高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程

一、概念理解：

1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；②平行：α=0°；

③范围：0°≤α＜180°。2、斜率：①找k：k=tanα（α≠90°）；②垂直：斜率k不存在；③范围：斜率k∈R。3、斜率与坐标：ktany1y2y2y1x1x2x2x1①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2①相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）

特例----垂直时：l1x轴，即k1不存在，则k20；斜率都存在时：k1k21。②平行：斜率都存在时：k1k2,b1b2；斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。③重合：斜率都存在时：k1k2,b1b2；二、方程与公式：1、直线的五个方程：

①点斜式：yy0k(xx0)将已知点(x0,y0)与斜率k直接带入即可；②斜截式：ykxb将已知截距(0,b)与斜率k直接带入即可；

③两点式：带入即可；

yy1xx1，(其中x1x2,y1y2)将已知两点(x1,y1),(x2,y2)直接

y2y1x2x1xy1将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可；ab④截距式：

⑤一般式：AxByC0，其中A、B不同时为0用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3、距离公式：

(x1x2)(y1y2)①两点间距离：P1P2②点到直线距离：d22Ax0By0CAB22

③平行直线间距离：dC1C2AB22

4、中点、三分点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)

x1x2y1y2,)222xx22y1y2,)靠近A的三分点坐标②AB三分点(s1,t1),(s2,t2)：(133x2x2y12y2,)靠近B的三分点坐标(133①AB中点(x0,y0)：(中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。5.直线的对称性问题

已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。三、解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法）：

①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。

y2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：①PAPB的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：②PAPB的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；

22ox③PAPB的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

3、直线必过点：①含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1=>y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0=>必过点(-2,3)

②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=>m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0联立方程组求解=>必过点(-1/7,3/7)4、易错辨析：

①讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。②注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）

③直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。

圆的方程

1.定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.2.圆的方程表示方法：

DE第一种：圆的一般方程xyDxEyF0其中圆心C,，

22D2E24F半径r.

2当D2E24F0时，方程表示一个圆，

22当D2E24F0时，方程表示一个点当D2E24F0时，方程无图形.

DE,.22第二种：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.其中点C(a,b)为圆心，r为半径的圆

第三种：圆的参数方程圆的参数方程：xarcos（为参数）

ybrsin注：圆的直径方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)03.点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2②M在圆C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r24.直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直线l：AxByC0(A2B20)；圆心C(a,b)到直线l的距离d①dr时，l与C相切；

②dr时，l与C相交；，③dr时，l与C相离.

5、圆的切线方程：

2

①一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R.特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)

AaBbCAB22.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，②若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则联立求出k切线方程.（注：RR21过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于

X轴的直线。）6.圆系方程：

过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x+y+D1x+E1y+F1=0C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ

22

（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0

过两圆的交点的直线方程：x+y+D1x+E1y+F1-x+y+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方

程就是直线方程）

7.与圆有关的计算：

22

弦长的计算：AB=2*√R-d其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

2

AB=（√1+k）*X1-X2其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径

③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与

该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，

在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。

9.圆的对称问题

①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标

2222

扩展阅读：高中数学知识点总结 第七章直线和圆的方程

高中数学第七章-直线和圆的方程

考试内容：

直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：

（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．

（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．

（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．

07.直线和圆的方程知识要点

一、直线方程.

1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与

x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是

0180(0).

注：①当90或x2x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.

2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a0,b0)时，直线方程是：注：若

y23yxa23yb1.

x2是一直线的方程，则这条直线的方程是

y23x2，但若

x2(x0)则不是这条线.

附：直线系：对于直线的斜截式方程ykxb，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.

3.⑴两条直线平行：

l1∥l2k1k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分条件，且C1C2）推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为1,2则l1∥l212.⑵两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2k1k21这里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要条件）

4.直线的交角：

⑴直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，它的范围是(0,)，当90时tank2k11k1k2.

⑵两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是0,2，当90，则有

tank2k11k1k2.

5.过两直线l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为参数，A2xB2yC20不包括在内）

6.点到直线的距离：

⑴点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:AxByC0,P到l的距离为d，则有

dAx0By0CAB22.

注：

1.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|22xy2.定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段

P1(x1,y1),P2(x2,y2).则xx1x21,yy1y21P1P2所成的比为即P1PPP2,其中

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3.直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan4.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：ky2y1x2x1.

(x1x2)

当x1x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率王新敞

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，它们之间的距离为d，则有dC1C222.

AB注；直线系方程

1.与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(mR,C≠m).2.与直线：Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(mR)3.过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)

4.过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λR）注：该直线系不含l2.

7.关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线（yxb）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2,x2)=0.

②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(ax,2by)=0.二、圆的方程.

1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程f(x,y)0的实数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)0的解；反过来，满足方程f(x,y)0的解所对应的点是曲线上的点.

注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=02.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2.注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(xa)2(yb)2b2②与y轴相切的圆方程(xa)2(yb)2a2

[rb,圆心(a,b)或(a,b)]

[ra,圆心(a,b)或(a,b)]

③与x轴y轴都相切的圆方程(xa)2(ya)2a23.圆的一般方程：x2y2DxEyF0.

[ra,圆心(a,a)]ED当DE4F0时，方程表示一个圆，其中圆心C,2222，半径rDE4F222.

当D2E24F0时，方程表示一个点D2,E.2当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：xarcosybrsin（为参数）.

B0②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：

DE4AF0.

22且

AC0且

③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2②M在圆C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r25.直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直线l：AxByC0(A2B20)；圆心C(a,b)到直线l的距离d①drAaBbCAB22.

时，l与C相切；

相减为公切线方程.

22xyD1xE1yF10附：若两圆相切，则22xyDxEyF0222②dr时，l与C相交；22C1:xyD1xE1yF10附：公共弦方程：设

22C2:xyD2xE2yF20

有两个交点，则其公共弦方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.

③dr时，l与C相离.

相减为圆心O1O2的连线的中与线方程.

22xyD1xE1yF10附：若两圆相离，则22xyD2xE2yF20222(xa)(yb)r由代数特征判断：方程组AxBxC0用代入法，得关于x（或y）的一元二次方

程，其判别式为，则：

0l与C相切；0l与C相交；0l与C相离.

注：若两圆为同心圆则x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20相减，不表示直线.

6.圆的切线方程：圆x2y2r2的斜率为

xyDxEyF0

22k的切线方程是ykx1k2r过圆

上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0xy0yDxx02Eyy02F0.

①一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)②若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则R2R1A，联立求出k切线方程.BCD(a,b)7.求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.已知

O的方程x2y2DxEyF0…①又以ABCD为圆为方程为

2(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2…②

R(xAa)(yAb)422…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.

三、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：1）曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。

2.求曲线方程的方法：.

1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;2）参数法;3）定义法，4）待定系数法.

友情提示：本文中关于《高中数学直线与圆的方程知识点总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高中数学直线与圆的方程知识点总结：该篇文章建议您自主创作。

来源：网络整理 免责声明：本文仅限学习分享，如产生版权问题，请联系我们及时删除。

《高中数学直线与圆的方程知识点总结》由互联网用户整理提供,转载分享请保留原作者信息,谢谢!
链接地址：http://www.bsmz.net/gongwen/441259.html

• 上一篇：高一数学第一学期考试要点总结
• 下一篇：高一数学知识点归纳总结