高一数学期末复习必修4知识点总结201*.6

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高一数学期末复习必修4知识点总结

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，

11则lr，C2rl，Slrr2．

229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是rrx2y20，则sinyxy，cos，tanx0．rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin，cos，tan．12、同角三角函数的基本关系：1sin2cos21

yPTOMAxsin21cos2,cos21sin2；2sinsintancos,cos．

tansintancos13、三角函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

5sincos，cossin．22cos，cossin．224、已知是第几象限角，确定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，

n*再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为

终边所落在的区域．n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

l6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是．

r6sin1807、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．180口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

1

14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数

定义域值域RRysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1xxk,k2倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数

，ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变）得到函数ysinx的图象．

函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移

11,1当x2k1,1k当x2kk时，R2倍（纵坐标不变），

最值时，ymax1；当ymax1；当x2kx2k2k时，ymin1．既无最大值也无最小值个单位长k时，ymin1．周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数22度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．函数ysinx0,0的性质：

1①振幅：；②周期：；③频率：f；④相位：x；⑤初相：．

22函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin；当xx2时，取得最大值为ymax，则11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2222在2k,2k22单调在2k,2kk上是增函数；15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质k上是增函数；在32k,2k22在在k,k22ysinxycosxytanx性2k,2kk上是减函数．称中k上是增函数．图象

k上是减函数．对2

对称中心k,0k对对称轴心对称中心称性k,0k2k,0kxk2k对称轴xkk无对称轴16、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；

⑸tantantan1tantan（tantantan1tantan）；

⑹tantantan1tantan（tantantan1tantan）．

17、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵

cos2cos2sin22cos2112sin2（

cos2cos212sin21cos22）．⑶tan22tan1tan2．18、sincos22sin，其中tan．结论：asinx+bcosxa2b2(asina2b2xb)a2b2cosx

a2b2(cossinxsincosx)a2b2sin(x)

(其中cosφ＝

asina2b2,ba2b2)

(或ta3、应用

(1)求3sinx＋４cosx的周期及最值

解：3sinx＋４cosx53sinx455cosx5(sinxcoscosxsin)5sin(x)

(其中cosφ35,sin45)∴3sinx＋4cosx的周期T2最大值为5，最小值为－５

3

，

扩展阅读：高一数学必修1、4各章知识点总结

高201*级第一学期数学期末复习知识清单

高一数学必修1各章知识点总结

一、集合有关概念1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1）列举法：{a,b,c}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无限集含有无限个元素的集合

2

（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集

注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

B或BA反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

2

实例：设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作A③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集三、集合的运算运交集并集补集算定义韦恩

B(或BA)

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图示性质例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c}的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.

2

4.设集合A=x1x2，B=xxa，若AB，则a的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.

7.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念

2222

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②

定义域一致(两点必须同时具备)2．值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值

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y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

(2)画法

A、描点法：图象变换法

常用变换方法有三种：1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．5．映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数

若y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)，称为f、g的复合函数。二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1高201*级第一学期数学期末复习知识清单

5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．○

(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○

2确定f(－x)与f(x)的关系；○

3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；○

若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：

1)凑配法2）待定系数法3）换元法4）消参法10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○

2利用图象求函数的最大（小）值○

3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；例题：

1.求下列函数的定义域：

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⑴yx12x22x15⑵

y1()x1x332.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为__

3.若函数f(x1)的定义域为[2，3]，则函数f(2x1)的定义域是

x2(x1)4.函数，若f(x)3，则x=f(x)x2(1x2)2x(x2)5.求下列函数的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x5f(2x1)的解析式

6.已知函数f(x1)x24x，求函数f(x)，7.已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4，则

f(x)=。

8.设f(x)是R上的奇函数，且当x[0,)时,f(x)x(13x),则当x(,0)时f(x)在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间：⑴yx22x3⑵yf(x)=

x22x3⑶yx26x1

10.判断函数yx31的单调性并证明你的结论．11.设函数f(x)1x2判断它的奇偶性并且求证：1f()f(x)．21xx第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n*

∈N．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。

na(a0)当n是奇数时，aa，当n是偶数时，a|a|

a(a0)nnnn2．分数指数幂：正数的分数指数幂的意义，规定：

anam(a0,m,nN*,n1)，amnmn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质

rrrsaaa(a0,r,sR)；（1）

rsrs(a)a(a0,r,sR)（2）

5

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（3）(ab)aa(a0,r,sR)．（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10高201*级第一学期数学期末复习知识清单

（二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(MN)logaM＋logaN；○

MlogaM－logaN；N3logaMnnlogaM(nR)．○

2loga○

注意：换底公式

logablogcb（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca1n（2）logab．logab；

mlogba利用换底公式推导下面的结论（1）logambn（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

y2log2x，ylog5x都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

52对数函数对底数的限制：(a0，且a1)．○

2、对数函数的性质：a>132.521.50高201*级第一学期数学期末复习知识清单

log272log522.计算：①log32;②24log23=；2535=;

log27641③0.064(7)0[(2)3]160.750.01=

13431283.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为

2

24.若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

f(x)0的

5.已知f(x)log1x(a0且a1)，（1）求f(x)的定义域（2）求使

ax的取值范围

1x第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：2、函数零点的意义：

即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：

1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y○

f(x)的图象联系

起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：5、二次方程根的分布

高一数学必修4各章知识点总结

一、三角函数

1、善于用“1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数中的数学思想方法5、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函

ycosxytanxysinx数性

质

图象

8

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定义

域值

域最值周

期性

奇

偶性

单调性对称性

6、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

k360k36090,k

第一象限角的集合为

k36090k360180,k第二象限角的集合为k360180k360270,k第三象限角的集合为k360270k360360,k

第四象限角的集合为

k180,k

终边在x轴上的角的集合为

k18090,ky终边在轴上的角的集合为

k90,k

终边在坐标轴上的角的集合为

k360,k7、与角终边相同的角的集合为

8、已知是第几象限角，确定

nn*所在象限的方法：

9、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

10、诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限．

公式一：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα

公式二：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosα

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tan（π＋α）＝tanα

公式三：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα

公式四：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα

公式五：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα

公式六：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotα

公式七：sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotα

公式八：sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotα

公式九：sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotα(以上k∈Z)

11、同角三角函数基本关系:商数关系：sinα/cosα＝tanα

平方关系：sincos1二、平面向量

1、定义：向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量的运算加法运算

AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。3、减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。4、数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0。设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λμ)a=λaμa

10

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（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。4、向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作ab，θ是a与b的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。练习：

1下列命题中正确的是（）

AOAOBBABBAAB0

C0AB0DABBCDCDA2设点A(2,0)，B(4,2),若点P在直线AB上，且AB2AP，则点P的坐标为（）

1)A(3,1)B(1,

)(1,1)D无数多个C(3,1或

3若平面向量b与向量a(1,2)的夹角是180，且|b|35，则b()

oA(3,6)B(3,6)C(6,3)D(6,3)

4向量a(2,3)，b(1,2)，若mab与a2b平行，则m等于

A2B2C

11D

22a5若a,b是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则与b的夹角是（）

25BCD633613aa(,sin)b(cos,)6设，，且//b，则锐角为（）

23A

A30B60C75D45

00007若|a|1,|b|2,cab，且ca，则向量a与b的夹角为

8已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,1)，若用a和b表示c，则c=____

0a1b2609若,，a与b的夹角为，若(3a5b)(mab)，则m的值为

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10若菱形ABCD的边长为2，则ABCBCD__________

11若a=(2,3)，b=(4,7)，则a在b上的投影为________________

12求与向量a(1,2)，b(2,1)夹角相等的单位向量c的坐标

G为交点，E,F分别是BC,DC的中点，AD=b，13.如图，中，平行四边形ABCD中，若AB=a，

试以a，b为基底表示DE、BF、CG

DFGEBCA14.已知向量a与b的夹角为60，|b|4,(a2b).(a3b)72,求向量a的模

15．已知a(1,2),b(3,2),当k为何值时，

（1）kab与a3b垂直？

（2）kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？

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