初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

圆的基本性质

1．半圆或直径所对的圆周角是直角.2．任意一个三角形一定有一个外接圆.

3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6．同圆或等圆的半径相等.7．过三个点一定可以作一个圆.8．长度相等的两条弧是等弧.

9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系

1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.

4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5．垂直于半径的直线必为圆的切线.

6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7．垂直于半径的直线是圆的切线.8．圆的切线垂直于过切点的半径.

圆与圆的位置关系

1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.5．相切两圆的连心线必过切点.

正多边形基本性质

1．正六边形的中心角为60°.2．矩形是正多边形.

3．正多边形都是轴对称图形.4．正多边形都是中心对称图形.圆的基本性质

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是.A.50°B.80°C.90°D.100°2．已知：如图，⊙O中,圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°3．已知：如图，⊙O中,圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°

4．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，则下列结论中正确的是.A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=90

5．半径为5cm的圆中,有一条长为6cm的弦,则圆心到此弦的距离为.

AOABCDOBCDABCOA.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.507．已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是.A.100°B.130°C.200°D.50O8.已知：如图，⊙O中,圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD的度数是.AA.100°B.130°C.80°D.50°

9.在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为cm.

A.3B.4C.5D.1010.已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是.A.100°B.130°C.200°D.50°

12．在半径为5cm的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为.A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

DACBODCBCOAB点、直线和圆的位置关系

1．已知⊙O的半径为10,如果一条直线和圆心O的距离为10,那么这条直线和这个圆的位置关系为.

A.相离B.相切C.相交D.相交或相离

2．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切B.相离C.相交D.相离或相交

3．已知圆O的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P和这个圆的位置关系是A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定

4．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是.

A.0个B.1个C.2个D.不能确定

5．一个圆的周长为acm,面积为acm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切B.相离C.相交D.不能确定

6．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切B.相离C.相交D.不能确定

7.已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.

A.相切B.相离C.相交D.相离或相交8.已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是.A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定

圆与圆的位置关系

1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是.A.外离B.外切C.相交D.内切

2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是.A.内切B.外切C.相交D.外离

3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C.内切D.内含

4．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是.A.外离B.外切C.相交D.内切

5．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm，两圆的一条外公切线长43，则两圆的位置关系是.

A.外切B.内切C.内含D.相交

6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C.内切D.内含

公切线问题

1．如果两圆外离，则公切线的条数为.

A.1条B.2条C.3条D.4条2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为.A.1条B.2条C.3条D.4条

3．如果两圆相交，那么它们的公切线的条数为.A.1条B.2条C.3条D.4条4．如果两圆内切，它们的公切线的条数为.A.1条B.2条C.3条D.4条

5.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B.2条C.3条D.4条

6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=7cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B.2条C.3条D.4条

正多边形和圆

1．如果⊙O的周长为10πcm，那么它的半径为.A.5cmB.10cmC.10cmD.5πcm2．正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为.A.2B.

3C.1D.3．已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为.A.2B.1C.2D.34．扇形的面积为

2,半径为2,那么这个扇形的圆心角为=.3A.30°B.60°C.90°D.120°

5．已知,正六边形的半径为R,那么这个正六边形的边长为.A.

1RB.RC.2RD.3R2C26．圆的周长为C,那么这个圆的面积S=.

C2C2A.CB.C.D.

2427．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为.A.1:2B.1:3C.3:2D.1:28.圆的周长为C,那么这个圆的半径R=.A.2CB.CC.

CCD.29.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的半径为.A.2B.4C.22D.23

10．已知,正三角形的半径为3,那么这个正三角形的边长为.A.3B.

3C.32D.

扩展阅读：初三数学上学期期末复习知识点总结加经典例题讲解

初三数学上册期末复习资料加经典例题

第一章、图形与证明（二）

（一）、知识框架

1.等腰三角形

等腰三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定线段的垂直平分线的性质和判定角的平分线的性质和判定

注意：若等边三角形的边长为a，则：其高为：，面积为：。

2.直角三角形全等的判定：HL平行四边形的性质和判定：4个判定定理3.平行四边形

矩形的性质和判定

菱形的性质和判定：3个判定定理正方形的性质和判定：2个判定定理

注注意：（1）中点四边形

①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是；②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是；③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是；

④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是。

1（2）菱形的面积公式：Sab（a,b是两条对角线的长）

24.等腰梯形的性质和判定

注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。

即需要掌握常作的辅助线。

（2）梯形的面积公式：S5.中位线三角形的中位线梯形的中位线

1abhlh（l-中位线长）2

(二)知识详解

2．1、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）

2．2、等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三

线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

2．3、线段的垂直平分线

（1）线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。2．4、角平分线

（1）角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（2）三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（3）如何用尺规作图法作出角平分线2．5、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）直角三角形全等的判定定理

定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）2.6、几种特殊四边形的性质

矩形菱形正方形等腰梯形边对边平行且相等角对角相等对角线对角线互相平分对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角平行四边形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等对边平行，四条边对角相等都相等对边平行，四条边四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每一都相等条对角线平分一组对角两条底边平行，两同一底上的两个对角线相等腰相等角相等2.7.几种特殊四边形的判定方法

平行四边形（1）两组对边分别平行（2）两组对边分别相等（3）一组对边平行且相等（4）两条对角线互相平分（5）两组对角分别相等矩形菱形正方形等腰梯形（1）有三个角是直角（2）是平行四边形，并且有一个角是直角（3）是平行四边形，并且两条对角线相等（1）四条边都相等（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直（1）是矩形，并且有一组邻边相等（2）是菱形，并且有一个角是直角（1）是梯形，并且两条腰相等（2）是梯形，并且同一底上的两个角相等（3）是梯形，并且对角线相等A2.8、三角形的中位线：

⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．区别三角形的中位线与三角形的中线。⑵三角形中位线的性质

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

BDECF2.9、梯形的中位线：

⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。⑵梯形中位线的性质

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

（三）典型例题

例题1、下列命题正确的个数是

①如果一个三角形有两个内角相等，则此三角形是轴对称图形；②等腰钝角三角形是轴对称图形；③有一个角是30°角的直角三角形时轴对称图形；④有一个内角是30°，一个内角为120°的三角形是轴对称图形

A、1个B、2个C、3个D、4个答案：C

解析：①两个内角相等，根据“等角对等边”知此三角形是等腰三角形，④根据三角形的内角和为180°，判断出此三角形是等腰三角形，所以①②④都是等腰三角形，是轴对称图形，故①②④正确，故选C。

例题2、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是

A、两边之和大于第三边B、有一个角平分线垂直于这个角的对边C、有两个锐角的和等于90°D、内角和等于180°答案：B

解析：A、D是任何三角形都必须满足的，C项直角三角形的两个锐角的和等于90°，等腰三角形不一定具有，B项等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，直角三角形不具有这个性质，故选B。

例题3、等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则等腰三角形的面积为。答案：12

解析：根据等腰三角形的性质，底边上的高垂直平分底边，所以由勾股定理得到底边的高为54=9=3，所以等腰三角形的面积为

22183=12，故填12。2例题4、在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（）

A．1：2

B．1：3

C．2：3

D．2：5

【答案】A

例题5、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE．，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

ABDE图1ADADCBECFG图2BFE132图3CF【答案】

G(1)证明：如图1．

∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F．∴∠CEF=∠F．∴CE=CF(2)∠BDG=45°

(3)解：分别连结GB、GE、GC（如图3）∵AB∥DC，∠ABC=120°∴∠ECF=∠ABC=120°∵FG∥CE且FG=CE．

∴四边形CEGF是平行四边形．由(1)得CE=CF，

平行四边形CEGF是菱形．

1∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°

2∴△ECG是等边三角形∴EG=CG，①∠GEC=∠EGC=60°

∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG．②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．

在平行四边形ABCD中，AB=DC．∴BE=DC．③由①②③得△BEG≌△DCG．

∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°180°－∠BGD∴∠BDG==60°．

2

例题6、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）

A．7B．9C．10D．11

【答案】D

例题7、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点。试说明：EF与MN互相垂直平分。

（学生自己思考）

第四章、一元二次方程

（一）知识框架

一元二次方程一元二次方程的概念ax2bxc0(a0)直接配方法因式分解法配方法公式法一元二次方程的解法bb24acx2a等量关系

（二）、知识详解1、一元二次方程定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式

ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。2、一元二次方程的解法1、直接开平方法

直接开平方法适用于解形如(xa)2b的一元二次方程。当b0时，xab，

xab；当b（1）方程ax2bxc0(a0)两边同时除以a,将二次项系数化为1.（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。

（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方（4）配方，化成(xa)2b

（5）开方。当b0时，xab；当bbb24ac11415x2a212x11515x222（3）原方程变为：x2－3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3

例题3、已知关于x的一元二次方程x2-mx-2=0．……①(1)若x=-1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；(2)对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．

解：（1）x=-1是方程①的一个根，所以1+m-2=0，

解得m=1．

方程为x2-x-2=0，解得，x1=-1，x2=2．

所以方程的另一根为x=2．（2）b24ac=m2+8，

因为对于任意实数m，m2≥0，所以m2+8>0，

所以对于任意的实数m，方程①有两个不相等的实数根．

例题4、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分

率为x，则下列方程中正确的是（）

A．55(1+x)2=35B．35(1+x)2=55C．55(1－x)2=35D．35(1－x)2=55

解：C

例5：（201*南京）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?

解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得：(32x)(200x40)24201*.1解得：x1＝0.2，x2＝0.3答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。

第五章、中心对称图形二（圆的有关知识）

（一）、知识框架

与圆有

关的位

置关系

圆

正多边

形与圆

圆的定义,弧、弦等概念垂径定理及其推论圆的对称性基本性质弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论圆周角定理及其推论不共线的三点确定一个圆确定圆的条件三角形的外接圆点在圆上dr点和圆的位置关系点在圆外dr点在圆内dr相交dr圆内接正多边形正多边形和圆直线与圆的位置关系相切dr判定切线长定理正多边形的有关计算圆内接正多边形作法----等份圆圆与圆的位置关系相离性质正多边形的半径、边心距、相离dr正多边形的内角、中心角、外角、正多边形的周长、三角形的内切圆ldRr正三、六、十二边形外离dRr正四、八边形内含外切dRr内切dRrnR180S扇形nR21lR3602相切其中l为弧长，R为半径相切的两圆的连心线过切点相交相交RrdRr相交的两圆的连心线垂直平分相交弦10圆锥侧面积全面积S侧S展开的扇形SSS

扇形的弧长、面积（二）知识点详解

一、圆的概念集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；

BArdCdO3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；

rdd=rrd

四、圆与圆的位置关系

11Rdr图外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圆心角定理

COABCBAdR图2rdR图3图4dRdrrRr图5DOED圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

12

BOAAODCEFBC即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵C90∴C90∴

BDCBOACAB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形∴CBAD180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

BCBOACOAD两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆以上三个定理及推论也称二推一定理：

MANOAE点。心。

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理

B切线长定理：

OP13

A从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA十一、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴O1O2垂直平分AB十二、圆内正多边形的计算

（1）正三角形：在⊙O中△ABC是正三角形

BCAO1BO2OA有关计算在RtBOD中进行：OD:BD:OB1:3:2；（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，

OE:AE:OA1:1:2：

OADBDC（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，

AB:OB:OA1:3:2.

EO

AB十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：lnR；180AOSlnR21lR（2）扇形面积公式：S3602Bn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积

2、圆锥侧面展开图

（1）S表S侧S底=Rrr2

1（2）圆锥的体积：Vr2h

3OB1R

ACrB

3、圆锥与圆柱的比较名称图形圆柱圆锥图形的形成过程由一个矩形旋转得到，如矩形ADD’G绕直线由一个直角三角形旋转得到，如AB旋转一周Rt△SOA绕直线SO旋转一周两个底面圆和一个侧面一个底面圆和一个侧面图形的组成面积、体积的计算公式S侧=2πrhS全=S侧+2S底=2πrh+2πrV=πr2h2S侧=πrS全=S侧+S底=πr+πr2V=πr2h（三）、典型例题例题1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；

(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识.解：(1)作法略.如图所示.

于C，

(2)如图所示，过O作OC⊥AB于D，交∵OC⊥AB，

∴

由题意可知，CD=4cm.

.

设半径为xcm，则

在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴

.∴..

即这个圆形截面的半径为10cm.

例题2、在O中，弦AD平行于弦BC，若AOC80，则DAB____度．

【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．【思路点拔】∵∠B=∴∠B=40°∵AD∥BC

∴DAB∠B=40°【答案】填：40

1∠AOC，AOC802DOABC图7-1

例题3、AB是的⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（）

A．1000B．1100C．1200D．1350

【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．【思路点拔】∵AB是的⊙O的直径∴ACB度数是1800∵BC=CD=DA

=CD=DA∴BC100∵∠BCD=(18060)=1200

2【答案】选填C

例题4、如图，四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，已知ABBC图7-2

1AD1，4求CD的长。

分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。

解：延长AB、DC交于E点，连结BD∵ABBC1AD14∴ABBC，AD4，∴∠ADB∠EDB

∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD

∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD∴△EBC∽△EDA，∴BCCEADAE∴CEBCAEBC(ABBE)111

ADAD421722∴CDDECE41BC)，以BC为直径作半圆O，过点2D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。

例题5、如图，四边形ABCD是矩形(AB

分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于点B和点C，

∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，DE=DC+EB=4x，

在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，∴AD23x则tan∠ADEAE2x3AD23x3点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例题6、如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，

a以为半径的圆相切于点O1、O2、O3，求O1O2、O2O3、O3O1围成的图形面2积S。（图中阴影部分）

分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。解：S△ABC32a2a2a，3S扇3×()4628∴S阴32a2232aa488此题可变式为如下图所示，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都

为a，求图中三个扇形(阴影部分)的面积之和。2

分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，

因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为8a2，

原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A1、⊙A2、⊙A3⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3An，求n个扇形的面积之和。解题思路同上。解：

(n2)2

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