高一数学必修4知识点总结

高一数学必修4知识点总结

高一数学必修4知识点

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为k360k36090,k第二象限角的集合为k36090k360180,k第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k终边在y轴上的角的集合为k18090,k终边在坐标轴上的角的集合为k90,k3、与角终边相同的角的集合为k360,k4、已知是第几象限角，确定

nnn所在象限的方法：先把各象限均分n等

*份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为

终边所落在的区域．

lr5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是1807、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．180．

8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，S12lr12r．

29、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是rrxy022，则sinyr，cosxr，tanyxx0．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin，cos，tan．12、同角三角函数的基本关系：1sincos1

22yPTsin1cos,cos1sin2222；2sincostan

OvMAxsinsintancos,cos．

tan13、三角函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos2cos2，cossin2．

6sin，cossin2．

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩

短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数ysinx的图象；再将函数

ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），

得到函数ysinx的图象．

函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx1倍（纵坐标不变），

的图象上所有点向左（右）平移

个单位

长度，得到函数ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点

的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinx的图象．

函数ysinx0,0的性质：

①振幅：；②周期：．

2；③频率：f12；④相位：x；⑤初相：

函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin；当xx2时，取得最大值为ymax，则12ymaxymin，12ymaxymin，

2x2x1x1x2．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函ycosx

性质

数ysinxytanx

图象

定义域值域

RR

xxk,k

2R1,1

当x2k21,1

k当x2kk时，

ymax1；当x2k

最值

时，ymax1；当

x2k

既无最大值也无最小值

2

1．

k时，ymin1．

k时，ymin2周

期性奇奇函数偶性单

调在2k,2k

22性

2

偶函数奇函数

在2k,2kk上是

增函

-3-在k2,k数；在

k上是增函数；在2k,2k

32k,2k22k上是增函数．

k上是减函数．

k上是减函数．

对称中心k,0k对

对称轴称

性xkk

2对称中心

对称中心

k,0k

2k,0k2对称轴xkk

无对称轴

16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③

a00aa．

⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

Ca

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2y,1y2

b．

abCC

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为

这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，xx2y1y2当12时，点的坐标是1,．

1123、平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abab；22当a与b反向时，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

若ax,y，则a222xy，或axy．

22设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20．

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则

abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222．

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；

⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan1tantantantan1tantan（tantantan1tantan）；

⑹tan（tantantan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．⑵

2cos2cossin2cos112sin1cos222222（cos2cos212，

sin）．

⑶tan22tan1tan2．

26、sincossin，其中tan22．

扩展阅读：高中数学必修4知识点总结

高中数学必修4知识点总结

第一章三角函数

1、特殊角的集合:

第一象限角的集合:{|k360k36090,kZ}第二象限角的集合:{|k36090k360180,kZ}第三象限角的集合:{|k360180k360270,kZ}第四象限角的集合:{|k360270k360360,kZ}终边落在x轴非负半轴上的角的集合:{|k360,kZ}终边落在x轴非正半轴上的角的集合:{|k360180,kZ}终边落在x轴上的角的集合:{|k180,kZ}

终边落在y轴非负半轴上的角的集合:{|k36090,kZ}终边落在y轴非正半轴上的角的集合:{|k360270,kZ}终边落在y轴上的角的集合:{|k18090,kZ}终边落在坐标轴上的角的集合:{|k90,kZ}

2、终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合

S{|k360,kZ},即任一与角终边相同的角都可以表示成角与整

数个周角和的形式.3、弧度制与角度制的换算:(1)1rad(180(3)3602rad,180rad

4、弧长公式和扇形面积公式:

)57.305718"(2)1180rad01745rad

(1)弧长公式:l||r(2)扇形面积公式:S5、常见结论:

11lr||r222(1)若与的终边关于x轴对称,则2k,kZ(2)若与的终边关于y轴对称,则(2k1),kZ(3)若与的终边关于原点对称,则(2k1),kZ(4)若与的终边在同一直线上,则k,kZ

6、定义:是一个任意大小的角,以的顶点O为坐标原点,以的始边为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是定:siny,cosx,tan的终边与单位圆的交点,规

yx7、设是一个任意角,点P(x,y)为终边上任意一点(异于原点O),则点P与原点的距离

yxy叫做的正弦,记作sin；比值叫做的余弦,记

rrrxyy作cos；比值叫做的正切,记作tan。

rxxrx2y20,那么比值

第1页共8页8、三角函数的定义域和值域:

(1)正弦函数ysinx,xR,y[1,1](2)余弦函数ycosx,xR,y[1,1](3)正切函数ytanx,x{x|xk2,kZ},yR

9、记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.其含义时在第一象限各三角函数值全为正,在第二象限只有正弦值为正,在第三象限只有正切值为正,在第四象限只有余弦值为正.10、诱导公式(1)诱导公式

诱导公式(一):sin(2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ)

tan(2k)tan(kZ)

诱导公式(二):sin()sincos()costan()tan诱导公式(三):sin()sincos()costan()tan诱导公式(四):sin()sincos()costan()tan诱导公式(五):sin(诱导公式(六):sin((2)记忆口诀

角的三角函数的所有诱导公式可以概括为:“奇变偶不变,符号看象限”.①把角化为

)coscos()sin

22)coscos()sin22k(kZ)的形式.若k为偶数,则函数名不变;若k为奇数,则函数名2作改变:正余.

k②看象限的过程中,一律将角看成锐角,再根据(kZ)的象限决定三角函数

2的符号(正负).

11、三角函数线:(1)单位圆和有向线段

单位圆:半径等于单位长度,圆心在原点的圆叫做单位圆.有向线段(非严格定义):带有方向的线段叫做有向线段.

设任意角

的顶点在原点O,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆的相交于

第2页共8页P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线交终边(当在第

一,四象限时)或其反向延长线(当在第二,三象限时)于T.规定:当OM与x轴同向时为正值,与x轴反向时为负值当MP与y轴同向时为正值,与y轴方向时为负值当AT与y轴同向时为正值,与y轴反向时为负值根据上面规定,则OMx,MPy.(2)三角函数线:

根据正弦,余弦,正切的定义,则有

sinyMP,cosxOM,tanyMPATATxOPOA这三条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT分别叫做角的正弦线,余弦线,正

切线.

当角的终边落在x轴上时,M与P重合,A与T重合,此时正弦线,正切线分别

变成一个点;当角的终边在y轴上时,O与M重合,余弦线变成一个点,过A的切线平行于y轴,不能与角的终边相交,所以正切线不存在,此时角的正切值不存在.

12、同角三角函数的基本关系公式:sincos113、常用到的同角三角函数的基本关系式变形:(1)sincos1的变形:

1sincos,sin1cos,cos1sinsin1cos,cos1sin(2)tan2222sintancos22222222sin的变形:cossintan（3）sincos,sincos,sincos之间的关系:

22(sincos)12sincos(sincos)12sincos

sincostan,cos(sincos)(sincos)2

14、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):正弦函数ysinx,x[0,2]的图象中,

223,1),(,0),(,1),(2,0)22余弦函数ycosx,x[0,2]的图像中,

3五个关键点是:(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)

22五个关键点是:(0,0),(只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.

正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

第3页共8页

{"Error":{"code":"8","Message":"badrequest","LogId":"1053756867"}}15、综合探究：函数yAsin(x)k的图象

画出函数y3sin(2x

综合结论：平移法过程：(1)先平移后收缩(2)先收缩后平移

得y=sin(x+φ)横坐标伸长或缩短得y=sin(ωx+φ)纵坐标伸长或缩短作y=sinx（长度为2的某闭区间）沿x轴平移|φ|个单位横坐标伸长或缩短得y=sinωx沿x轴平移|3),xR的简图.

|个单位得y=sin(ωx+φ)纵坐标伸长或缩短得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。两种方法殊途同归

(1)y=sinx相位变换（平移）y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)

振幅变换yAsin(x)

(2)y=sinxφ)

周期变换y=sinωx相位变换（平移）y=sin(ωx+

振幅变换yAsin(x)

注:(1)函数yAsin(x)(a0,0)中,A影响函数图象的最高点和最低点,即函

数的最值;影响函数图象每隔多少重复出现,即函数的周期;影响函数的初相.

(2)对于函数yAsin(x)(a0,0)的图象,相邻的两个对称中心或两条对称

轴相距半个周期;相邻的一个对称中心和一条对称轴相交周期的四分之一.

16、求三角函数周期的方法

(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.

(2)公式法，对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A≠0,ω≠0)的函数，(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.

17、求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.

(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上.

(3)①ω0后求解；②若A

高一数学必修4第一章三角函数单元训练题

201*1130

一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48

分）

1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）

A．B=A∩C

B．B∪C=C

C．AC

D．A=B=C

（）

2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是

A．

3sin2cos3sin5cosB．－

3C．

6D．－

6（）

3、已知

5,那么tan的值为

B．2

C．

16164、已知角的余弦线是单位长度的有向线段;那么角的终边（）A．在x轴上B．在直线yx上

C．在y轴上D．在直线yx或yx上5、若f(cosx)cos2x,则f(sin15)等于()

A．－2

23D．－

23

A．32B．

32C．

12D．

12

（）

6、要得到y3sin(2xA．向左平移位

4)的图象只需将y=3sin2x的图象

个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单44887、如图，曲线对应的函数是（）

A．y=|sinx|C．y=－sin|x|

2B．y=sin|x|D．y=－|sinx|

8、化简1sin160的结果是()

A．cos160B．cos160C．cos160D．cos1609、A为三角形ABC的一个内角,若sinAcosA12,则这个三角形的形状为（）25A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形

第6页共8页10、函数y2sin(2x3)的图象

（）

A．关于原点对称B．关于点（－11、函数ysin(xA．[，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称662),xR是（）

,]上是增函数B．[0,]上是减函数

22C．[,0]上是减函数D．[,]上是减函数12、函数yA．2k2cosx1的定义域是（）3,2kB．2k,2k(kZ)(kZ)

36623C．2k3,2k(kZ)D．2k23,2k2(kZ)3二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．（20分）13、已知4,,则2的取值范围是.3314、f(x)为奇函数，x0时,f(x)sin2xcosx,则x0时f(x).

2)(x[,])的最小值是．863116、已知sincos,且,则cossin.84215、函数ycos(x三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、（8分）求值sin120cos180tan45cos(330)sin(210)

18、（8分）已知tan2233,,求sincos的值.

219、（8分）绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按

逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm?

第7页共8页

20、（10分）已知α是第三角限的角，化简

21、（10分）求函数f1(t)tanx2atanx5在x[

21sin1sin

1sin1sin,]时的值域(其中a为常数)

42第8页共8页

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