高中数学必修1-5公式总结

高中数学必修1-5公式总结

高中数学必修1-5常用公式及结论天龙中学数学组编制

高中数学必修课本常用公式及结论1．集合{ann1,a2,,an}的子集个数共有2个；真子集有21个；非空子集有2n1个；非空的真子集有2n2个2、二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式）(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为

(x1,0),(x2,0)时，设为此式）3、方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0；

4、则复合函数yf[g(x)]满足同则增异则减5、奇偶函数的图象特征：奇函数f(x)f(x)；偶函数f(x)f(x)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数6常见函数的图像：

yyyyyk0a高中数学必修1-5常用公式及结论天龙中学数学组编制

a1(1qn)a1anq其前n项的和公式为s,q1,q1n1q或sn1qna1,q1na1,q120、等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,qa1nbqn(db)qn1dq1,q1；

nbn(n1)d,(q1)其前n项和公式为：sn(bd)1qnd1qq11qn,(q1)21、同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan=sincos，22、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

sin(nnn2(1)2cos2)(1)sin,(n为偶数)n,(n为偶数)n1，cos()n1(1)2cos,(n为奇数)2(1)2sin,(n为奇数)23、和角与差角公式

sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;

tan()tantan1tantan

asinbcos=

a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

定,tanba)24、二倍角公式及降幂公式

sin2sincos2tan1tan21tan2cos2cos2sin22cos2112sin21tan2tan22tan1tan2sin21cos21cos22,cos22

25、三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0)的周期

T2||；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0)的周期T||26、正弦定理：

asinAbsinBcsinC2R（R为ABC外接圆的半径）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC

27、余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC28、面积定理

（1）S12ah11a2bhb2chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）（2）S12absinC12bcsinA12casinB

29、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa;

+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

30、向量平行的坐标表示

设a=(xx1,y1),b=(2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y31、a与b的数量积(或内积)：ab=|a||b10|cos32、ab的几何意义：

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积．

33、平面向量的坐标运算(1)设a=(xb

=(x1,y1),2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2)(2)设a=(x),b=(x1,y12,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2)

(3)设A(x1,y(x1)，B

2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1(4)设a=(x,y),R，则a)=(x,y)(5)设a=(xb1,y1),b=(x2,y2)，则a=(x1x2y1y2)34、两向量的夹角公式

cosabx1x2y1y2|a||b|=x2(a=y2x2y2(x1,y1),b(x2,y2))112235、平面两点间的距离公式d

22A,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2))36、向量的平行与垂直：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则

a||bb=λax1y2x2y10ab(a0)ab=0x1x2y1y2037、设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

第2页（共4页）高中数学必修1-5常用公式及结论

（1）O为ABC的外心天龙中学数学组编制

OA222（2）O为ABC的重心OAOBOCOBOC0（3）O为ABC的垂心OAOBOBOC（4）O为ABC的内心aOAbOBcOCOCOA038、常用不等式：

（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．39、斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2xx)）2140、直线的五种方程

（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距)（3）两点式

yy1yxx1x(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2,y1y2))2y1x21两点式的推广：(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0（无任何限制条件！）

(4)截距式xayb1(a、b分别为直线的横、纵截距，a0、b0)

（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0)41、两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①lA1AB1BC11||l2；②l1l2A1A2B1B20；22C242、点到直线的距离：d|Ax0By0C|(点P(x0,y0),直线l：AxA2B2ByC0)43、圆的四种方程

（1）圆的标准方程(xa)2(yb)2r2（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F＞0)44、直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种(dAaBbCA2B2):

dr相离0;dr相切0;dr相交0

45、证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行46、证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行47、证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；

48、证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；

49、证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面50、证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；

51、空间两点间的距离公式

若A(xz2221,y1,z1)，B(x2,y2,2)，则dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(z2z1)52、棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．53、球的半径是R，则其体积V43R3,其表面积S4R2．54、球的组合体

(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正

方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长55、柱体、锥体的体积

VSh（S是柱体底面积、h是柱体高）V1柱体锥体3Sh（S是锥体底面积、h是锥体高）

56、等可能性事件的概率：P(A)mn

57、互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．58、n个互斥事件分别发生的概率的和：

P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．

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59、独立事件A，B同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)

201*山东数学会考模拟试题

一选择题

1．已知集合A{1,0,1,2,3}，B{x|1x0}，则AB等于A1B1C(,0)D1,02．已知等差数列{an}中，a7a916,，则a8的值是

A5B6C7D8

3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个相交平面的位置关系是A异面B相交C平行D平行或相交

4．若向量|a|=1,|b|=2,c=a+b且c⊥a，则向量a与b的夹角为A30B60C120D1505．已知正方体的外接球的体积是

323，那么正方体的棱长等于A22B

233C42433D36．函数ycos2x在下列哪个区间是减函数A4,4B4,34C0,2D2,7．在下列函数中，函数的图象关于y轴对称的是

Ayx3Bylogx1xCycosxDy2

28．将ycosx的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将图象沿x轴负方向平移

4个单位，则所得图象的解析式为AysinxBysin2xCycos(2x4)Dycos(x24)9．设我方每枚地对空导弹独立地击中敌机的概率为08，如果要以99%的把握击中来犯敌机，则至少要同时发射导弹

A2枚B3枚C4枚D5枚

10.建造一个容积为8cm3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为

120元和80元，那么水池的最低总造价为

A1700元B1720元C1740元D1760元

二、填空题

11、已知函数f(x)2x,(x4)1),(x4)，

f(x那么f(5)的值为____________12、在[-π,π]内，函数ysin(x3)为增函数的区间是____________

13、设┃a┃=12，┃b┃=9，ab=-542，则a和b的夹角θ为____________

三、解答题

14、已知a=（2，1）b=（λ，-2），若a⊥b，求λ的值

15、已知an是各项为正数的等比数列，且a1=1，a2+a3=6，求该数列前10项的和Sn

16、已知函数f(x)32sinx12cosx,xR求f(x)的最大值，并求使f(x)取得最大值时x的集合

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扩展阅读：高中数学必修5知识点总结(精品)

必修5知识点总结

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc④．

sinsinsinCsinsinsinC②sin（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,

∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．8、数列的项：数列中的每一个数．9、有穷数列：项数有限的数列．10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1anamana11；⑤d④nnmd．

21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q*），则aman差数列，且2npq（n、p、q*），则2anapaq；若an是等

apaq．

na1anSn2；②

22、等差数列的前n项和的公式：①

Snna1nn1d．③2sna1a2an

*23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，

S奇anS偶an1．

*②若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶an，

S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：

an1q（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上an的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

2①anan1q(n2,q为常数,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.

25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若Gab，则称G为a与b的等比中项．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）26、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1qn1．

n1nmaaqaaq27、通项公式的变形：①n；②1；③qn1mn222annmanq；④．ama1*28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比

数列，且2npq（n、p、q*），则an2apaq．

na1q129、等比数列an的前n项和的公式：①Sna11qnaaq．②sn1nq11q1qs1a1(n1)30、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an

ss(n2)n1na1a2an

[注]：①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{an}前n项和SnAn2Bnn2a1d2ddn→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若22d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．附：几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列数列等差数列等比数列我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。例题：1、等差数列分析：因为

d2dn(a1)n利用二次函数的性质求n的值.22通项公式对应函数（时为一次函数）（指数型函数）前n项和公式对应函数（时为二次函数）（指数型函数）中，，则.

是等差数列，所以是关于n的一次函数，

一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，

所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数

列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。例题：2、等差数列

中，

，前n项和为

，若

，n为何值时

最大？

分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，

是抛物线=上的离散点，根据题意，，

则因为欲求最大。

最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，

例题：3递增数列，对任意正整数n，

递增得到：

恒成立，设

恒成立，求

恒成立，即，则只需求出。

，因为是递的最大值即

分析：构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然

有最大值

对一切

对于一切

，所以看成函数

的取值范围是：

构造二次函数，，它的定义域是

增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)

为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧

在

也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，

，得

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前111n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，

公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证

anan1(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

3.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,dsn=121222323n2n①

把①式两边同乘2后得

2sn=122223324n2n1②

用①-②，即：

sn=121222323n2n①2sn=122223324n2n1②

得

sn1222232nn2n12(12n)n2n1122n12n2n1(1n)2n12∴sn(n1)2n12

4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论

n(n1)121）:1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+(2n-1)=n3）1323n3n(n1)

224）123n222221111n(n1)(2n1)5）6n(n1)nn11111()

n(n2)2nn26）

31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

32、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

1111()(pq)pqqppq⑧ab0nanbn,n1．

33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）

求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“

由图可看出不等式x3x6x80的解集为：

22x|2x1,或x4

例题：求解不等式解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数0002

(x1)(x2)(x5)0的解集。

(x6)(x4)yax2bxc（a0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根Raxbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)x1x2b2abxxx1或xx2xx2axx1xx2对于a0(或（2）转化为整式不等式（组）

f(x)f(x)f(x)g(x)00f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)

例题：求解不等式：解：略例题：求不等式

11xx1的解集。x13.含绝对值不等式的解法：基本形式：

①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集为：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集为：x|xa,或xa变型：

其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为：

x2x292x92(x2)(x3)10x2由①②③得原不等式的解集为：x|函数图像法：

令f(x)|x2||x3|

119x（注：是把①②③的解集并在一起）22yf(x)=1052x1(x3)则有：f(x)5(3x2)

2x1(x2)在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图1132o292x由图像可知原不等式的解集为：x|2

119x224.一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：y设ax+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax+bx+c,那么：

22

0①若两根都大于0，即0,0，则有0

0

o对称轴x=xb2a0b②若两根都小于0，即0,0，则有0

2af(0)0

11

y对称轴x=b2aox

③若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0

④若两根在两实数m,n之间，即mn，

yoxy0bnm则有2af(m)0omf(n)0⑤若两个根在三个实数之间，即mtn，

yX=nb2axf(m)0则有f(t)0

f(n)0

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数

例如：若方程x22(m1)xm22m30有两个正实数根，求m的取值范围。

omX=tnxb2a4(m1)24(m22m3)00m1解：由①型得02(m1)0m1m3

0m1,或m3m22m30所以方程有两个正实数根时，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。

225522(1)4(m1)00m解：因为有两个不同的根，所以由2221m12f(1)011m101m135、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．

38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．（一）由B确定：

0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线①若0，则xyCxyC0下方的区域．

0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线②若0，则xyCxyC0上方的区域．

（二）由A的符号来确定：

先把x的系数A化为正后，看不等号方向：

①若是“>”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。②若是“线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．2abab．42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即241、设a、b是两个正数，则

43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR22a2b2；②aba,bR；③

2ababa0,b0；

2a2b2ab④a,bR．

2244、极值定理：设x、y都为正数，则有：

22s2⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．⑵若xyp（积为定值），则当xy4时，和xy取得最小值2p．例题：已知x解：∵x51，求函数f(x)4x2的最大值。44x55，∴4x504由原式可以化为：

f(x)4x552

当54x1111(54x)3[(54x)]3(54x)31324x554x54x54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）时取到“=”号54x2也就是说当x1时有f(x)max2

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