趣导入问题

某商店进了一批货，包括：面包、饼干、汉堡、彩笔、水笔、橡皮、果冻、薯片、裁纸刀、尺子．那么如何将这些商品放在指定的篮筐里？归纳

面包、饼干、汉堡、果冻、薯片组成了食品集合，彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子组成了文具集合．

而面包、饼干、汉堡、果冻、薯片、彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子就是其对应集合的元素．*动脑思考探索新知概念由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集．组成集合的对象叫做这个集合的元素．如大于2并且小于5的自然数组成的集合是由哪些元素组成？表示一般采用大写英文字母A,B,C,表示集合，小写英文字母a,b,c,表示集合的元素．拓展

集合中的元素具有下列特点：

(1)互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的；(2)无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序；(3)确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的.

不能确定的对象，不能组成集合．例如，某班跑得快的同学，就不能组成集合．例1下列对象能否组成集合：

6

（1）所有小于10的自然数；（2）某班个子高的同学；（3）方程x210的所有解；（4）不等式x20的所有解．类型由方程的所有解组成的集合叫做这个方程的解集．由不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集．

像方程x210的解组成的集合那样，由有限个元素组成的集合叫做有限集．像不等式x-2>0的解组成的集合那样，由无限个元素组成的集合叫做无限集．

像平面上与点O的距离为2cm的所有点组成的集合那样，由平面内的点组成的集合叫做平面点集．

由数组成的集合叫做数集．方程的解集与不等式的解集都是数集．所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N．所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N或Ζ+．所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z．所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q．所有实数组成的集合叫做实数集，记作R．

不含任何元素的集合叫做空集，记作．例如，方程x2+1=0的实数解的集合里不含有任何元素，所以这个解集就是空集关系元素a是集合A的元素，记作aA（读作“a属于A”），a不是集合A的元素，记作aA（读作“a不属于A”）．

集合中的对象（元素）必须是确定的．对于任何的一个对象，或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者必居其一．*运用知识强化练习练习1.1.1

*创设情景兴趣导入

问题不大于5的自然数所组成的集合中有哪些元素?

小于5的实数所组成的集合中有哪些元素?

解决7

不大于5的自然数所组成的集合中只有0、1、2、3、4、5这6个元素，这些元素是可以一一列举的.而小于5的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来，但元素的特征是明显的：(1)集合的元素都是实数；（2）集合的元素都小于5.归纳当集合中元素可以一一列举时，可以用列举的方法表示集合；当集合中元素无法一一列举但元素特征是明显时，可以分析出集合的元素所具有的特征性质，通过对元素特征性质的描述来表示集合．*动脑思考探索新知集合的表示有两种方法：

（1）列举法．把集合的元素一一列举出来，写在花括号内，元素之间用逗号隔开．

如不大于5的自然数所组成的集合可以表示为0,1,2,3,4,5．

（2）描述法．在花括号内画一条竖线，竖线的左侧写出集合的代表元素，竖线的右侧写出元素所具有的特征性质．如小于5的实数所组成的集合可表示为{x|x5,xR}．

如果从上下文能明显看出集合的元素为实数，那么可以将xR省略不写．如不等式3x60的解集可以表示为{x|x2}．

为了简便起见，有些集合在使用描述法表示时，可以省略竖线及其左边的代表元素，直接用中文来表示集合的特征性质．例如所有正奇数组成的集合可以表示为{正奇数}．*巩固知识典型例题

例2用列举法表示下列集合：

（1）由大于4且小于12的所有偶数组成的集合；（2）方程x25x60的解集．

分析这两个集合都是有限集．（1）题的元素可以直接列举出来；（2）题的元素需要解方程x25x60才能得到．

例3用描述法表示下列各集合：（1）不等式2x10的解集；（2）所有奇数组成的集合；

（3）由第一象限所有的点组成的集合．

分析用描述法表示集合关键是找出元素的特征性质．（1）题解不等式就可以得到不等式解集元素的特征性质；（2）题奇数的特征性质是“元素都能写成2k1(kZ)的形式”．（3）题元素的特征性质是

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“为第一象限的点”，即横坐标与纵坐标都为正数．

*运用知识强化练习教材练习1.1.2

*巩固知识典型例题

例4用适当的方法表示下列集合：

（1）方程x+5=0的解集；（2）不等式3x-7>5的解集；

（3）大于3且小于11的偶数组成的集合；（4）不大于5的所有实数组成的集合；

*运用知识强化练习

选用适当的方法表示出下列各集合：

(1)由大于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x290的解集；

(3)不等式4x65的解集；(4)平面直角坐标系中第二象限所有的点组成的集合；(5)方程x243的解集；3x30,(6)不等式组的解集．

x60理论升华整体建构

本次课重点学习了集合的表示法：列举法、描述法，用列举法表示集合，元素清晰明了；用描述法表示集合，元素特征性质直观明确.

因此表示集合时，要针对实际情况，选用合适的方法．例如，不等式（组）的解集，一般采用描述法来表示，方程（组）的解集，一般采用列举法来表示．*继续探索活动探究

(1)阅读理解：教材1.1，学习与训练1.1；

(2)书面作业：教材习题1.1，学习与训练1.1训练题；(3)实践调查：探究生活中集合知识的应用

*教学后记

9

1.2集合之间的关系（7-8）

【教学目标】

知识目标：

（1）掌握子集、真子集的概念；（2）掌握两个集合相等的概念；（3）会判断集合之间的关系.能力目标：

通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.

【教学重点】集合与集合间的关系及其相关符号表示．【教学难点】真子集的概念．【教学设计】

（1）从复习上节课的学习内容入手，通过实际问题导入知识；（2）通过实际问题引导学生认识真子集，突破难点；（3）通过简单的实例，认识集合的相等关系；

（4）为学生们提供观察和操作的机会，加深对知识的理解与掌握．

教学过程

*复习知识揭示课题

前面学习了集合的相关问题，试着回忆下面的知识点：1．集合由某些确定的对象组成的整体．元素组成集合的对象．

2．常用数集有哪些？用什么字母表示？3．集合的表示法

(1)列举法：在花括号内，一一列举集合的元素；(2)描述法：{代表元素|元素所具有的特征性质}．4．元素与集合之间有属于或不属于的关系．完成下面的问题：

用适当的符号“”或“”填空：(1)0；(2)0N；(3)

3R；(4)0.5Z；

(5)1{1,2,3}；(6)2{x|x问题

1．设A表示我班全体学生的集合，B表示我班全体男学生的集合，那么，集合A与集合B之间存在什么关系呢？

2．设M={数学，语文，英语，计算机应用基础，体育与健康，物理，化学}，N={数学，语文，英语，计算机应用基础，体育与健康}，那么集合M与集合N之间存在什么关系呢？3．自然数集Z与整数集N之间存在什么关系呢？

归纳当集合B的元素肯定是集合A的元素时称集合A包含集合B．两个集合之间的这种关系叫做包含关系．*动脑思考探索新知概念一般地，如果集合B的元素都是集合A的元素，那么称集合A包含集合B，并把集合B叫做集合A的子集.表示将集合A包含集合B记作AB或BA（读作“A包含B”或“B包含于A”）．可以用下图表示出这两个集合之间的包含关系．

BA拓展

由子集的定义可知，任何一个集合A都是它自身的子集，即AA．规定：空集是任何集合的子集，即A．*巩固知识典型例题

例1用符号“”、“”、“”或“”填空：(1)a,b,c,da,b；(2)1,2,3；(3)NQ；(4)0R；

(5)da,b,c；(6)x|3x5x|0x6．

分析“”与“”是用来表示集合与集合之间关系的符号；而“”与“”是用来表示元素与集合之间关系的符号．首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．*运用知识强化练习教材练习1.2.1

*动脑思考探索新知概念如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集．表示记作(或)，读作“A真包含B”（或“B真包含于A”）．拓展空集是任何非空集合的真子集．

对于集合A、B、C，如果AB，BC，则AC．*巩固知识典型例题

例2选用适当的符号“”或“”填空：(1){1,3,5}__{1,2,3,4,5}；

(2){2}__{x||x|=2}；(3){1}_．

例3设集合M0,1,2,试写出M的所有子集，并指出其中的真子集．

分析集合M中有3个元素，可以分别列出空集、含1个元素的集合、含2个元素的集合、含3个元素的集合．

*运用知识强化练习练习1.2.2

*创设情景兴趣导入

问题：设集合A={x|x2-1=0}，B={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？

归纳：集合A与集合B中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A与集合B相等，即A=B．

*动脑思考探索新知

概念：一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等．表示：将集合A与集合B相等记作AB．拓展如果AB，同时BA，那么集合B的元素都属于集合A，同时集合A的元素都属于集合B，因此集合A与集合B的元素完全相同，由集合相等的定义知AB．*巩固知识典型例题

例4判断集合Axx2与集合Bxx240的关系．

12

分析要通过研究两个集合的元素之间的关系来判断这两个集合之间的关系．．*运用知识强化练习判断集合A与B是否相等？(1)A={0}，B=；

(2)A={,-5,-3,-1,1,3,5,}，B={x|x=2m+1,mZ}；(3)A={x|x=2m-1,mZ}，B={x|x=2m+1,mZ}．

*巩固知识典型例题例5用适当的符号填空：

⑴{1，3，5}{1，2，3，4，5，6}；⑵{x|x29}{3，-3}；

⑶{2}{x||x|=2}；⑷2N；⑸a{a}；⑹{0}；⑺{1,1}{x|x210}.

*运用知识强化练习

用适当的符号填空：

（1）2.5Z；（2）1x|x31；

（3）2,2x|x22；（4）aa,b,c；（5）ZN；（6）{x|x40}；（7）Q；（8）1,3,53,5．*理论升华整体建构

元素与集合关系：属于与不属于(、)；

集合与集合关系：子集、真子集、相等(、、=)；*继续探索活动探究

(1)阅读：教材章节1.2；学习与训练1.2；(2)书写：习题1.2，学习与训练1.2训练题；(3)实践：寻找集合和集合关系的生活实例．

13

1.3集合的运算（1）（9-10）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解并集与交集的概念；（2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：

（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力．

【教学重点】交集与并集．

【教学难点】用描述法表示集合的交集与并集．【教学设计】

（1）通过生活中的实例导入交集与并集的概念，提高学习兴趣；

（2）通过对实例的归纳，针对用“列举法”及“描述法”表示集合的运算的不同特征，采用由浅入深的训练，帮助学生加深对知识的理解；

（3）通过学生的解题实践，总结比较，理解交集与并集的特征，完成知识的升华；（4）讲与练结合，教学要符合学生的认知规律．

【教学过程】

*揭示课题1.3集合的运算*创设情景兴趣导入

问题1在运动会上，某班参加百米赛跑的有4名同学，参加跳高比赛的有6名同学，既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学有2名同学，那么这些同学之间有什么关系？

问题2某班第一学期的三好学生有李佳、王燕、张洁、王勇；第二学期的三好学生有王燕、李炎、王勇、孙颖，那么该班哪些同学连续两个学期都是三好学生？

用我们学过的集合来表示：A={李佳，王燕，张洁，王勇}；B={王燕，李炎，王勇，孙颖}；C={王燕，王勇}.那么这三个集合之间有什么关系？

问题3集合A={直角三角形}；B={等腰三角形}；C={等腰直角三角形}.那么这三个集合之间有什么关系？解决通过上面的三个问题的思考，可以看出集合C中的元素是由既属于集合A又属于集合B中的所有元素构成的，也就是由集合A、B的相同元素所组成的，这时，将C称作是A与B的交集．

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*动脑思考探索新知

一般地，对于两个给定的集合A、B，由集合A、B的相同元素所组成的集合叫做A与B的交集，记作AB,读作“A交B”．

即ABxxA且xB．

集合A与集合B的交集可用下图表示为：

求两个集合交集的运算叫做交运算．*巩固知识典型例题

例1已知集合A，B，求A∩B.

(1)A={1,2}，B={2,3}；(2)A={a,b}，B={c,d,e,f}；(3)A={1,3,5}，B=；(4)A={2,4}，B={1,2,3,4}．

分析集合都是由列举法表示的，因为A∩B是由集合A和集合B中相同的元素组成的集合，所以可以通过列举出集合的所有相同元素得到集合的交集.

例2设Ax,y|xy0，Bx,y|xy4，求AB．

分析集合A表示方程xy0的解集；集合B表示方程xy4的解集．两个解集的交集就是二元一次xy0,方程组的解集．

xy4．

例3设Ax|1x2，Bx|0x3，求AB．

分析这两个集合都是用描述法表示的集合，并且无法列举出集合的元素．我们知道，这两个集合都可以在数轴上表示出来，如下图所示．观察图形可以得到这两个集合的交集．

由交集定义和上面的例题，可以得到：对于任意两个集合A，B，都有（1）ABBA；

（2）AAA，A；（3）ABA,ABB；

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（4）如果AB,那么ABA.*运用知识强化练习练习1.3.1

*创设情景兴趣导入

问题1某班有团员34名，非团员11名，那么该班有多少名同学？

用我们学过的集合来表示：A={该班团员}；B={该班非团员}；C={该班同学}.那么这三个集合之间有什么关系？

问题2某班第一学期的三好学生有李佳、王燕、张洁、王勇；第二学期的三好学生有王燕、李炎、王勇、孙颖，那么该班第一学年的三好学生都有哪些同学？

用我们学过的集合来表示：A={李佳，王燕，张洁，王勇}；B={王燕，李炎，王勇，孙颖}；C={李佳，王燕，张洁，王勇，李炎，孙颖}.那么这三个集合之间有什么关系？

问题3集合A={锐角三角形}；B={钝角三角形}；C={斜三角形}.那么这三个集合之间有什么关系？解决通过上面的三个问题的思考，可以看出集合C中的元素是由集合A、B的所有元素所组成的，这时，将C称作是A与B的并集．*动脑思考探索新知

一般地，对于两个给定的集合A、B，由集合A、B的所有元素所组成的集合叫做A与B的并集，记作AB（读作“A并B”）．

即ABxxA或xB.

集合A与集合B的并集可用图形表示为：

(1)

(2)(3)

ABABAB求两个集合并集的运算叫做并运算．*巩固知识典型例题

例4已知集合A，B，求A∪B．(1)A={1,2}，B={2,3}；(2)A={a,b}，B={c,d,e,f}；(3)A={1,3,5}，B=；

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(4)A={2,4}，B={1,2,3,4}．

分析因为A∪B是由集合A和集合B的所有元素组成，当集合都是用列举法表示时，通过列举这两个集合的元素，可以得到并集，注意相同的元素只列举一次.

由并集定义和上面的例题，可以得到：对于任意的两个集合A与B，都有：（1）ABBA；（2）AAA，AA；（3）AAB,*运用知识强化练习练习1.3.2

*巩固知识典型例题例5设A2,3,5,BAB；（4）如果BA，那么ABA．

B1,0,1,2，求AB,AB.

解AB2,3,51,0,1,22；

AB2,3,51,0,1,21,0,1,2,3,5.

例6设A{x0x≤2},B{x1x≤3},求AB,AB.解将集合A、B在数轴上表示：

AB{x1x≤2},AB{x0x≤3}.*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：

1．集合的并集和交集有什么区别？（含义和符号）2．在进行集合的并运算和交运算时各自的特点是什么？

3．集合用列举法和描述法表示时进行运算需要注意的问题是什么？

（1）由集合A和集合B的公共元素组成的集合叫做集合A与集合B的交集ABxxA且xB.由集合A和集合B的所有元素组成的集合叫做集合A与集合B的并集ABxxA或xB；

（2）交运算是寻找两个集合都有的公共部分，并运算是将两个集合所有的元素进行合并．（3）列举法求解时要不重不漏，描述法求解时要利用好数轴并注意端点的处理．*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节1.3；(2)书面作业：学习与训练1.3；

17

1.3集合的运算（2）（11-12）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解全集与补集的概念；（2）会求集合的补集．能力目标：

（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力．

【教学重点】集合的补运算．

【教学难点】集合并、交、补的综合运算．【教学设计】

（1）通过生活中的实例导入全集与补集的概念，提高学生的学习兴趣；

（2）通过对实例的归纳，针对用“列举法”及“描述法”表示集合的运算的不同特征，采用由浅入深的训练，帮助学生加深对知识的理解；

（3）通过学生的解题实践，总结比较，理解交集与并集的特征，完成知识的升华；（4）讲练结合，数形结合，教学要符合学生的认知规律．

【教学过程】

复习知识揭示课题

前面学习了集合的并运算和交运算相关问题，试着回忆下面的知识点：1．集合的并集和交集有什么区别？（含义和符号）

ABxxA或xBABxxA且xB

2．在进行集合的并运算和交运算时各自的特点是什么？

并运算是将两个集合所有的元素进行合并，交运算是寻找两个集合都有的共同元素．3．集合用列举法和描述法表示时进行运算需要注意的问题是什么？

列举法求解时要不重不漏，描述法求解时要利用好数轴并注意端点的处理．下面我们将学习另外一种集合的运算．*创设情景兴趣导入问题某学习小组学生的集合为U={王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓

18

慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P={王明，曹勇，王亮，李冰，张军}，那么没有获得金奖的学生有哪些？解决没有获得金奖的学生的集合为Q={赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}．结论可以看到，P、Q都是U的子集,并且集合Q是由属于集合U但不属于集合P的元素所组成的集合．*动脑思考探索新知概念如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集．

在研究数集时，常把实数集R作为全集．

如果集合A是全集U的子集，那么，由U中不属于A的所有元素组成的集合叫做A在全集U中的补集．表示集合A在全集U中的补集记作，读作“A在U中的补集”．即．集合A在全集U中的补集的图形表示，如下图所示：

求集合A在全集U中的补集的运算叫做补运算．*巩固知识典型例题

例1设U0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A1,3,4,5，B3,5,7,8．

求A的补集和B的补集．

分析集合A的补集是由属于全集U而且不属于集合A的元素组成的集合．例2设U＝R，Ax|1x2，求A的补集。

分析作出集合A在数轴上的表示，观察图形可以得到A的补集。

19

说明通过观察图形求补集时，要特别注意端点的取舍．

*运用知识强化练习教材练习1.3.3

*巩固知识典型例题

例3设全集U0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A1,3,4,5，B3,5,7,8．求

分析这些集合都是用列举法表示的，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合．例4设全集U=R，集合A={x|x≤2}，B={x|x>-4}，求UA,UB，AB，AB．分析在理解集合运算的含义基础上，充分运用数轴的表示来进行求解．

*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：

1．什么是集合交运算？如何用符号表示？如何用图形表示？什么是集合并运算？如何用符号表示？如何用图形表示？什么是集合补运算？如何用符号表示？如何用图形表示？

2．在进行集合的交、并、补运算时各自的特点是什么？

3．集合用列举法和描述法表示时进行集合运算需要注意的问题是什么？*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节1.3，学习与训练1.3；(2)书面作业：学习与训练1.3训练题；(3)实践调查：了解补集与全集在生活中的应用．

*教学后记

1.4充要条件（13-14）

【教学目标】

知识目标：

了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．能力目标：

通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．

【教学重点】

（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“”，“”，“”的正确使用．

【教学难点】“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．【教学设计】

（1）以学生的活动为主线.在条件与结论的关系的判断上，尽可能多的教给学生在独立

尝试解决问题的基础上进行交流；

（2）由易到难，具有层次性.从内涵上引导学生体会复合命题中条件和结论的关系.

【教学过程】

*揭示课题1.4充要条件*问题引领深入探究

问题1.由条件p：x1是否可以推出结论q：x210是正确的？

2.由条件p：(x3)(x1)0是否可以推出结论q：x1是正确的？

3.由条件p：x2是否可以推出结论q：2x40是正确的，同时，由结论q：2x40是否可以推出条件p：x2是正确的？*动脑思考探索新知概念设条件p和结论q．

（1）如果能由条件p成立推出结论q成立，则说条件p是结论q的充分条件，记作pq．如问题1中，“条件p：x1”是“结论q：x210”的充分条件．

（2）如果能由结论q成立能推出条件p成立，则说条件p是结论q的必要条件，记作pq．如问题2中，“条件p：(x3)(x1)0”是“结论q：x1”的必要条件．

（3）如果pq，并且pq，那么p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记作“pq”．如问题3中，“条件p：x2”是“结论q：2x40”的充要条件.

21

*巩固知识典型例题

例1指出下列各组条件和结论中，条件p与结论q的关系．（1）p：xy，q：xy；（2）p：x2，q：x0．

说明可以看到，由“p是q的充分条件”并不一定能够得到“p是q的必要条件”的结论，同样由“p是q的必要条件”也不一定能够得到“p是q的充分条件”的结论．例2指出下列各组结论中p与q的关系．

（1）p：x3，q：x5；（2）p：x20，q：x2x50；1（3）p：6x3，q：x．

2

*运用知识强化练习教材练习1.4

*巩固知识典型例题

例3确定下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：(x-2)(x+1)=0，q：x-2=0；(2)p：内错角相等，q：两直线平行；

(3)p：x=1，q：x2=1；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形.

*理论升华整体建构1．正确把握条件和结论：

p是q的充分条件，是把p看作条件，把q看作结论；p是q的必要条件，是把q看作条件，把p看作结论.2.体会充分条件、必要条件与充要条件的判断：

充分条件的特征是条件不可少，有之必真，无之未必假.必要条件的特征是条件不可少，无之必假，有之未必真．充要条件的特征是有之必真，无之必假．重点和难点各是什么？

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节1.4，学习与训练1.4；

(2)书面作业：教材练习题1.4，学习与训练1.4训练题；(3)实践调查：了解充要条件在生活中的应用．

*教学后记

第一章小结与复习

(15-16)

一、结构图：

集合的含义及表示列举法交集集合描述法集合的基本运算并集补集venn图包含集合的基本关系相等二、知识要点：

（一）．元素与集合、集合与集合之间的关系：1．元素与集合：“∈”或“小与相等的关系。

2．集合与集合之间的关系：（1）包含关系：子集：如果x∈A合B的子集.记为

”；说明：元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大

xB,则集合A是集

AB或BA.显然，任何集合是它自身的子集。即AA。

A。

空集是任何集合的子集，即

（2相等关系：对于任意两个集合A,B。如果两个相等的集合元素完全相同。

AB同时BA那么集合A=B显然

AB;且AB则称集合A是集

A（1）真包含关系:对于任意两个集合A,B，如果

合B的真子集.记为

AB或BA。对任意非空集合A，有。

（2）运算关系：①交集：②并集：

AB{x:xA且xB}

AB{x:xA或xB}

③补集：是在全集上进行的。一般地，设U是一个集合。CUA={x│x

AU则

U且xA}

①交集的运算性质：

ABBA,ABA,ABB,

AUA,AAA,A

②并集的运算性质：

ABBA,ABA,ABB,

CU(CUA)A,CUU,,

AUU,AAA,AA

③补集的运算性质：

CUU,ACUA④分配律、结合律：

ACUAU,

A(BC)(AB)C.A(BC)(AB)C,

A(BC)(AB)(AC)，A(BC)(AB)(AC)

3.求集合的子集个数问题，：如

A{a1,a2,an}的子集的个数为：2，

nnnn2122个。21真子集有个，非空子集有个，非空真子集有

4．空集Φ：空集是指不含任何元素的集合，记作Φ，{0}与Φ不同，{0}

表示含有一个元素“0”的集合，Φ是不含任何元素的。Φ与{Φ}也不同，{Φ}表示含有一个元素“Φ”的集合它是一个以集合为元素的高一级集合。空集有如下性质：（1）任何元素都不属于空集，即对任意元素a,都有a.(2)空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

（3）空集与任何集合的交集仍为空集，空集与任意集合A的并集仍为集合A

5．熟记以下重要结论：

A;AB.AB;AB;。

ABAAB.ABAAB.

练习：教材第一章检测题

第二章不等式 2.1不等式的基本性质（17-18）

【教学目标】

知识目标：⑴理解不等式的基本性质；

⑵了解不等式基本性质的应用．

能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；

⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．

【教学重点】⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．【教学难点】比较两个实数大小的方法．【教学设计】

（1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；

（2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合；（3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力．

【教学过程】

*揭示课题

2.1不等式的基本性质*创设情景兴趣导入

问题201*年7月12日，在国际田联超级大奖赛洛桑站男子110米栏比赛中，我国百米跨栏运

动员刘翔以12秒88的成绩夺冠，并打破了尘封13年的世界记录12秒91，为我国争得了荣誉．

如何体现两个记录的差距？

解决通常利用观察两个数的差的符号，来比较它们的大小．因为12.8812.91=0.03＜0，所以得到结论：刘翔的成绩比世界记录快了0.03秒．

归纳可以通过作差，来比较两个实数的大小.

*动脑思考探索新知

概念对于两个任意的实数a和b，有：

ab0ab；ab0ab；ab0ab．因此，比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可．*巩固知识典型例题

25

例1比较

25与的大小．38例2当ab0时，比较a2b与ab2的大小．

*运用知识强化练习教材练习2.1.1

*动脑思考探索新知不等式的基本性质

性质1如果ab，且bc，那么ac．（不等式的传递性）性质2如果ab，那么acbc．性质3如果ab，c0，那么acbc；

如果ab，c0，那么acbc．

*巩固知识典型例题

例3用符号“”或“”填空，并说出应用了不等式的哪条性质．

（1）设ab，a3b3（2）设ab，6a6b；（3）设ab，4a4b；（4）设ab，52a52b．例4已知ab0，cd0，求证acbd．

*运用知识强化练习教材练习2.1.2

*归纳小结强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节2.1，学习与训练2.1；(2)书面作业：教材习题2.1，学习与训练2.1训练题．*教学后记

26

2．2区间（19-20）

【教学目标】

知识目标：

⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：

通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．

【教学重点】区间的概念．【教学难点】区间端点的取舍．【教学设计】

⑴实例引入知识，提升学生的求知欲；⑵数形结合，提升认识；⑶通过知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；⑷通过列表总结知识，提升认知水平.

【教学过程】

*揭示课题2.2区间*创设情景兴趣导入问题资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的，设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/小时与350公里/小时之间．

如何表示列车的运行速度的范围？*动脑思考明确新知概念一般地，由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点.不含端点的区间叫做开区间.如集合x|2x4表示的区间是开区间，用记号(2,4)表示.其中2叫做区间的左端点，4叫做区间的右端点.

含有两个端点的区间叫做闭区间.如集合x|2x27

4表示的区间是闭区间，用记号[2,4]表示.只含左端点的区间叫做右半开区间，如集合{x|2?x4}表示的区间是右半开区间，用记号[2,4)表示；

只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合{x|2x4}表示的区间是左半开区间，用记号(2,4]表示.

引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为(200,350)．

*巩固知识典型例题

例1已知集合A1,4，集合B[0,5]，求：AB，AB．解两个集合的数轴表示如下图所示,

AB(1,5]，AB[0,4)．

*运用知识强化练习教材练习2.2.1

*动脑思考明确新知问题集合{x|x2}可以用数轴上位于2右边的一段不包括端点的射线表示，如何用区间表示？解决集合{x|x2}表示的区间的左端点为2，不存在右端点，为开区间，用记号(2,)表示．其中符号“+”（读作“正无穷大”），表示右端点可以任意大，但是写不出具体的数．

类似地，集合{x|x2}表示的区间为开区间，用符号(,2)表示（“”读作“负无穷大”）．集合{x|x…2}表示的区间为右半开区间，用记号[2,)表示；集合{x|x2}表示的区间为左半开区间，用记号(,2]表示；实数集R可以表示为开区间，用记号(,)表示．注意“”与“”都是符号，而不是一个确切的数．*巩固知识典型例题

例2已知集合A(,2)，集合B(,4]，求AB，AB．解观察如下图所示的集合A、B的数轴表示，得（1）AB(,4]B；（2）AB(,2)A．

28

例3设全集为R，集合A(0,3]，集合B(2,)，

*运用知识强化练习教材练习2.2.2

*理论升华整体建构

下面将各种区间表示的集合列表如下（表中a、b为任意实数，且ab）．区间(a,b)[a,b]{x|a≤x≤b}(,b){x|xb}[a,){x|x≥a}(a,b]{x|ax≤b}(,b]{x|x≤b}集合{x|axb}区间[a,b)集合{x|a≤xb}区间(a,)(,)集合{x|xa}R．

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节2.2，学习与训练2.2；(2)书面作业：教材习题2.2，学习与训练2.2训练题．

*教学后记

29

2.3一元二次不等式（21-23）

【教学目标】

知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；

⑵掌握一元二次不等式的图像解法．

能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察

能力与数学思维能力；

⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．

【教学重点】

⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．

【教学难点】一元二次不等式的解法．【教学设计】

⑴从复习一次函数图像、一元一次方程、一元一次不等式的联系入手；⑵类比观察一元二次函数图像，得到一元二次不等式的图像解法；⑶加强知识的巩固与练习，培养学生的数学思维能力；

【教学过程】

*揭示课题2.3一元二次不等式*回顾思考复习导入问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？解决观察函数y2x6的图像：

方程2x60的解x3恰好是函数图像与x轴交点的横坐

标；在x轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x60的解集{x|x3}；在x轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x60的解集{x|x3}．归纳一般地，如果方程axb0(a0)的解是x0，那么函数yaxb图像与x轴的交点坐标为(x0,0)，并且（1）不等式axb0(a0)的解集是函数yaxb的图像在x轴上方部分所对应的

自变量x的取值范围，即{x|xx0}；

30

（2）不等式axb0(a0)的解集是函数yaxb在x轴下方部分所对应的自变量x的取值

范围，即{x|xx0}．

总结由此看到，通过对函数yaxb的图像的研究，可以求出不等式axb0与axb0的解集．*动脑思考明确新知

概念含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式，叫做一元二次不等式．一般形式ax2bxc(…)0或ax2bxc()0*动手探索感受新知

思考二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存在着哪些联系？解决解方程x2x60得x12,x23．观察图像可以看到，方程x2x60的解，恰好分别为函数图像与x轴交点的横坐标；在x轴上方的函数图像，所对应的自变量x的取值范围，即{x|x2或x3}内的值，使得yx2x60；在x轴下方的函数图像所对应的自变量x的取值范

a0．

围，即{x|2x3}内的值，使得yx2x60．*动脑思考探索新知

解法利用一元二次函数yax2bxcax2bxc0．

a0的图像可以解不等式ax2bxc0或

（1）当b24ac0时，方程ax2bxc0有两个不相等的实数解x1和x2(x1x2)，一元二

次函数yax2bxc的图像与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)(如图（1）所示)．此时，不等式ax2bxc0的解集是x1,x2，不等式ax2bxc0的解集是(,x1)(x2,)；

（1）（2）（3）

（2）当b24ac0时，方程ax2bxc0有两个相等的实数解x0，一元二次函数yax2bxc的图像与x轴只有一个交点(x0,0)（如图（2）所示）．此时，不等式ax2bxc0的解集是；不等式ax2bxc0的解集是(,x0)(x0,)．

（3）当b24ac0时，方程ax2bxc0没有实数解，一元二次函数yax2bxc的图像与x轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式ax2bxc0的解集是；不等式ax2bxc0的解集是R．

31

*巩固知识典型例题

例1解下列各一元二次不等式：

（1）x2x60；（2）x29；

（3）5x3x220；（4）2x24x30．

分析首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．

例2x是什么实数时，3x2x2有意义．

2解根据题意需要解不等式3x2x2…0．解方程3x2x20得x1,x21．由于二次项系

32数为30，所以不等式的解集为,1,．

32即当x,1,时，3x2x2有意义．

3*运用知识强化练习教材练习2.3

解下列各一元二次不等式：

（1）2x24x20；（2）x23x10…0．

*理论升华整体建构

当a0时，一元二次不等式的解集如下表所示：

方程或不等式ax2bxc0ax2bxc0ax2bxc…0ax2bxc0ax2bxc0解集000x1,x2(,x1)(x2,)x0(,x0)(x0,)RR,x1x2,(x1,x2)Rx1,x2x0表中b24ac,x1x2．

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节2.3，学习与训练2.3；(2)书面作业：教材习题2.3，学习与训练2.3训练题．

*教学后记

32

2.4含绝对值的不等式（24-25）

【教学目标】

知识目标：（1）理解含绝对值不等式xa或xa的解法；

（2）了解axbc或axbc的解法．

能力目标：（1）通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力；

（2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．

【教学重点】（1）不等式xa或xa的解法．

（2）利用变量替换解不等式axbc或axbc．

【教学难点】利用变量替换解不等式axbc或axbc．【教学设计】

（1）从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解；（2）观察图形得到不等式xa或xa的解集；（3）运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力；

（4）加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神．

【教学过程】

*揭示课题2.4含绝对值的不等式*回顾思考复习导入

问题任意实数的绝对值是如何定义的？其几何意义是什么？

x,x0,解决对任意实数x，有x0,x0,

x,x0.其几何意义是：数轴上表示实数x的点到原点的距离．拓展不等式x2和x2的解集在数轴上如何表示？

根据绝对值的意义可知，方程x2的解是x2或x2，不等式x2的解集是(2,2)（如图（1）所示）；不等式x2的解集是(,2)(2,)（如图（2）所示）．

（1）

33

（2）*动脑思考明确新知

一般地，不等式xa（a0）的解集是a,a；不等式xa（a0）的解集是

,aa,．

*巩固知识典型例题

例１解下列各不等式：

（1）3x10；（2）2x?6．

分析：将不等式化成xa或xa的形式后求解．*运用知识强化练习教材练习2.4.1*实际操作探索新知

问题如何通过xa（a0）求解不等式2x13？

解决在不等式2x13中，设m2x1，则不等式2x13化为m3，其解集为

3m3，即32x13．利用不等式的性质，可以求出解集．

总结可以通过“变量替换”的方法求解不等式axbc或axbc（c0）．*动脑思考感悟新知

不等式axbc或axbc（c0）可以通过“变量替换”的方法求解．实际运算中，可以省略变量替换的书写过程．即axbccaxbc

axbcaxbc或axbc

*巩固知识典型例题例2解不等式2x13．例3解不等式2x57．*运用知识强化练习教材练习2.4.2．归纳与小结

不等式xa（a0）的解集是a,a；不等式xa（a0）的解集是,aa,．*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节2.4，学习与训练2.4；(2)书面作业：教材习题2.4，学习与训练2.4训练题．*教学后记

34

第二章小结与复习（26-27）

【教学目标】

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；

3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；

【教学重点】

不等式性质的应用，一元二次不等式的解法基本不等式的应用。【教学难点】

利用不等式加法法则及乘法法则解题，基本不等式的应用。【教学过程】

1.本章知识结构

2.知识梳理（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba(2)传递性：ab,bcac

(3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd

(4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc

ab0,cd0acbd

(5)倒数法则：ab,ab0n11abn(6)乘方法则：ab0ab(nN*且n1)

(7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法

3、应用不等式性质证明（二）一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

22设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，

22则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本的表格)

二次函数0yaxbxc20yaxbxc20yax2bxcyax2bxc（a0）的图象一元二次方程axbxc02有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根bx1x22aa0的根ax2bxc0(a0)的解集无实根Rxxx或xx12bxx2a36

ax2bxc0(a0)的解集xx1xx2

练习：教材第二章检测题

在3.1函数的概念及其表示法

【教学目标】

知识目标：

(1)理解函数的定义；(2)理解函数值的概念及表示；(3)理解函数的三种表示方法；

(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法．能力目标：

(1)通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；

(2)通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；

(3)会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．

【教学重点】(1)函数的概念；(2)利用“描点法”描绘函数图像．

【教学难点】(1)对函数的概念及记号yf(x)的理解(2)利用“描点法”描绘函数图像，【教学设计】

（1）从复习初中学习过的函数知识入手，做好衔接；（2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平；（3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础；（4）学习“描点法”作图的步骤，通过实践培养技能；（5）重视学生独立思考与交流合作的能力培养.

【教学过程】

*创设情景兴趣导入问题学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？归纳因为x表示购买果汁饮料瓶数，所以x可以取集合0,1,2,3,中的任意一个值，按照算式法则y2.5x，应付款y有唯一的值与之对应．

两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系．*动脑思考探索新知概念在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一

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个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数．表示将上述函数记作yfx．

变量x叫做自变量，数集D叫做函数的定义域．

当xx0时，函数yfx对应的值y0叫做函数yfx在点x0处的函数值．记作y0fx0.函数值的集合y|yfx,xD叫做函数的值域．

函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素．说明定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数yx与st表示的是同一个函数．

*巩固知识典型例题例１求下列函数的定义域：（１）fx1；（２）fx12x．x1分析如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合．

归纳代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零．例2设fx2x1，求f0，f2，f5，fb．3分析本题是求自变量xx0时对应的函数值，方法是将x0代入函数表达式求值．例3指出下列各函数中，哪个与函数yx是同一个函数：x2（1）y；（2）yx2；（3）st．

x

*运用知识强化练习教材练习3.1.1

*创设情景兴趣导入

问题观察下面的三个例子，分别用什么样的形式表示函数：1.观察某城市201*年8月16日至8月25日的日最高气温统计表：

日期16171819202122232425最高气温29292830252829282930由表中可以清楚地看出日期x和最高气温y(C)之间的函数关系．

2.某气象站用温度自动记录仪记录下来的201*年11月29日0时至14时的气温T（C）随时间t（h）变化的曲线如下图所示：

曲线形象地反映出气温T（C）与时间t（h）之间的函数关系，这里函数的定义域为0,14．对定义域中的任意时间t，有唯一的气温T与之对应．例如，当t6时，气温T2.2C；当t14时，气温T12.5C．

3.用S来表示半径为r的圆的面积，则Sπr2．这个公式清楚地反映了半径r与圆的面积S之间的函数关系，这里函数的定义域为R．以任意的正实数r0为半径的圆的面积为S0πr02．*动脑思考探索新知

函数的表示方法:常用的有列表法、图像法和解析法三种.(1)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.(2)图像法：就是用函数图像表示两个变量之间的函数关系.

用图像法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.(3)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.

用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.*巩固知识典型例题

例4文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．

分析函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．

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归纳由例4的解题过程可以归纳出“已知函数的解析式，作函数图像”的具体步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）选取自变量x的若干值（一般选取某些代表性的值）计算出它们对应的函数值y，列出表

格；

（3）以表格中x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点(x,y)；（4）根据题意确定是否将描出的点联结成光滑的曲线．这种作函数图像的方法叫做描点法．例5利用“描点法”作出函数y数值时，精确到0.01)．

*运用知识强化练习教材练习3.1.2

1．判定点M11,2，M22,6是否在函数y13x的图像上．

2．市场上土豆的价格是3.2元／kg，应付款额y是购买土豆数量x的函数．请分别用解析法和图像法表示这个函数．*归纳小结强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节3.1，学习与训练3.1；(2)书面作业：学习与训练3.1训练题；(3)实践调查：举出函数的生活实例．

*教学后记

x的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点(求对应函

3.2函数的性质

【教学目标】

知识目标：

⑴理解函数的单调性与奇偶性的概念；⑵会借助于函数图像讨论函数的单调性；

⑶理解具有奇偶性的函数的图像特征，会判断简单函数的奇偶性．能力目标：

⑴通过利用函数图像研究函数性质，培养学生的观察能力；⑵通过函数奇偶性的判断，培养学生的数学思维能力．

【教学重点】

⑴函数单调性与奇偶性的概念及其图像特征；⑵简单函数奇偶性的判定．

【教学难点】

函数奇偶性的判断．（*函数单调性的判断）

【教学设计】

（1）用学生熟悉的主题活动将所学的知识有机的整合在一起；

（2）引导学生去感知数学的数形结合思想．通过图形认识特征，由此定义性质，再利用图形（或定义）进行性质的判断；

（3）在问题的思考、交流、解决中培养和发展学生的思维能力．

【教学过程】

*动脑思考探索新知概念函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性．类型设函数yfx在区间a,b内有意义．

（1）如图（1）所示，在区间a,b内，随着自变量的增加，函数值不断增大，图像呈上升趋势．即对于任意的x1,x2a,b，当x1x2时，都有fx1fx2成立．这时把函数fx叫做区间a,b内的增函数，区间a,b叫做函数fx的增区间．

（2）如图（2）所示，在区间a,b内，随着自变量的增加，函数值不断减小，图像呈下降趋势．即对于任意的x1,x2a,b，当x1x2时，都有fx1fx2成立．这时函数fx叫做区间a,b内的减函数，区间a,b叫做函数fx的减区间．

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图（1）图（2）

如果函数fx在区间a,b内是增函数（或减函数），那么，就称函数fx在区间a,b内具有单调性，区间a,b叫做函数fx的单调区间．几何特征函数单调性的几何特征：在自变量取值区间上，顺着x轴的正方向，若函数的图像上升，则函数为增函数；若图像下降则函数为减函数．判定方法判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定．*巩固知识典型例题

例1小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学．小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家．这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如下图所示．请指出这个函数的单调性．

分析对于用图像法表示的函数，可以通过对函数图像的观察来判断函数的单调性，从而得到单调区间．

例2判断函数y4x2的单调性．

分析对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域．

*运用知识强化练习

教材练习3.2.1*理论升华整体建构

由一次函数ykxb（k0）的图像（如下图）可知：

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yyxx

（1）当k0时，图像从左至右上升，函数是单调递增函数；（2）当k0时，图像从左至右下降，函数是单调递减函数．

由反比例函数yk的图像（如下图）可知：x

（1）当k0时，在各象限中y值分别随x值的增大而减小，函数是单调递减函数；（2）当k0时，在各象限中y值分别随x值的增大而增大，函数是单调递增函数．

*创设情景兴趣导入问题平面几何中，曾经学习了关于轴对称图形和中心对称图形的知识．如图所示，点P3,2关于x轴的对称点是沿着x轴对折得到与P相重合的点P1，其坐标为；点P3,2关于y轴的对称点是沿着y轴对折得到与P相重合的点P2，其坐标为；点P3,2关于原点O的对称点是线段

OP绕着原点O旋转180°得到与P相重合的点P3，其坐标为．

*动脑思考探索新知

一般地，设点Pa,b为平面上的任意一点，则（1）点Pa,b关于x轴的对称点的坐标为a,b；（2）点Pa,b关于y轴的对称点的坐标为a,b；（3）点Pa,b关于原点O的对称点的坐标为a,b．

P3P1P244

*巩固知识典型例题

例3（1）已知点P2,3，写出点P关于x轴的对称点的坐标；

（2）已知点P（x,y)，写出点P关于y轴对称点的坐标与关于原点O的对称点的坐标；

（3）设函数yfx，在函数图像上任取一点Pa,fa，写出点P关于y轴的对称点的坐标与关于原点O的对称点的坐标．

分析本题需要利用三种对称点的坐标特征来进行研究．

*运用知识强化练习教材练习3.2.2

*创设情景兴趣导入问题观察下列函数图像是否具有对称性，如果有关于什么对称？

图（1）图（2）生活中还有很多类似的对称图形（见对应课件）．

对于图（1），如果沿着y轴对折，那么对折后y轴两侧的图像完全重合．即函数图像上任意一点P关于y轴的对称点P仍然在函数图像上，这时称函数图像关于y轴对称；y轴叫做这个函数图像的对称轴．

对于图（2），如果将图像沿着坐标原点旋转180°，旋转前后的图像完全重合．即函数图像上任意一点P关于原点O的对称点P仍然在函数的图像上，这时称函数图像关于坐标原点对称；原点O叫做这个函数图像的对称中心．*动脑思考探索新知概念

设函数yfx的定义域为数集D，对任意的xD，都有xD（即定义域关于坐标原点对称），且

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（1）fxfx函数yfx的图像关于y轴对称，此时称函数yf(x)为偶函数；（2）fxfx函数yfx的图像关于坐标原点对称，此时称函数称函数yf(x)为奇函数．

如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性．不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数．判断

判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是：

（1）求出函数的定义域，如果对于任意的xD都有xD（即关于坐标原点对称），则分别计算出f(x)与f(x),然后根据定义判断函数的奇偶性．

（2）如果存在某个x0D，但是x0D，则函数肯定是非奇非偶函数．

当然，对于用图像法表示的函数，可以通过对图像对称性的观察判断函数是否具有奇偶性．*巩固知识典型例题

例4判断下列函数的奇偶性：

（1）fxx3；（2）fx2x21；（3）fxx；（4）fxx1．分析需要依照判断函数奇偶性的基本步骤进行．

*运用知识强化练习教材练习3.2.2

归纳小结

（1）奇函数及偶函数的定义；

（2）判断一个函数是否具有奇偶性的基本步骤是什么。*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节3.2；(2)书面作业：学习与训练3.2；(3)实践调查：举出函数性质的生活实例．

*教学后记

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3.3函数的实际应用举例

【教学目标】

知识目标：

（1）理解分段函数的概念；（2）理解分段函数的图像；

（3）了解实际问题中的分段函数问题．能力目标：

（1）会求分段函数的定义域和分段函数在点x0处的函数值f(x0)；（2）掌握分段函数的作图方法；

（3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式．

【教学重点】（1）分段函数的概念；（2）分段函数的图像．

【教学难点】（1）建立实际问题的分段函数关系；（2）分段函数的图像．【教学设计】

（1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣；

（2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识；

（3）提供数学交流的环境，培养合作意识．

【教学过程】

*揭示课题3.3函数的实际应用举例*创设情景兴趣导入问题我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：

用水量收费（元／m）污水处理费（元／m）33不超过10m部分3超过10m部分31.300.302.000.80

那么，每户每月用水量x（m）与应交水费y（元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？分析

由表中看出，在用水量不超过10（m）的部分和用水量超过10（m）的部分的

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3计费标准是不相同的．因此，需要分别在两个范围内来进行研究．解决分别研究在两个范围内的对应法则，列出下表：

用水量x/m水费30x10y1.30.3xx10y1.6102.00.8x10y/元书写解析式的时候，必须要指明是哪个范围的解析式，因此写作0x10,1.6x,yfx2.8x12,x10.归纳这个函数与前面所见到的函数不同，在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示．*动脑思考探索新知概念在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集．如前面水费问题中函数的定义域为0,1010,0,．函数值求分段函数的函数值fx0时，应该首先判断x0所属的取值范围，然后再把x0代入到相应的解析式中进行计算．

3如前面水费问题中求某户月用水8（m）应交的水费f8时，因为0810，所

以f81.6812.8（元）．注意分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．*巩固知识典型例题

2x1,yfx例1设函数2x,x0,x0.

（１）求函数的定义域；

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（２）求f2,f0,f1的值．

分析分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集．求分段函数的函数值fx0时，应该首先判断x0所属的取值范围，再把x0代入到相应的解析式中进行计算．

*运用知识强化练习教材练习3.3

*动脑思考探索新知分段函数的作图因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．*巩固知识典型例题

x1,例2作出函数yfxx1,x0,x…0的图像．

分析由解析式可以看到，需要分别在,0和0,两个范围内作出对应的图像，从而得到函数的图像．

解作出yx1的图像，取x0的部分；作出yx1的图像，取x…0的部分；由此得到函数的图像（如下图）．

说明（1）因为分段函数是一个函数，应将不同取值范围的图像作在同一个平面直角坐标系中．

（2）因为yx1是定义在x0的范围，所以yx1的图像不包含0,1点．*运用知识强化练习

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教材练习3.3.1

*巩固知识典型例题

例3某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km时，收费7元；行程超过3km，但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km的部分每公里收费1.0元；超过10km时，超过部分除每公里收费1.0元外，再加收50的回程空驶费．试求车费y（元）与

x（公里）之间的函数解析式，并作出函数图像．

分析收费标准依行车的公里数分为3种情况，因此，要分别在3个范围内进行讨论．

*运用知识强化练习教材练习3.3。2

*归纳小结强化思想

（1）分段函数的概念；（2）分段函数的图像．

（3）会求分段函数的定义域和分段函数在点x0处的函数值f(x0)；

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材章节3.3；(2)书面作业：学习与训练3.3；

(3)实践调查：调查生活中分段函数的实例．*教学后记

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