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高一数学期末复习必修4知识点总结201*.6

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高一数学期末复习必修4知识点总结201*.6

高一数学期末复习必修4知识点总结

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.

8、若扇形的圆心角为为弧度制,半径为r,弧长为l,周长为C,面积为S,

11则lr,C2rl,Slrr2.

229、设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标是x,y,它与原点的距离是rrx2y20,则sinyxy,cos,tanx0.rrx10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

切为正,第四象限余弦为正.

11、三角函数线:sin,cos,tan.12、同角三角函数的基本关系:1sin2cos21

yPTOMAxsin21cos2,cos21sin2;2sinsintancos,cos.

tansintancos13、三角函数的诱导公式:

1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.

5sincos,cossin.22cos,cossin.224、已知是第几象限角,确定

n所在象限的方法:先把各象限均分n等份,

n*再从x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为

终边所落在的区域.n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

l6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,则角的弧度数的绝对值是.

r6sin1807、弧度制与角度制的换算公式:2360,1,157.3.180口诀:“奇变偶不变,符号看象限”

1

14、函数ysinx的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数

定义域值域RRysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1xxk,k2倍(纵坐标不变),得到函数ysinx的图象;再将函数

,ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变)得到函数ysinx的图象.

函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的得到函数

ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点向左(右)平移

11,1当x2k1,1k当x2kk时,R2倍(纵坐标不变),

最值时,ymax1;当ymax1;当x2kx2k2k时,ymin1.既无最大值也无最小值个单位长k时,ymin1.周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数22度,得到函数ysinx的图象;再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数ysinx的图象.函数ysinx0,0的性质:

1①振幅:;②周期:;③频率:f;④相位:x;⑤初相:.

22函数ysinx,当xx1时,取得最小值为ymin;当xx2时,取得最大值为ymax,则11ymaxymin,ymaxymin,x2x1x1x2222在2k,2k22单调在2k,2kk上是增函数;15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函数性质k上是增函数;在32k,2k22在在k,k22ysinxycosxytanx性2k,2kk上是减函数.称中k上是增函数.图象

k上是减函数.对2

对称中心k,0k对对称轴心对称中心称性k,0k2k,0kxk2k对称轴xkk无对称轴16、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:⑴coscoscossinsin;⑵coscoscossinsin;⑶sinsincoscossin;⑷sinsincoscossin;

⑸tantantan1tantan(tantantan1tantan);

⑹tantantan1tantan(tantantan1tantan).

17、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sincos.⑵

cos2cos2sin22cos2112sin2(

cos2cos212sin21cos22).⑶tan22tan1tan2.18、sincos22sin,其中tan.结论:asinx+bcosxa2b2(asina2b2xb)a2b2cosx

a2b2(cossinxsincosx)a2b2sin(x)

(其中cosφ=

asina2b2,ba2b2)

(或ta3、应用

(1)求3sinx+4cosx的周期及最值

解:3sinx+4cosx53sinx455cosx5(sinxcoscosxsin)5sin(x)

(其中cosφ35,sin45)∴3sinx+4cosx的周期T2最大值为5,最小值为-5

3

扩展阅读:高一数学必修1、4各章知识点总结

高201*级第一学期数学期末复习知识清单

高一数学必修1各章知识点总结

一、集合有关概念1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性:

(1)元素的确定性如:世界上最高的山

(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示:{}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。注意:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集)记作:N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1)列举法:{a,b,c}

2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:4、集合的分类:(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

2

(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集

注意:AB有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

B或BA反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)

2

实例:设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即:①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作A③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集三、集合的运算运交集并集补集算定义韦恩

B(或BA)

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图示性质例题:1.下列四组对象,能构成集合的是()A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a,b,c}的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是.

2

4.设集合A=x1x2,B=xxa,若AB,则a的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,

两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。

6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.

7.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

二、函数的有关概念

2222

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②

定义域一致(两点必须同时具备)2.值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值

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y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

(2)画法

A、描点法:图象变换法

常用变换方法有三种:1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”对于映射f:A→B来说,则应满足:

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.补充:复合函数

若y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A),称为f、g的复合函数。二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1高201*级第一学期数学期末复习知识清单

5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).○

(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤:1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;○

2确定f(-x)与f(x)的关系;○

3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;○

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有:

1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○

2利用图象求函数的最大(小)值○

3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:○

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);例题:

1.求下列函数的定义域:

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⑴yx12x22x15⑵

y1()x1x332.设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为__

3.若函数f(x1)的定义域为[2,3],则函数f(2x1)的定义域是

x2(x1)4.函数,若f(x)3,则x=f(x)x2(1x2)2x(x2)5.求下列函数的值域:

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x5f(2x1)的解析式

6.已知函数f(x1)x24x,求函数f(x),7.已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4,则

f(x)=。

8.设f(x)是R上的奇函数,且当x[0,)时,f(x)x(13x),则当x(,0)时f(x)在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间:⑴yx22x3⑵yf(x)=

x22x3⑶yx26x1

10.判断函数yx31的单调性并证明你的结论.11.设函数f(x)1x2判断它的奇偶性并且求证:1f()f(x).21xx第二章基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果xa,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n*

∈N.

负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n00。

na(a0)当n是奇数时,aa,当n是偶数时,a|a|

a(a0)nnnn2.分数指数幂:正数的分数指数幂的意义,规定:

anam(a0,m,nN*,n1),amnmn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3.实数指数幂的运算性质

rrrsaaa(a0,r,sR);(1)

rsrs(a)a(a0,r,sR)(2)

5

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(3)(ab)aa(a0,r,sR).(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数yax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>10高201*级第一学期数学期末复习知识清单

(二)对数的运算性质

如果a0,且a1,M0,N0,那么:1loga(MN)logaM+logaN;○

MlogaM-logaN;N3logaMnnlogaM(nR).○

2loga○

注意:换底公式

logablogcb(a0,且a1;c0,且c1;b0).

logca1n(2)logab.logab;

mlogba利用换底公式推导下面的结论(1)logambn(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数ylogax(a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

注意:○1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:

y2log2x,ylog5x都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

52对数函数对底数的限制:(a0,且a1).○

2、对数函数的性质:a>132.521.50高201*级第一学期数学期末复习知识清单

log272log522.计算:①log32;②24log23=;2535=;

log27641③0.064(7)0[(2)3]160.750.01=

13431283.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为

2

24.若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=

f(x)0的

5.已知f(x)log1x(a0且a1),(1)求f(x)的定义域(2)求使

ax的取值范围

1x第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:2、函数零点的意义:

即:方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.3、函数零点的求法:

1(代数法)求方程f(x)0的实数根;○

2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y○

f(x)的图象联系

起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:5、二次方程根的分布

高一数学必修4各章知识点总结

一、三角函数

1、善于用“1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数中的数学思想方法5、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:函

ycosxytanxysinx数性

图象

8

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定义

域值

域最值周

期性

偶性

单调性对称性

6、角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第几象限角.

k360k36090,k

第一象限角的集合为

k36090k360180,k第二象限角的集合为k360180k360270,k第三象限角的集合为k360270k360360,k

第四象限角的集合为

k180,k

终边在x轴上的角的集合为

k18090,ky终边在轴上的角的集合为

k90,k

终边在坐标轴上的角的集合为

k360,k7、与角终边相同的角的集合为

8、已知是第几象限角,确定

nn*所在象限的方法:

9、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

10、诱导公式:口诀:奇变偶不变,符号看象限.

公式一:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanα

公式二:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosα

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tan(π+α)=tanα

公式三:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα

公式四:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα

公式五:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanα

公式六:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotα

公式七:sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotα

公式八:sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotα

公式九:sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotα(以上k∈Z)

11、同角三角函数基本关系:商数关系:sinα/cosα=tanα

平方关系:sincos1二、平面向量

1、定义:向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度.零向量:长度为0的向量.

单位向量:长度等于1个单位的向量.相等向量:长度相等且方向相同的向量2、向量的运算加法运算

AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。3、减法运算

与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。4、数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,当λ=0时,λa=0。设λ、μ是实数,那么:(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa

10

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(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。4、向量的数量积

已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积,记作ab,θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。ab的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。练习:

1下列命题中正确的是()

AOAOBBABBAAB0

C0AB0DABBCDCDA2设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且AB2AP,则点P的坐标为()

1)A(3,1)B(1,

)(1,1)D无数多个C(3,1或

3若平面向量b与向量a(1,2)的夹角是180,且|b|35,则b()

oA(3,6)B(3,6)C(6,3)D(6,3)

4向量a(2,3),b(1,2),若mab与a2b平行,则m等于

A2B2C

11D

22a5若a,b是非零向量且满足(a2b)a,(b2a)b,则与b的夹角是()

25BCD633613aa(,sin)b(cos,)6设,,且//b,则锐角为()

23A

A30B60C75D45

00007若|a|1,|b|2,cab,且ca,则向量a与b的夹角为

8已知向量a(1,2),b(2,3),c(4,1),若用a和b表示c,则c=____

0a1b2609若,,a与b的夹角为,若(3a5b)(mab),则m的值为

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10若菱形ABCD的边长为2,则ABCBCD__________

11若a=(2,3),b=(4,7),则a在b上的投影为________________

12求与向量a(1,2),b(2,1)夹角相等的单位向量c的坐标

G为交点,E,F分别是BC,DC的中点,AD=b,13.如图,中,平行四边形ABCD中,若AB=a,

试以a,b为基底表示DE、BF、CG

DFGEBCA14.已知向量a与b的夹角为60,|b|4,(a2b).(a3b)72,求向量a的模

15.已知a(1,2),b(3,2),当k为何值时,

(1)kab与a3b垂直?

(2)kab与a3b平行?平行时它们是同向还是反向?

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