高一上半期关于数学学习的总结(I)

高一上半期关于数学学习的总结(I)

高一上半期关于数学学习的总结（I）

《解决抽象函数的有关问题》

作者：高448班彭斐然

注意：本篇总结选取四个例题进行分析讨论和总结。例题出自平常做过的习题，“建模”与“总结”两栏皆为原创，“解析”方面有部分参照了参考书。另外，函数公式、算式皆是自己本人所打，不足之处还望指正。问题：已知函数

xy=xx对于一切实数

xx、y满足时，，x，且当时yx0，x0，则当时的取值范围是。解析：令答案：建模：

特殊模型正比例函数xkxk0xxaxx0a1，易得当时，x1。x1xa(xa0)抽象函数xyxy幂函数xxyxy或xyxy（a为常数）指x数a(x函a0且,数axyx或y)xxyy1xyxx或yyx对数函数y

总结：对于此类抽象函数的方法是将一般问题特殊化，即将抽象函数转化成为学过的、熟悉的函数模型来求解，能够使解题更加有效率。上表中列出的抽象函数与其特殊模型，可在解题中加以利用。----------------------------------------------------------问题：设函数(x)的定义域为(0,)，且对于任意实数x、y都有

(xy)(x)(y)恒成立，若已知(2)1。

试求（1）(解析：（1）令x(1)0

12)的值；（2）(2n)的值，其中为n正整数。

y1，则有(1)(1)(1)

再令x2，y(1212，则(1)(2)()

21)(2)12111)()()()2

4221111(23)()()()()38222（2）由于(2

依此类推可得(2n)答案:(1)1;(2)n

n（其中n为正整数）

建模：赋值换元法解抽象函数。

总结：此类题型在作业、考试中十分常见，可建立模型赋值换元法，所谓赋值还原法，望文生义，即为通过观察思考，取出一个或是几个特殊值，最终求出所要求的值。在解题过程中观察思考的能

力十分重要。

----------------------------------------------------------问题：已知x在实数集R上是增函数，a，b都是实数，若

abab，求证：ab0

解析：假设ab0，则有ab，ba。因为x在实数集R上是增函数故

ab，

ba，两式相加

abab，这与题中abab矛盾，故假

设不成立，即有ab0。答案：如解析中所示。建模：反证法解抽象函数。

总结：此题若用直接证法求解难以下手，但若使用初中就已学过的反证法就容易的多，这就需要我们拥有正难则反的策略，能够换个角度思考，化难为易。

----------------------------------------------------------问题：已知x是R的奇函数，在区间(0,)上是增函数，又。，那么xx的解集是（）A．xB．xC．xD．x3x0或x3x3或0x3x3或0x33x0或0x3

解析：根据题意，可画出该函数的大致的图像，如下图所示：

如上图所示，因为x是奇函数，故。又xx，所以x与x异号，由上图知3答案:D

建模：数形结合思想解决抽象函数。

总结：解此类题时，如若能够根据已知条件画出相应的草图，就会使题目更加直观、形象，能够帮助分析。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------总而言之，对于解决抽象函数很难用一般的方法解决，这就需要我们通过认真的观察与思考，找到一些特殊的方法来帮助解题，提高解题的效率。

------------------------------------------------------（完）

x0或0x3

扩展阅读：高一上半期关于数学学习的总结(II)

高一上半期关于数学学习的总结（II）《必修二“圆与方程”一章的重要题型》

作者：高448班彭斐然

注意：本篇总结选取本章中比较重要的题型进行分析讨论和总结。问题皆出自平常做过的习题、例题。本章重要的计算公式：

斜率的计算公式两点间的距离公式点到直线的距离公式两平行线间的距离公式直线方程的各种表达方式：

名称点斜式斜截式两点式方程yy0k(xx0)ky2y1x2x122dx2x1dy2y1Ax0By0CABC1C2AB2222d使用要求直线有斜率直线有斜率直线的斜率存在且不为零ykxyy1y2y1bxx1x2x1截距式xayb1直线在坐标轴上都有截距一般式AxBy0C适用于任何直线圆的方程的表达方式：

标准方程一般方程xa222ybr22xyDxEyF0两条直线的位置关系应满足的条件

关系平行重合垂直条件A1B2A2B10BCBC01221A1B2A2B10B1C2B2C10A1B2A2B10--------------------------------------------------------问题：求出满足下列条件的直线方程：

（1）经过点A3,2，且与直线4xy20平行。（2）经过点B3,0，且与直线2xy50垂直。

解析：（1）与直线4xy20平行的直线可设为4xya0，再将点A3,2带入即可得出所求。

（2）与直线2xy50垂直的直线可设为x2yb0，再将点B3,0带入即可得出所求。

答案：（1）4xy140；（2）x2y30。建模：已知直线AxByC10与之平行的直线为AxByC20

与之垂直的直线为BxAyC30

总结：做题贵在思考和总结，将学过的知识作出总结，那么到下次做到同样的题时便可事半功倍了。

--------------------------------------------------------问题：按要求解题：

（1）求直线l1:8x7y40关于点M1,0的对称直线l2的方程。

（2）求直线a:2xy40关于直线l:3x4y10的对称的直线的方程。

（3）若两平行直线3x4y10与6x8y30关于直线l对称，求l的方程。

解析：（1）设Px,y为直线l2上的任意一点，则点P关于点M1,0对称的点

P12x,y在直线l1上，所以8(2x)7y40，即

8x7y200。故直线l2的方程为8x7y200

（2）设直线b上任意一点Px,y关于直线l:3x4y10的对

xx0yy0341022称点为Qx0,y0，则yy043xx07x24y6x025，解得y24x7y8025

因为点

225Qx0,y0在直线

40

a:2xy40上，所以有

7x24y624x7y825化简，得2x11y160，即为直线b的方程。

（3）所求直线与两直线平行且距离相等，设l:6x8yc0，则c36822c36822，所以c，即l:6x8y21120。

120。

答案：（1）8x7y200；（2）2x11y160；（3）6x8y建模：（一）直线关于点的对称直线

设点Pm,n，直线l:AxByC0，Pl，直线l关于点P的对称直线为l

1求法：由几何性质知直线l与l平行，故可设直线的方

1程为AxByC1则点P0，到直线l的距离等于点P到l的距离，

11由点到直线的距离公式即可求得C，从而得到直线的方程。

（二）直线关于直线的对称直线设直线l1:A1xB1y+C102，直线l:AxByC0，直线l关

1于直线l的对称直线为l。（1）若l程为AxByC21lA1A且B1B，则l2l，故可设直线l的方

20。

12因为直线l到直线l，l的距离相等，所以C化简，得C21CCC2，

2CC1。

1（2）若llP，则Pl，且直线l上的点到直线l，l的

212距离相等。设出直线的方程，在直线上任取一点（异于点P），利用点到直线的距离公式，求的直线l的方程。

2总结：对于此类型的题目应该建立好模型，以便于节省做题时间。

----------------------------------------------------问题：如图，已知定点A2,0，点Q是圆xAOQ2y42上的动点，

的平分线交AQ于M，当点Q在圆上移动时，求动点M的

轨迹方程。

（图）

2xax2a22解析：设点Qx,y，Ma,b，则可知，即y2b2yb2

又Q在圆x22y422上

2a22b4

化简得，a1M2b1

2点的运动轨迹方程为a22ay220

答案：a2ay02

建模：代入法解决有关轨迹方程问题

总结：如果动点的轨迹方程依赖另一动点的轨迹，而又在已知曲线上，则可先列出关于的方程组，利用表示出，把代入已知曲线方程便可得动点的轨迹方程，但需要注意，有些不符合的点在最后结论中应表示舍去。

----------------------------------------------------问题：如图，已知过点M3,3的直线l被圆x截得得弦长为4

2y4y210所

25，求直线的方程。

（图）

解析：将圆的方程写成标准式：x2y225

2由此可知，圆的圆心坐标是0,2，半径长是r5由题设条件可求出圆心到所截弦的距离，即弦心距为

4525225。圆心到直线l的距离为5。

若直线无斜率，则直线的方程为x3，由题设条件可

求出此时直线被圆所截得的弦长为845，故直线有斜率。

设直线的斜率为k，则直线的方程为y3kx3。根据点到直线的距离公式可得：d或k2

故直线的方程为y3x3或y32x3

2123k3k12解得k12化为一般式，得x2y90或2xy30。

答案：直线方程为x2y90或2xy30。

建模：熟练运用点到直线的距离公式，解决此类题目。

总结：关于直线与圆的位置关系，不外乎有三种，直线与圆相离、

相切、相交。而其中相交一类的题目最多，常弦长等来出题，解决这类问题的时候可以考虑圆心到直线的距离，利用公式，来列出关系式，得出所求。解题中还需注意的是，若直线的方程未知，则需对直线的斜率进行讨论，不可贸然设出斜率，这样容易丢失答案。

--------------------------------------------------------问题：已知圆C1:xy2x8y8022，圆C2:xy4x4y2022，

试判断圆C1与圆C2的位置关系。

解析：把圆C1的方程化为标准方程，得:x1圆C1的圆心是点1,4，半径长r15。把圆C2的方程化为标准方程，得:x2知圆C2的圆心是点，半径长r21022y425，可知

2y2102，可

。

35圆C1与圆C2的连心线长为122422又由题设条件知r1r2

51035510510，r1r2510。

r1r235r1r2圆C1与圆C2相交。答案:圆C1与圆C2相交。

建模：半径和、半径差与圆心距比较大小判断两圆的位置关系。总结：解决此类问题还可以建立方程求解，但计算量相对而言较大，致使解题过慢。应建立以上模型，加快解题速度。

--------------------------------------------------------问题：求经过点M2,2，以及圆x2

y6x0与圆xy4222交点

的圆的方程。

解析：设所求圆的方程为x2y26xx2y240

即12x212y6x40

2将M2,2代入上式得4444124，解得4444124

故所求圆的方程为2x22y26x40即x2y3x20

y3x20

22答案：圆的方程为x2建模：

若圆C相交于

221:xyD1xE1yF1022与圆C2:xyD2xE2yF2022A、

B两点，则过这两点的圆系方程为

22xyD1xE1yF1xyD2xE2yF201。当两圆相切

时，方程表示过切点且与两圆都相切的圆系方程，若示公共弦所在直线的方程。

1，则表

总结：建立圆系方程的模型，对解题大有益处，免去了列三个方程解题的麻烦。

--------------------------------------------------------问题：某圆拱桥的水面跨度是20m,拱高4m,现有一船，宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过？解析:可画出简图如下：

由题意，设A10,0，B10,0，P0,4，D5,0，E5,0。设所求方程为xaa102b2r2222有a10br222ab4r2ybr22，于是

a0；解得b10.5

r14.52所以圆拱桥的圆的方程为x2y10.514.520y4

把D点的横坐标x5代入上式，得y3.1。由于船在水面上高3m，而33.1，所以船可以从桥下通过。答案：可以通过。

建模：利用圆的方程解决此类问题

总结：这类型的题在考试中较为常见，比较简单，掌握方法即可。----------------------------------------------------（完）

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