高一数学知识点归纳总结

高一数学知识点归纳总结

高中高一数学必修1各章知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性.3、集合的表示：(1){}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(2).用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}4．集合的表示方法：列举法与描述法。

常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

5.关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。6、集合的分类：

(1)．有限集含有有限个元素的集合(2)．无限集含有无限个元素的集合

2

(3)．空集不含任何元素的集合例：{x|x=－5｝=Φ

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系子集注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同B或BA一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2．“相等”关系:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。即AA

②如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作A

B(或B

A)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作A∩B(读作＂A交B＂)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作＂A并B＂)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,

A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集与补集（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作：CSA即CSA={xxS且xA}

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，

S这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

（3）性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=UCsAA

第二章函数

一、函数的有关概念

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）

区间的数轴表示．

4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。5.常用的函数表示法:解析法：图象法：列表法：

6.分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．7．函数单调性（1）．设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)。补充不等式的解法与二次函数（方程）的性质：

1、a>0时，|x|axa或xa，|x|aaxa

22、配方：axbxca(xb2a)24acb4a2

3、△>0时，axbxc0（a0）的两个根为x1、x2(x1x2)，则

bb4ac2a22x12，x2bb4ac2a22，

axbxc0xx1或xx2，axbxc0x1xx2

24、△=0时，axbxc0（a0）的两个等根为x0axbxc0xx0，axbxc0无解axbxc0xR，axbxc0xx0

2222b2a，则

5、△

扩展阅读：教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳

引言

1.课程内容：

必修课程由5个模块组成：

必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、

对、幂函数）

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、

三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

导数及其应用。

选修12：统计案例、推理与证明、数系的扩

充与复数、框图

系列2：由3个模块组成。

选修21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

空间向量与立体几何。

选修22：导数及其应用，推理与证明、数系

的扩充与复数

选修23：计数原理、随机变量及其分布列，

统计案例。

系列3：由6个专题组成。选修31：数学史选讲。选修32：信息安全与密码。选修33：球面上的几何。选修34：对称与群。

选修35：欧拉公式与闭曲面分类。选修36：三等分角与数域扩充。

-1-

系列4：由10个专题组成。选修41：几何证明选讲。选修42：矩阵与变换。选修43：数列与差分。

选修44：坐标系与参数方程。选修45：不等式选讲。选修46：初等数论初步。

选修47：优选法与试验设计初步。选修48：统筹法与图论初步。选修49：风险与决策。

选修410：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，

圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：

⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻

辑、充要条件

⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、

值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数

列、数列求和、数列的应用

⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、

和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用

⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、

数量积及其应用

⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式

的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用

⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位

置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直

线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线

与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量

⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二

项式定理及其应用

⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、

抽样、正态分布

⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算

全一致，则称这两个函数相等. 1.2.2、函数的表示法

1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法：设x1、x2[a,b],x1x2","

（3）()uv"uvuv(v0).2v""4、运算性质：⑴aaa⑵arsrs4、复合函数求导法则复合函数yf(g(x))的导数和函数

yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

解题步骤:分层层层求导作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：

极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；

极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.6、求函数的最值(1)求yf(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）

a0,r,sQ；

rsarsa0,r,sQ；

rr⑶ababa0,b0,rQ.

r 2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：yaa0,a1

x

2、性质：

图象yy=ax0

5、换底公式：logablogcblogca函数yfx的图象与x轴有交点函数yfx有零点.2、零点存在性定理：如果函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数

a0,a1,c0,c1,b0.

6、重要公式：loganbm7、倒数关系：logabmlogabn1a0,a1,b0,b1.

logba 2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：ylogaxa0,a1

2、性质：图-12.51.5yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，

使得fc0，这个c也就是方程fx0的根. 3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.

3.2.1、几类不同增长的函数模型 3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

yy=logax0

⑵圆锥侧面积：S侧面rl

⑶圆台侧面积：S侧面rlRl⑷体积公式：

12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个

平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

第三章：直线与方程

1、倾斜角与斜率：ktan2、直线方程：⑴点斜式：yy0kxx0⑵斜截式：ykxb

V柱体Sh；V锥体1Sh；3V台体1S上S上S下S下h3y2y1

x2x1⑸球的表面积和体积：

4S球4R2，V球R3.

3第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条

直线在此平面内。

⑶两点式：

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它

们有且只有一条过该点的公共直线。

yy1y2y1xx1x2x1⑷截距式：

xy1ab4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这

两个角相等或互补。

⑸一般式：AxByC0

3、对于直线：6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直

线和平面相交。

l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：

⑴l1//l28、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。

k1k2；

bb21⑵l1和l2相交k1k2；⑶l1和l2重合10、面面平行：

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。

k1k2；

b1b2⑷l1l2k1k21.

4、对于直线：⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，

那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。

l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20有：

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

-5-

A1B2A2B1⑴l1//l2；

BCBC21

⑵l1和l2相交A1B2A2B1；⑶l1和l2重合A1B2A2B1；

BCBC2112⑵外切：dRr；

⑶相交：RrdRr；⑷内切：dRr；⑸内含：dRr.

3、空间中两点间距离公式：⑷l1l2A1A2B1B20.

5、两点间距离公式：P1P2x2x12y2y12z2z12

必修3数学知识点P1P2x2x12y2y12

6、点到直线距离公式：dAx0By0CAB22

7、两平行线间的距离公式：l1：AxByC10与l2：AxByC20平行，

则d第一章：算法

1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；

3、算法的三种基本结构：C1C2AB22

当型循环结构顺序结构、条件结构、循环结构

直到型循环结构⑴顺序结构示意图：

第四章：圆与方程1、圆的方程：⑴标准方程：xaybr

222语句n其中圆心为(a,b)，半径为r.

⑵一般方程：xyDxEyF0.其中圆心为(22语句n+1D222、直线与圆的位置关系,E半径为r)，

12D2E24F.（图1）

⑵条件结构示意图：

①IF-THEN-ELSE格式：

满足条件？

是

语句1直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

222dr相离0;dr相切0;

dr相交0.

弦长公式：l2rd

22否语句2

（图2）

②IF-THEN格式：-6-

1k2(x1x2)24x1x2

3、两圆位置关系：dO1O2⑴外离：dRr；

是满足条件？

（图3）

⑶循环结构示意图：

①当型（WHILE型）循环结构示意图：

循环体满足条件？是

否

（图4）

②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：循环体

否满足条件？（图5）

4、基本算法语句：①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式③赋值语句的一般格式：变量＝表达式（“=”有时也用“←”）.

④条件语句的一般格式有两种：

IFTHENELSE语句的一般格式为：

IF条件THEN

语句1

ELSE

语句2

（图2）-7-ENDIF是

IFTHEN语句的一般格式为：IF条件THEN

语句

ENDIF（图3）

⑤循环语句的一般格式是两种：

当型循环（WHILE）语句的一般格式：

WHILE条件

循环体

（图4）WEND

直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：DO

循环体

LOOPUNTIL条件（图5）⑹算法案例：①辗转相除法结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0；）：若R0＝0，则n为m，n的最大公约数；若R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；）：若R1＝0，则R1为m，n的最大公约数；若R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；

依次计算直至Rn＝0，此时所得到的Rn1即为所求的最大公约数。

②更相减损术结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。③进位制十进制数化为k进制数除k取余法

k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，

n每个个体被抽到的机会（概率）均为。

N2、总体分布的估计：⑴一表二图：

①频率分布表数据详实②频率分布直方图分布直观

③频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：⑴平均数：xx1x2x3xn；

nnxiyinxyi1bn22xnxii1aybx注意：线性回归直线经过定点(x,y)。

第三章：概率

1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；⑶随机事件A的概率：P(A)m,0P(A)1.n2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点：

①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率P(A)m.n取值为x1,x2,,xn的频率分别为p1,p2,,pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。⑵方差与标准差：一组样本数据x1,x2,,xn

1方差：sn2(xi1n2i3、几何概型：⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。⑵几何概型概率计算公式：P(A)d的测度；

D的测度x)；

标准差：s1n(xi1n2ix)

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：ybxa（最小二乘法）

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。

4、互斥事件：⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；⑵如果事件A1,A2,,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,,An彼此互斥。

⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，

即：P(AB)P(A)P(B)

⑷如果事件A1,A2,,An彼此互斥，则有：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。①事件A的对立事件记作A

P(A)P(A)1,P(A)1P(A)

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：sin2cos21.

必修4数学知识点第一章：三角函数 1.1.1、任意角

1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：2k,kZ.

1.1.2、弧度制

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、sin.cos3、倒数关系：tancot1

2、商数关系：tan 1.3、三角函数的诱导公式

（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ）1、诱导公式一：

sin2ksin,cos2kcos,（其中：kZ）tan2ktan.2、诱导公式二：

l.rnR3、弧长公式：lR.

1804、扇形面积公式：Ssinsin,coscos,

nR1lR.36022tantan.3、诱导公式三：

1.2.1、任意角的三角函数

1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点sinsin,coscos,

yPx,y，那么：siny,cosx,tan

x2、设点Ax,y那么：（设为角终边上任意一点，

tantan.4、诱导公式四：

sinsin,coscos,

rx2y2）

tantan.5、诱导公式五：

xyxysin，cotcos，tan，

yrrx3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角

函数线的画法.yTP正弦线：MP;

余弦线：OM;OMAx正切线：AT

5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.320236323442sin

sincos,2cossin.2sincos,2

6、诱导公式六：

cossin.2

-9-

costan 1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

1、记住正弦、余弦函数图象：yy=sinx37-5-12222o4-2-3-253-4-7-322-1x

yy=cosx37-51--232-322-7o4x-2-325-4-122222、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定

义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、

1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：

y奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.

ysinx在x[0,2]上的五个关键点为：

3（0，0）（，，1）（，，0）（，，-1）（，2，0）.

22

2、记住余切函数的图象：

yy=tanxy=cotx-32--2o232x--2o2322x

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysinxycosxytanx图象定义域值域x2kR[-1,1]2R[-1,1]{x|x2k,kZ}R无,kZ时，ymax1最值x2k2,kZ时，ymin1x2k,kZ时，ymax1x2k,kZ时，ymin1周期性奇偶性T2奇T2偶T奇单调性在(k,k)上单调递增22kZ在[2k,2k3]上单调递减在[2k,2k]上单调递减22在[2k,2k]上单调递增22在[2k,2k]上单调递增对称性对称轴方程：xk2kZ对称中心(k,0)对称轴方程：xk对称中心(k无对称轴对称中心(2,0)k2,0) 1.5、函数yAsinx的图象1、对于函数：

（左加右减）平移|B|个单位（上加下减）

yAsinxB

yAsinxBA0,0有：振幅A，周

期T2，初相，相位x，频率f1T2.

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期T数ytan(x)，xk常数，且A≠0)的周期T2、能够讲出函数ysinx的图象与

2；函||yAsinxB的图象之间的平移伸缩变

换关系.

①先平移后伸缩：2,kZ(A,ω,为

ysinx平移||个单位

ysinxyAsinxyAsinx

.||（左加右减）

对于yAsin(x和)yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心，

横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变

横坐标变为原来的|平移|B|个单位（上加下减）

(kZ)与xk(kZ)2解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式只需令xk利用图像特征：A1|倍

要根据周期来求,要用图像的关键点来求.

1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换

3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：costansin12ymaxyminyymin，Bmax.22yAsinxB

②先伸缩后平移：ysinx横坐标不变yAsinx

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变

横坐标变为原来的|平移

yAsinx

624624231 3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式|倍

1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin

-11-

个单位yAsinx

3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tan6、tan2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称

模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长

度等于1个单位的向量叫做单位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共

线向量）.规定：零向量与任意向量平行. 2.1.3、相等向量与共线向量

1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1、向量加法运算及其几何意义

1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、ab≤ab.

2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.

2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运

算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定如下：⑴

tantan.

1tantantantan.

1tantan 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin22sincos，变形：sincos12sin2.2、cos2cossin

222cos2112sin2.

变形如下：

21cos22cos升幂公式：21cos22sincos21(1cos2)2降幂公式：

21sin(1cos2)23、tan22tan.1tan2sin21cos21cos2sin24、tan 3.2、简单的三角恒等变换

1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式yasinxbcosxa2b2sin(x)

（其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tanaa,b).a⑵当0时,a的方向与a的方向相同；当

第二章：平面向量

2.1.1、向量的物理背景与概念

1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、向量的几何表示

1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三

个要素：起点、方向、长度.

-2-

0时,a的方向与a的方向相反.

2、平面向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba. 2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两

个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a1e12e2.⑵ax12y12

⑶abab0x1x2y1y20⑷a//babx1y2x2y10

2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、axiyjx,y. 2.3.3、平面向量的坐标运算1、设ax1,y1,bx2,y2，则：⑴abx1x2,y1y2，

⑵abx1x2,y1y2，⑶ax1,y1，⑷a//bx1y2x2y1.2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：ABx2x1,y2y1. 2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则⑴线段AB中点坐标为

x1x2,y1y222，⑵△ABC的重心坐标为

x1x2x3y1y2y33,3.

2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、ababcos.

2、a在b方向上的投影为：acos.23、a2a.4、aa2.

5、abab0.

2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设ax1,y1,bx2,y2，则：

⑴abx1x2y1y2

2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：

ABx22x1y2y12.

3、两向量的夹角公式

cosabx1x2y1y2abx2y222

11x2y24、点的平移公式

平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点

为P(x,y)（新坐标），平移向量为PP(h,k)，

则xxhyyk.

函数yf(x)的图像按向量a(h,k)平移后的

图像的解析式为ykf(xh).

2.5.1、平面几何中的向量方法 2.5.2、向量在物理中的应用举例

知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.

1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：

若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.

⑵．平面的法向量：

若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．

l1l2，只需证明ab，即ab0.

即：两直线垂直⑵线面垂直两直线的方向向量垂直。

②设平面的法向量为n(x,y,z)．

③求出平面内两个不共线向量的坐标

a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)．

①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明a∥u，即au.

na0④根据法向量定义建立方程组.

nb0②（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.am0n，若个相交向量分别为m、,则l.

an0（如图）

即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要

2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行证，只需证uv，即证uv0.

即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为，

b，则要证明l1∥设直线l1,l2的方向向量分别是a、l2，只需证明a∥b，即akb(kR).

即：两直线平行或重合⑵线面平行两直线的方向向量共线。

①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l∥，只需证明au，即au0.

即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行ACBD则cos.

ACBD⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，

则为的余角或的补角的余角.即有：

若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证∥，只需证u∥v，即证uv.

即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直ausincos.

aub，则要证明设直线l1,l2的方向向量分别是a、

-4-

⑶求二面角①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，

其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线

AOl,BOl，则AOB为二面角l的平

面角.

如图：

ABOMP在法向量n方向上的投影的绝对值.

即dMPcosn,MP

nMPMP

nMPnMP

n⑶直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

lBA②求法：设二面角l的两个半平面的法向量

On，再设m、n的夹角为，二面角分别为m、n的夹角l的平面角为，则二面角为m、或其补角.

根据具体图形确定是锐角或是钝角：

nMP即d.

n

⑷两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

mn◆如果是锐角，则coscos，

mnmn即arccos；

mnmn◆如果是钝角，则coscos，

mnmn即arccos.

mn5、利用法向量求空间距离⑴点Q到直线l距离nMP即d.

n⑸异面直线间的距离设向量n与两异面直线a,b都垂直，Ma,Pb,则两异面直线a,b间的距离d就是MP在向量n方向

上投影的绝对值。

nMP即d.

n6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个

方向向量，b=PQ，则点Q到直线l距离为平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂

1直h(|a||b|)2(ab)2|a|P推理模式：若Q为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的

⑵点A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，

平面的法向量为n，则P到平面的距离就等于

-5-

PO,OPAAaPAa,aOA

OAa

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直a:b:csinA:sinB:sinC.

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它

元素。

2、余弦定理：PO,O推理模式：PAAaAO

a,aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与(AD)所成的角为1，AD与AC所成的角为2，AB与AC所成的角为．则coscos1cos2.

a2b2c22bccosA,222bac2accosB,c2a2b22abcosC.b2c2a2,cosA2bca2c2b2,cosB2aca2b2c2.cosC2ab用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：B

A12DC

8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为SS原，它在平面内的射影图形的面积为SS射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则

SABC111absinCbcsinAacsinB2224、三角形内角和定理：在△ABC中，有ABCC(AB)

5、一个常用结论：9、一个结论在ABC中，absinAsinBAB;长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射

若sin2Asin2B,则AB或AB.特别注意，影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有S"S射=.cosSS原CAB2C22(AB).222llllcos1cos2cos31

22122232222在三角函数中，sinAsinBAB不成立。

第二章：数列

1、数列中an与Sn之间的关系：sin21sin22sin232.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

必修5数学知识点第一章：解三角形1、正弦定理：,(n1)S1an注意通项能否合并。

SS,(n2).n1n2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－an1=d，（n≥2，n∈N），

那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列

-6-

abc2R.sinAsinBsinC（其中R为ABC外接圆的半径）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;

sinA

abc,sinB,sinC;2R2R2R

Aab2⑸常用性质

①若mnpqm,n,p,qN，则

⑶通项公式：ana1(n1)dam(nm)d或anpnq(p、q是常数）.⑷前n项和公式：

amanapaq；

②ak,akm,ak2m,为等比数列，公比为q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)

③数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的

kSnna1nn12dna1an2

等比数列；正项等比数列an；则lgan是公差为

⑸常用性质：

①若mnpqm,n,p,qN，则

lgq的等差数列；

④若an是等比数列，则can，an，2amanapaq；

②下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,，仍组成等差数列；

③数列anb（,b为常数）仍为等差数列；④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN)、，也成等差数列。

⑤单调性：an的公差为d，则：

）d0an为递增数列；）d0an为递减数列；）d0an为常数列；

⑥数列{an}为等差数列anpnq（p,q是常数）⑦若等差数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、

*1，an2r1，q.a(rZ)是等比数列，公比依次是q，q，qrn⑤单调性：

a10,q1或a10,0q1an为递增数列；a10,0q1或a10,q1an为递减数列；q1an为常数列；q0an为摆动数列；

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、

S3kS2k是等比数列.

4、非等差、等比数列通项公式的求法类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

的关系，求数列an的通项an可用公式

类型Ⅱ公式法：若已知数列的前n项和Sn与anS3kS2k是等差数列。

3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项：若三数a、G、b成等比数列Gab,（ab同号）。反之不一定成立。⑶通项公式：ana1qn12,(n1)S1an构造两式作差求解。

SS,(n2)n1n用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

-7-

amqnm

n⑷前n项和公式：Sn

a11q1qaaq

1n1q

类型Ⅲ累加法：形如an1anf(n)型的递推数列（其中f(n)是关

（3）若p1且q0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：

法一：设an1p(an),展开移项整理得

anan1f(n1)an1an2f(n2)于n的函数）可构造：

...a2a1f(1)将上述n1个式子两边分别相加，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.

类型Ⅳ累乘法：

an1pan(p1),与题设an1panq比较系

数（待定系数法）得

qqq,(p0)an1p(an)p1p1p1qqqp(an1),即an构成

p1p1p1an以a1q为首项，以p为公比的等比数列.再利用p1q的通项整理可p1等比数列的通项公式求出an得an.

an1f(n)型的递推数列形如an1anf(n)（其an法二：由an1panq得anpan1q(n2)两式

相减并整理得

anaf(n1)n1an1f(n2)中f(n)是关于n的函数）可构造：an2

...a2af(1)1an1anp,即an1an构成以

anan1a2a1为首项，以p为公比的等比数列.求出

an1an的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求

出an.

㈡形如an1panf(n)(p1)型的递推式：⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：将上述n1个式子两边分别相乘，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。

类型Ⅴ构造数列法：㈠形如an1panq（其中p,q均为常数且p0）型的递推式：（1）若p1时，数列{an}为等差数列;（2）若q0时，数列{an}为等比数列;

-8-

法一：设anAnBpan1A(n1)B，

通过待定系数法确定A、转化成以a1ABB的值，为首项，以p为公比的等比数列anAnB，再利用等比数列的通项公式求出anAnB的通项整理可得an.

法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：

an1panf(n)，anpan1f(n1)两式相减an得：得：an1anp(anan1)d，令bnan1an1anf(n)anf(n)，令，则，bbbnn1nn1nn1nn1ppppp在转化为类型Ⅲ（累加法），求出bn之后得anpbn.

nbnpbn1d转化为类型Ⅴ㈠求出bn，再用类型Ⅲ

（累加法）便可求出an.

⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：

类型Ⅵ对数变换法：形如an1pa(p0,an0)型的递推式：在原递推式an1pa两边取对数得

qq法一：设anf(n)pan1f(n1)，通过

待定系数法确定的值，转化成以a1f(1)为首项，以p为公比的等比数列anf(n)，再利用等比数列的通项公式求出anf(n)的通项整理可得an.

lgan1qlganlgp，令bnlgan得：

bn1qbnlgp，化归为an1panq型，求出bn之后得an10n.（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。

类型Ⅶ倒数变换法：形如an1anpan1an（p为常数且p0）的递推b法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：

an1panf(n)①，anpan1f(n1)，两

边同时乘以q得anqpqan1qf(n1)②，由①②两式相减得an1anqp(anqan1)，即

式：两边同除于an1an，转化为

11p形式，anan1化归为an1panq型求出1的表达式，再求an；

anan1qanp，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出an.

anqan1法三：递推公式为an1panqn（其中p，q均

为常数）或an1panrq（其中p，q,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以qn1n还有形如an1man的递推式，也可采用取倒数方

panq法转化成1m1m形式，化归为an1panqan1qanp型求出1的表达式，再求an.

an

类型Ⅷ形如an2pan1qan型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列{anan1}的形式求解。方法为：设an2kan1h(an1kan)，比较系数得hkp,hkq，可解得h、k，于是

，得：

an1pan1，引入辅助数列bn（其中qn1qqnqbnanp1），得：再应用类型Ⅴ㈠的方bbn1nnqqq法解决。

⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：在an1panf(n)两边同时除以p

n1{an1kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an1panq型。

可得到

-9-

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上

不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an.

5、非等差、等比数列前n项和公式的求法⑴错位相减法①若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anbn的求和就要采用此法.

②将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列anbn的前n项和.

④Cnm1mmCnC1n;

⑤nn!(n1)!n!.

⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1ana2an1...⑸记住常见数列的前n项和：

此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.

⑵裂项相消法一般地，当数列的通项anc

(anb1)(anb2)①123...nn(n1);22②135...(2n1)n;③123...n2222(a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，

采用裂项相消法求和.

可用待定系数法进行裂项：

设an1n(n1)(2n1).6anb1anb2，通分整理后与原式相

第三章：不等式 3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd（异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbc

ab,c0acbc⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd

（异向正数可除性）ab0,0cdab

cdc比较，根据对应项系数相等得，从而可得

b2b1cc11=().

(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2

常见的拆项公式有：①

111；

n(n1)nn11111();

(2n1)(2n1)22n12n111(ab);

abab⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1)⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1)⑧（倒数法则）ab02、几个重要不等式②

1111;ab0abab③①ab2aba，bR,（当且仅当ab时取

22

a2b2.""号）.变形公式：ab2②（基本不等式）

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：

ababa，bR,（当2a2b2abab;222且仅当ab时取到等号）.

ab变形公式：ab2abab.

2用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术几何平均不等式）

2(ab)2ab.

222②幂平均不等式：

a12a22...an21(a1a2...an)2.n③二维形式的三角不等式：

x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2abc3abc(a、b、cR)（当且仅当3(x1,y1,x2,y2R).

④二维形式的柯西不等式：

abc时取到等号）.

④abcabbccaa，bR

222(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且

仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：

（当且仅当abc时取到等号）.⑤abc3abc(a0,b0,c0)（当且仅当abc时取到等号）.

333(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式：

ba2（当仅当a=b时取等号）abba若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

abbbmana⑦1aambnb⑥若ab0,则其中(ab0，m0，n0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧当a0时，xax2a2xa或xa;

(a12a22...an2)(b12b22...bn2)

(a1b1a2b2...anbn)2.

⑦向量形式的柯西不等式：

设,是两个向量，则,当且仅当

是零向量，或存在实数k，使k时，等号成

立.

⑧排序不等式（排序原理）：

设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则

xax2a2axa.

⑨绝对值三角不等式ababab.

3、几个著名不等式

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和）

当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和.

-11-

2aba2b2ab①平均不等式：1

ab122a，bR,（当且仅当ab时取""号）.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（时同理）“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴⑵则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：

①舍去或加上一些项，如(a)②将分子或分母放大（缩小），如

f(x)0f(x)a(a0)2f(x)af(x)0f(x)a(a0)2f(x)a12231(a)2;42⑶1111,,22kk(k1)kk(k1)⑷f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或

g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0

f(x)g(x)(22k212),

kkkkk1⑸12(kN*,k1)等.kkk15、一元二次不等式的解法求一元二次不等式axbxc0(或0)

2规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当a1时,af(x)(a0,b24ac0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

ag(x)f(x)g(x)

f(x)⑵当0a1时,aag(x)f(x)g(x)

规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当a1时,

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)⑵当0a1时,

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)规律：根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：aa(a0).

a(a0)22⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.

15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：

由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可

⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x).⑶同解变形法，其同解定理有：①xaaxa(a0);②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如axbxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;

22判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值：

法一：角点法：

如果目标函数zAxBy（x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：画移定求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:AxBy0，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解

②当a0时2a0

0.⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;

②当a0时a0

0.⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;

f(x)a恒成立f(x)maxa;

(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.

第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：y纵截距.

①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：zAxBy;

常用小写的拉丁字母p，q，r，s，表示命题.

2、四种命题及其相互关系

四种命题的真假性之间的关系：

⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3、充分条件、必要条件与充要条件⑴、一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论q之间的关系：

Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若pq，则p是q充分条件，q是p的必要条件；②若pq，但qp，则p是q充分而不必要条件;③若pq，但qp，则p是q必要而不充分条件;④若pq且qp，则p是q的充要条件；⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.

Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：

已知Axx满足条件p，Bxx满足条件q：①若AB,则p是q充分条件；

Azzx,为直线的BBByyb②“斜率”型：z或z;

xxa③“距离”型：zxy或z22x2y2;

z(xa)2(yb)2或z(xa)2(yb)2.

②若BA,则p是q必要条件；

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线

性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

③若AB，则p是q充分而不必要条件;

④若BA，则p是q必要而不充分条件;⑤若AB，则p是q的充要条件；

⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.

4、复合命题

⑴复合命题有三种形式：p或q（pq）；p且q（pq）；非p（p）.

-14-

选修数学知识点专题一：常用逻辑用语1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；

简单命题：不含逻辑联结词的命题;

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.

⑵复合命题的真假判断

“p或q”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p且q”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.5、全称量词与存在量词⑴全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.

⑵存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做

存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，

叫做特称命题.

⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定

①全称命题p：x,p(x)，它的否定p：

x0,p(x0).全称命题的否定是特称命题．

②特称命题p：x0,p(x0),，它的否定p：

x,p(x).特称命题的否定是全称命题.

专题二：圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y221ab02aby2x221ab02ab第一定义第二定义范围F2的距离之和等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（2a|F1F2|）到两定点F1、与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MFe(0e1)daxa且byb1a,0、2a,0bxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0顶点10,b、20,b轴长对称性焦点焦距长轴的长2a短轴的长2b关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称F1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22c(c2a2b2)离心率cc2a2b2b2e1222aaaa(0e1)准线方程a2xc-15-

a2yc焦半径左焦半径：MF1aex0右焦半径：MF2aex0下焦半径：MF1aey0上焦半径：MF2aey0M(x0,y0)焦点三角形面积SMF1F2b2tan2(F1MF2)通径b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHaA(x1,y1),B(x2,y2)，AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x2焦点在y轴上（焦点）弦长公式焦点的位置焦点在x轴上图形标准方程x2y221a0,b02aby2x221a0,b02ab第一定义第二定义范围顶点轴长对称性焦点焦距F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|）到两定点F1、与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MFe(e1)dxa或xa，yR1a,0、2a,0ya或ya，xR10,a、20,a实轴的长2a虚轴的长2b关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称F1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22c(c2a2b2)离心率cc2a2b2b2e12aa2a2a(e1)准线方程a2xca2yc渐近线方程ybxa-2-

yaxb焦半径M在右支MF1ex0a左焦：MF2ex0a右焦：M在上支MF1ey0a左焦：MF2ey0a右焦：MF1ex0a左焦：M在左支右焦：MFexa20y22pxy22px2Sbcot焦点三角形面积MF1F2标准方程2p0p0通径定义顶点M(x图形0,y0)MF1ey0a左焦：M在下支MF2ey0a右焦：x22pyx22py(F1MF2)p0过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HHF不在定直线与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点l上)ab2p00,02．双曲线

3．抛物线离心率对称轴范围e1x轴x0pF,02y轴x0pF,02y0pF0,2y0pF0,2焦点准线方程焦半径xp2xp2yp2yp2M(x0,y0)通径焦点弦长公式参数p的几何意义MFx0p2MFx0p2MFy0p2MFy0p2过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH2pABx1x2p参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔关于抛物线焦点弦的几个结论：B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为，则设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦，A(x1,y1)、p22p,y1y2p2;⑵AB⑴x1x2;4sin2⑶以AB为直径的圆与准线相切；⑷焦点F对A、B在准线上射影的张角为

2；⑸

112.|FA||FB|P专题三：定积分1、定积分的概念如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

Lnf(i)xi1i1nnba当n时，上f(i),，

n述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.记作

ax0x1xi1xixnb将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi1,xi]上任取一点

af(x)dx，即

bi(i1,2,,n)，作和式

baf(x)dxlimni1nbaf(i)，这里，a与b分别叫n做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函

数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

说明：

（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.

2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)如果F(x)f(x)，且f(x)在[a,b]上可积，则

⑷利用函数的奇偶性求定积分:若f(x)是[a,a]上的奇函数,则f(x)dx0;若f(x)是[a,a]上的偶

aa函数,则

aaf(x)dx2f(x)dx.

0a5、定积分的几何意义定积分

baf(x)dx表示在区间[a,b]上的曲线

baf(x)dxF(x)aF(b)F(a)，

byf(x)与直线xa、xb以及x轴所围成的平面

图形（曲边梯形）的面积的代数和，即

【其中F(x)叫做f(x)的一个原函数，因为

baf(x)dxSx轴上方－Sx轴下方.（在x轴上方的面积取

F(x)CF(x)f(x)】

3、常用定积分公式⑴0dxc（c为常数）⑵1dxxc

x1⑶xdxc(1)1

⑷1dxlnxcxxx正号,在x轴下方的面积取负号）6、求曲边梯形面积的方法与步骤⑴画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；

⑵借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

⑶写出定积分表达式；

⑷求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.7、定积分的简单应用⑴定积分在几何中的应用：

几种常见的曲边梯形面积的计算方法:（1）x型区域：

①由一条曲线yf(x)(其中f(x)0）与直线

⑸edxec

axc(a0,a1)⑹adxlnaxxa,xb(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面

bf(x)dx（如图（1）积：S＝a）；

图（1）

②由一条曲线yf(x)(其中f(x)0）与直线xa,xb(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S＝f(x)dx＝－f(x)dx（如图（2））；

⑺sinxdxcosxc⑻cosxdxsinxc⑼sinaxdx⑽cosaxdx1cosaxc(a0)a1sinaxc(a0)ab4、定积分的性质⑴⑵⑶

kf(x)dxkaba；f(x)dx（k为常数）

bbbabf(x)g(x)dxf(x)dxacbacag(x)dx；

babaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx（其中acb);

-2-

图（2）

③由一条曲线yf(x)【当axc时，f(x)0当cxb时，f(x)0

图（5）

②由一条曲线yf(x)(其中x0与直线）ya,yb(ab)以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由yf(x)先求出xh(y)，然后利用）；S＝h(y)dy＝－h(y)dy求出（如图（6）

aacabf(x)dx0;f(x)dx0.】

bbc与直线xa,xb(ab)以及x轴所围成的曲边梯形的面积：S＝caf(x)dxcbcf(x)dx

＝

a）；f(x)dxf(x)dx.（如图（3）

cb

图（6）

③由两条曲线yf(x)，yg(x)与直线

ya,yb(ab)所围成的曲边梯形的面积，可由yf(x)，yg(x)先分别求出xh1(y)，

然后利用S＝|h1(y)－h2(y)|dy求出（如xh2(y)，

图（3）

④由两条曲线yf(x)，yg(x)（f(x)g(x))与直线xa,xb(ab)所围成的曲边梯形的面积：（如Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.aaabbbba图（4））

图（4）

（2）y型区域：

①由一条曲线yf(x)(其中x0与直线）ya,yb(ab)以及y轴所围成的曲边梯形的面积,可由yf(x)得xh(y)，然后利用S＝h(y)dy求

a图（7））；

图（7）

⑵定积分在物理中的应用：①变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分，即Sbav(t)dt..

②变力作功

物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(ab)，那么变力F(x)所作的功Wb出（如图（5））；

-3-baF(x)dx.

专题四：推理与证明

知识结构

合情推理推理推理与证明证明间接证明数学归纳法演绎推理归纳推理类比推理⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.

MaS比较法直接证明

综合法分析法反证法从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.

5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示：要点：顺推证法；由因导果.

⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质；

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；

证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；

-4-

框图表示：要点：逆推证法；执果索因.

⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；

(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；

(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;

*（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；

*（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN","p":{"h":19.058,"w":12.232,"x":763.87,"y":909.431,"z":696},"ps":{"_scaleX":

⑵复数的代数形式zabi(a,bR)；

120，3n1,3n2,3n31

6、复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.

一一对应复数zabi复平面内的点Z（a,b)⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.

2、复数的分类复数zabia,bR

实数(b0)纯虚数(a0,b0)虚数(b0)非纯虚数(a0,b0)3、相关公式⑴abicdiab,且cd⑵abi0ab0⑶zabi复数zabi平面向量OZ一一对应

专题六：排列组合与二项式定理1、基本计数原理⑴分类加法计数原理：(分类相加)

做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有

a2b2

m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方

法在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法.⑵分步乘法计数原理：(分步相乘)

做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有

⑷zabi

z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.4、复数运算⑴复数加减法：abicdiacbdi；⑵复数的乘法：

m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方

法做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有Nm1m2mn种不同的方法.

2、排列与组合⑴排列定义：一般地，从n个不同的元素中任取

abicdiacbdbcadi；

abiabicdi⑶复数的除法：cdicdicdimmn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从

acbdbcadiacbdbcadi

c2d2c2d2c2d2（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化）

5、常见的运算规律n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.⑵组合定义：一般地，从n个不同的元素中任取

mmn个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中

任取m个元素的一个组合.

⑶排列数：从n个不同的元素中任取mmn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数，记作An.

⑷组合数：从n个不同的元素中任取mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取mm(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i

1i1i2个元素的组合数，记作Cn.⑸排列数公式：

①Annn1n2nm1

mm13i(9)设是1的立方虚根，则

2

n！；Anm!mnCnbnnnN.

⑵二项展开式的通项公式：

rnrrTr1Cnab0rn,rN,nN.主要用途

②Ann!，规定0!1.⑹组合数公式：

m①Cnnnn1n2nm1或

m!mCnn！；

m!nm!nmn是求指定的项.

⑶项的系数与二项式系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数.如

在(axb)的展开式中，第r1项的二项式系数

n②CCmn，规定C1.

0nrrnrr为Cn，第r1项的系数为Cnab；而(x1n)的x⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.⑻排列与组合的联系：AnCnAm，即排列就是先组合再全排列.

mAnn(n1)(nm1)n!Cm(mn)Amm(m1)21m!nm!mn展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.⑷1x的展开式：n1n12n2n01xnCn0xnCnxCnxCnx，

mmm若令x1，则有

12n11n2nCn0CnCnCn.

⑼排列与组合的两个性质性质排列An1AnmAnmmm1；组合Cn1CnCnmmm1.

二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数

0213CnCnCn2n1的和.即Cn⑽解排列组合问题的方法

①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.

②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.

③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.⑤有序问题组合法.

⑥选取问题先选后排法.⑦至多至少问题间接法.

⑧相同元素分组可采用隔板法.⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！.3、二项式定理⑴二项展开公式：

⑸二项式系数的性质：

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项

mnmCn式系数相等，即Cn；（2）增减性与最大值：当r数Cr当rn的值逐渐增大，

n1时，二项式系2n1时,Crn的值逐渐减小，2n且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第

2＋1项）的二项式系数C取得最大值.当n为奇数时，中间两项（第

n2nn1n1和＋1项）的二项式系数22Cn12nCn12n相等并同时取最大值.

⑹系数最大项的求法

设第r项的系数Ar最大，由不等式组可确定r.⑺赋值法

若(axb)a0a1xa2x...anx,

n2nArAr1

ArAr1ab

n0n1n12n22rnrrCnaCnabCnabCnab

则设f(x)(axb).有：①a0f(0);

②a0a1a2...anf(1);

③a0a1a2a3...(1)anf(1);

nn⑶相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.

当A、B是相互独立事件时，那么事件AB发生（即A、B同时发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的积.即

P(AB)P(A)P(B).

若A、B两事件相互独立，则A与B、A与B、A与B也都是相互独立的.⑷独立重复试验

①一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

②独立重复试验的概率公式如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率

kPn(k)Cnpkf(1)f(1);

2f(1)f(1)⑤a1a3a5a7....

2

专题七：随机变量及其分布

④a0a2a4a6...知识结构

(1pn)kk0,,12n,.

⑸条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A

发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B发生的概率.

1、基本概念

⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.

如果事件A、B、C，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A、B、C彼此互斥.

当A、B是互斥事件时，那么事件AB发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即

P(A公式：P(BA)P(AB),P(A)0.P(A)2、离散型随机变量⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用

字母X,Y,,等表示.

⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

⑶连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.

⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.

若X是随机变量，则YYaXb(a,b是常数）也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列B)P(A).P(B⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

A的对立事件通常记着A.

对立事件的概率和等于1.P(A)1P(A).特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就

两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.

⑴概率分布（分布列）

设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2，，xi，，xn，

X的每一个值xi（i1,2,,n）的概率P(Xxi)pi，则称表n件,其中恰有X件次品数,则事件Xk发生的

knkCMCNM(k0,1,2,,m),于概率为P(Xk)nCNXx1x2xixnPp1p2pipn是得到随机变量X的概率分布如下：

X01m为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.性质：①pi0,i1,2,...n;②

0n01n1mnmCMCNCMCNCMCNMMMPnnnCNCNCNpi1ni1.

其中mminM,n,n≤N,M≤N,n,M,NN.

*⑵两点分布

如果随机变量X的分布列为

01X

pP1p

则称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率.

⑶二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kkP(Xk)Cnp(1p)nk.

我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,

且称随机变量X服从超几何分布.

注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；

⑵超几何分布中的参数是M,N,n.其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnP则称

其中k0,1,2,...,n,变量X的概率分布如下：q1p，于是得到随机

knp1p2pipnX0n01EXx1p1x2p2xipixnpn为离散型

0PCpq0nCpq1n1n1CnpqkknkCnpqnn随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.性质：①E(aXb)aE(X)b.②若X服从两点分布，则E(X)p.③若X~Bn,p，则E(X)np.⑵离散型随机变量的方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作

X~Bn,p，并称p为成功概率.

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n次;

③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；

⑵二项分布中的参数是p,k,n.

⑷超几何分布

一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取

-8-

Xx1x2xixnP则称

p1p2pipn

D(X)(xiE(X))pi为离散型随机变量X的

2i1nxynxyiii1n方差，并称其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

D(X)越小，X的稳定性越高，波动越小，取值2222xnxynyiii1i1nn2、独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1,x2}和{y1,y2}，其样本频数22列联表为：

x1x2y1acy2bdb+d总计a+bc+da+b+c+d越集中；D(X)越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分散.

性质：①D(aXb)aD(X).②若X服从两点分布，则D(X)p(1P).③若X~Bn,p，则D(X)np(1P).5、正态分布正态变量概率密度曲线函数表达式：

2总计a+c若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.

具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K2的

n(adbc)2值K，其中

(ab)(cd)(ac)(bd)2fx12ex222nabcd为样本容量，K2的值越大，说明“X

,xR，其中,是参数，

2与Y有关系”成立的可能性越大.

随机变量K2越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。

且0,.记作N(,).如下图：

K23.841时，X与Y无关；K23.841时，X

与Y有95%可能性有关；K6.635时X与Y有99%可能性有关.

2专题八：统计案例1、回归分析专题九：坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在nabx，回归直线方程ynxixyiybi1n2其中xixi1aybxxynxyiii1nxx,(0),变换:的作用下，点P(x,y)对

yy,(0).应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸

缩变换，简称伸缩变换。2、极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

M(,)

-9-

xi2nx2i1相关系数：rxi1ni1nixyiy2n

2xixyiyi1

O图1

x

点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).

注：

极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).

若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。

如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。

极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋2k)或（，＋(2k1)），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜2或M（，）M0Mx2y2（2）椭圆221(ab0)的参数方程为

abOxOa图10aOxacos（为参数）；ybsin图2acos图3acosy2x2椭圆221(ab0)的参数方程为

abxbcos（为参数）；yasin

pM（，）MaOMOaaON(a,)图4图5asinasin图6acos()x2y2（3）双曲线221(ab0)的参数方程

ab5、柱坐标系与球坐标系⑴柱坐标：空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标xasec（为参数）；ybtany2x2双曲线221(ab0)的参数方程

abtxbco（为参数）；yacsc

xcos(,,z)的变换关系为：ysin.zz⑵球坐标系空间点P直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,,)的变x2y2z2r2xrsincos换关系：.yrsinsinzrcos6、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x2pt2（4）抛物线y2px参数方程(t为参

y2pt2数，t1）；tan参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点

与原点连线的斜率的倒数.

（6）过定点P(x0,y0)、倾斜角为(的参数方程xf(t),并且对于t的x,y都是某个变数t的函数yg(t),每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。7、常见曲线的参数方程（1）圆(xa)(yb)r的参数方程为2222)的直线

xx0tcos（t为参数）.

yytsin08、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过xf(t),yg(t)。根据t的取值范围导出x,y的取值范围.

-11-xarcos（为参数）；ybrsin

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