高一数学知识点总结--必修5
高中数学必修5知识点
第一章:解三角形
1、正弦定理:在C中,a、b、c分别为角、、C的对边,R为C的外接圆的半径,则有
asinbsina2RcsinC2R.
2、正弦定理的变形公式:①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC;
②sin,sinb2R,sinCc2R;(正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中)
③a:b:csin:sin:sinC;④
abcsinsinsinCsinsinsinC111bcsinabsinCacsin.222abc.
3、三角形面积公式:SC4、余定理:在C中,有a2b2c22bccos,b2a2c22accos,
cab2abcosC.
2225、余弦定理的推论:cosbca2bc222,cosacb2ac222,cosCabc2ab222.
6、设a、b、c是C的角、、C的对边,则:①若a2b2c2,则C90为直角三角形;
②若a2b2c2,则C90为锐角三角形;③若a2b2c2,则C90为钝角三角形.
第二章:数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数.2、数列的项:数列中的每一个数.
3、有穷数列:项数有限的数列.
4、无穷数列:项数无限的数列.
5、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.6、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
7、常数列:各项相等的数列.
8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.9、数列的通项公式:表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式.
10、数列的递推公式:表示任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系的公式.
11、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个
常数称为等差数列的公差.
12、由三个数a,,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则称为a与b的等差中项.若
bac2,则称b为a与c的等差中项.
13、若等差数列an的首项是a1,公差是d,则ana1n1d.
第1页共6页
通项公式的变形:①anamnmd;②a1ann1d;③d⑤danamnmana1n1;④nana1d1;
.14、若an是等差数列,且mnpq(m、n、p、q*),则amanapaq;若an是等差
数列,且2npq(n、p、q*),则2anapaq;下角标成等差数列的项仍是等差数列;连续m项和构成的数列成等差数列。15、等差数列的前n项和的公式:①Snna1an2;②Snna1nn12d.
16、等差数列的前n项和的性质:①若项数为2nn*,则S2nnanan1,且S偶S奇nd,
S奇S偶anan1.②若项数为2n1n*,则S2n12n1an,且S奇S偶an,
S奇S偶nn1(其中
S奇nan,S偶n1an).
17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个
常数称为等比数列的公比.
18、在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的等比中项.若G2ab,则
称G为a与b的等比中项.
n119、若等比数列an的首项是a1,公比是q,则ana1q.
nm20、通项公式的变形:①anamq;②a1anqn1;③qn1ana1;④qnmanam.
*21、若an是等比数列,且mnpq(m、n、p、q),则amanapaq;若an是等比数
*列,且2npq(n、p、q),则anapaq;下角标成等差数列的项仍是等比数列;连续m
2项和构成的数列成等比数列。
na1q122、等比数列an的前n项和的公式:Sna11qnaaq.
1nq11q1qq1时,Sna11qa11qq,即常数项与q项系数互为相反数。
nn23、等比数列的前n项和的性质:①若项数为2nn*,则SS偶奇q.
n②SnmSnqSm.③Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列.
第2页共6页
24、an与Sn的关系:anSnSn1S1n2n1
一些方法:
一、求通项公式的方法:
1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为anknb,列两个方程求解;
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为anan2bnc,列三个方程求解;③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为anaq2、由递推公式求通项公式:
①若化简后为an1and形式,可用等差数列的通项公式代入求解;②若化简后为an1anf(n),形式,可用叠加法求解;
③若化简后为an1anq形式,可用等比数列的通项公式代入求解;
④若化简后为an1kanb形式,则可化为(an1x)k(anx),从而新数列{anx}是等比数列,用等比数列求解{anx}的通项公式,再反过来求原来那个。(其中x是用待定系数法来求得)3、由求和公式求通项公式:
①a1S1②anSnSn1③检验a1是否满足an,若满足则为an,不满足用分段函数写。4、其他
(1)anan1fn形式,fn便于求和,方法:迭加;
例如:anan1n1有:anan1n1a2a13a3a24anan1n1各式相加得ana134n1a1nb,q为相除后的常数,列两个方程求解;
n4n1(2)anan12anan1形式,同除以anan1,构造倒数为等差数列;
anan1anan121an1例如:anan12anan1,则
1,即为以-2为公差的等差数列。anan1(3)anqan1m形式,q1,方法:构造:anxqan1x为等比数列;
例如:an2an12,通过待定系数法求得:an22an12,即an2等比,公比为2。(4)anqan1pnr形式:构造:anxnyqan1xn1y为等比数列;
nn(5)anqan1p形式,同除p,转化为上面的几种情况进行构造;
第3页共6页
因为anqan1pn,则
anpnqan1ppn11,若
qp1转化为(1)的方法,若不为1,转化为(3)的方
法二、等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法)
①若②若ak0,则Sn有最大值,当n=k时取到的最大值k满足d0a0k1a10a10ak0,则Sn有最小值,当n=k时取到的最大值k满足d0a0k1三、数列求和的方法:
①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值;
②错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:an2n13;
n③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:an1nn11n1n1,an12n12n1111等;
22n12n1④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如:
an2n1等;
n四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为ad和ad类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差;②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和aq类型,这样可以相乘约掉。
第三章:不等式
1、ab0ab;ab0ab;ab0ab.
比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。
2、不等式的性质:①abba;②ab,bcac;③abacbc;
④ab,c0acbc,ab,c0acbc;⑤ab,cdacbd;⑥ab0,cd0acbd;⑦ab0ab⑧ab0nnnn,n1;
anbn,n1.
3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.
第4页共6页
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式b4ac
201*
二次函数yaxbxc
2a0的图象
有两个相异实数根
一元二次方程axbxc0
2有两个相等实数根
a0的根
axbxc0
一元二次不等式的解集
2x1,2b2a
x1x2b2a
没有实数根
x1x2
a0axbxc0
2xxx1或xx2
bxx
2aRa0xx1xx2
5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y,所有这样的有序数对x,y构成的集合.
8、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0,坐标平面内的点x0,y0.
①若0,x0y0C0,则点x0,y0在直线xyC0的上方.②若0,x0y0C0,则点x0,y0在直线xyC0的下方.
9、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0.
①若0,则xyC0表示直线xyC0上方的区域;xyC0表示直线
xyC0下方的区域.
②若0,则xyC0表示直线xyC0下方的区域;xyC0表示直线
xyC0上方的区域.
10、线性约束条件:由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组,是x,y的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式.线性目标函数:目标函数为x,y的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.可行解:满足线性约束条件的解x,y.
第5页共6页
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.11、设a、b是两个正数,则
ab称为正数a、b的算术平均数,ab称为正数a、b的几何平均数.
212、均值不等式定理:若a0,b0,则ab2ab,即ab2ab.
13、常用的基本不等式:
①a2b22aba,bR;
22②abab2a,bR;
③abab2a2b2ab22a0,b0;④22a,bR.
14、极值定理:设x、y都为正数,则有
s(和为定值),则当xy时,积xy取得最大值s2⑴若xy.4⑵若xyp(积为定值),则当xy时,和xy取得最小值2p.
第6页共6页
扩展阅读:高中数学必修5知识点总结(精品)
必修5知识点总结
1、正弦定理:在C中,a、b、c分别为角、、C的对边,R为C的外接圆的半径,则有
asinbsincsinC2R.
2、正弦定理的变形公式:①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC;②sin④
a2R,sinb2R,sinCabsinc2R;③a:b:csin:sin:sinC;
csinCabcsinsinsinCsin.
(正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和一边,求其余的量。)
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形ABC中,已知a、b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想画出图:法一:把a扰着C点旋转,看所得轨迹以AD有无交点:当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二:是算出CD=bsinA,看a的情况:当a但不能到达,在岸边选取相距3千米的C、D两点,并测得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略
附:三角形的五个“心”;重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.内心:三角形三内角的平分线相交于一点.垂心:三角形三边上的高相交于一点.7、数列:按照一定顺序排列着的一列数.8、数列的项:数列中的每一个数.9、有穷数列:项数有限的数列.10、无穷数列:项数无限的数列.
11、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即:an+1>an).12、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即:an+1④nana1d1;⑤danamnm.
21、若an是等差数列,且mnpq(m、n、p、q*),则amanapaq;若an是等差数列,且2npq(n、p、q*),则2anapaq.22、等差数列的前n项和的公式:①Snna1an2;②Snna1nn12d.③
sna1a2an
23、等差数列的前n项和的性质:①若项数为2nn*,则S2nnanan1,且S偶S奇nd,
S奇S偶anan1.
S奇S偶nn1②若项数为2n1n*,则S2n12n1an,且S奇S偶an,S偶n1an).
(其中S奇nan,
24、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.符号表示:
an1anq(注:①等比数列中不会出现值为0的项;②同号位上
的值同号)
注:看数列是不是等比数列有以下四种方法:
2①anan1q(n2,q为常数,且0)②anan1an1(n2,anan1an10)
③ancqn(c,q为非零常数).
④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}(x1)成等比数列.
25、在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的等比中项.若Gab,
22则称G为a与b的等比中项.(注:由Gab不能得出a,G,b成等比,由a,G,bGab)
2n126、若等比数列an的首项是a1,公比是q,则ana1q.
27、通项公式的变形:①anamqnm;②a1anqn1;③qn1ana1;④qnmanam.
*28、若an是等比数列,且mnpq(m、n、p、q),则amanapaq;若an是等比
数列,且2npq(n、p、q*),则anapaq.
na1q129、等比数列an的前n项和的公式:①Sna1qnaaq.②sn1n1q11q1q2a1a2an
30、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:ans1a1(n1)snsn1(n2)
[注]:①ana1n1dnda1d(d可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若d不为0,则是等差数列充分条件).②等差{an}前n项和Sndddd22AnBnna1n→
222可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若
为零,则是等差数列的充分条件;若d不为零,则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)..附:几种常见的数列的思想方法:⑴等差数列的前n项和为Sn,在d0时,有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值,有两种方法:
d2n2一是求使an0,an10,成立的n值;二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:数列等差数列等比数列数列等差数列前n项和公式通项公式(a1d2)n利用二次函数的性质求n的值.
对应函数(时为一次函数)(指数型函数)对应函数(时为二次函数)等比数列(指数型函数)我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”,将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题:1、等差数列分析:因为
中,,则.
是等差数列,所以是关于n的一次函数,
一次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n,)三点共线,
所以利用每两点形成直线斜率相等,即,得=0(图像如上),这里利用等差数
列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。例题:2、等差数列
中,
,前n项和为
,若
,n为何值时
最大?
分析:等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=,
是抛物线=上的离散点,根据题意,,
则因为欲求最大。
最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为,即当时,
例题:3递增数列,对任意正整数n,
递增得到:
恒成立,设
恒成立,求
恒成立,即,则只需求出。
,因为是递的最大值即
分析:构造一次函数,由数列恒成立,所以可,显然
有最大值
对一切
对于一切
,所以看成函数
的取值范围是:
构造二次函数,,它的定义域是
增数列,即函数为递增函数,单调增区间为,抛物线对称轴,因为函数f(x)
为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看,对称轴的左侧
在也可以(如图),因为此时B点比A点高。于是,
,得
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n项和可依照等比数列前
n项和的推倒导方法:错位相减求和.例如:112,314,...(2n1)12n,...
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,
公差是两个数列公差d1,d2的最小公倍数.
2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证anan1(anan1)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
2an1anan2(an1anan2)nN都成立。
2am03.在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题:(1)当a1>0,d把①式两边同乘2后得
2sn=122232n2234n1②
用①-②,即:
123nsn=122232n2①
2sn=122232n2234n1②
得sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n1
22n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12
4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1):1+2+3+...+n=
n(n1)2212)1+3+5+...+(2n-1)=n3)12nn(n1)2223334)123n22216n(n1)(2n1)5)
1n(n1)1n1n1
1n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6)()(pq)
31、ab0ab;ab0ab;ab0ab.
32、不等式的性质:①abba;②ab,bcac;③abacbc;④ab,c0acbc,ab,c0acbc;⑤ab,cdacbd;
nd0acabdb0a⑥;⑦
⑧ab0
nnbn,n1;
anbn,n1.
33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式(高次不等式)的解法
穿根法(零点分段法)求解不等式:a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)
解法:①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“
由图可看出不等式x23x26x80的解集为:
x|2x1,或x4
(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。
例题:求解不等式
解:略
一元二次不等式的求解:
特例①一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.
二次函数yax22
000bxc有两相异实根x1,x2(x1x2)(a0)的图象一元二次方程ax2有两相等实根x1x2b2abxc0a0的根2无实根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2对于a0(或
f(x)g(x)(2)转化为整式不等式(组)
1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)
f(x)例题:求解不等式:解:略例题:求不等式
xx11
1的解集。
3.含绝对值不等式的解法:基本形式:
①型如:|x|<a(a>0)的不等式的解集为:x|axa②型如:|x|>a(a>0)的不等式的解集为:x|xa,或xa变型:
其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③当x2时,(去绝对值符号)原不等式化为:x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集为:x|112x9(注:是把①②③的解集并在一起)2y函数图像法:
令f(x)|x2||x3|
2x1(x3)则有:f(x)5(3x2)
2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图11292由图像可知原不等式的解集为:x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析:y设ax2+bx+c=0的两根为、,f(x)=ax2+bx+c,那么:0①若两根都大于0,即0,0,则有0
0o对称轴x=b2ax
0b0②若两根都小于0,即0,0,则有2af(0)0y
11对称轴x=b2aox
③若两根有一根小于0一根大于0,即0,则有f(0)0
④若两根在两实数m,n之间,即mn,
0bnm则有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若两个根在三个实数之间,即mtn,
yf(m)0则有f(t)0
f(n)0
常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如:若方程x2(m1)xm2m30有两个正实数根,求m的取值范围。
4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解:由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有两个正实数根时,m3。
又如:方程xxm10的一根大于1,另一根小于1,求m的范围。
55220m(1)4(m1)02解:因为有两个不同的根,所以由21m122f(1)011m101m12235、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.
36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y,所有这样的有序数对x,y构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0,坐标平面内的点x0,y0.①若0,x0y0C0,则点x0,y0在直线xyC0的上方.②若0,x0y0C0,则点x0,y0在直线xyC0的下方.39、在平面直角坐标系中,已知直线xyC0.(一)由B确定:
①若0,则xyC0表示直线xyC0上方的区域;xyC0表示直线
xyC0下方的区域.
②若0,则xyC0表示直线xyC0下方的区域;xyC0表示直线
xyC0上方的区域.
(二)由A的符号来确定:
先把x的系数A化为正后,看不等号方向:
①若是“>”号,则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。②若是“线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.可行解:满足线性约束条件的解x,y.可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.41、设a、b是两个正数,则
ab2称为正数a、b的算术平均数,ab称为正数a、b的几何平均数.
ab2ab.
42、均值不等式定理:若a0,b0,则ab2ab,即
43、常用的基本不等式:①ab2aba,bR;②ab222ab222a,bR;③
abab2a0,b0;
2④
ab222ab2a,bR.
44、极值定理:设x、y都为正数,则有:
⑴若xys(和为定值),则当xy时,积xy取得最大值
s42.⑵若xyp(积为定值),则当xy时,和xy取得最小值2例题:已知x解:∵x5454p.
14x5,求函数f(x)4x2的最大值。
,∴4x50
由原式可以化为:
f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132
当54x154x2,即(54x)1x1,或x32(舍去)时取到“=”号
也就是说当x1时有f(x)max2
友情提示:本文中关于《高一数学知识点总结--必修5》给出的范例仅供您参考拓展思维使用,高一数学知识点总结--必修5:该篇文章建议您自主创作。
来源:网络整理 免责声明:本文仅限学习分享,如产生版权问题,请联系我们及时删除。