九年级下数学教学总结

九年级下数学教学总结

九年级下学期数学教学反思

黄尾中心学校王小华

新的课程标准的实行需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法、教学手段等进行改革。数学课堂如何体现新理念呢？通过这一年的九年级数学教学，我从课堂教学的时间、地点、人物三个方面进行了反思。

一、时间：是否一定要按固定的程序进行

现象：数学课我们经常沿袭的时间结构是复习（5分钟）、新授（20分钟）、巩固（10分钟）、作业（7分钟）、小结（3分钟）。举行教研活动时，在上课前有经验的老教师常千叮咛万嘱咐年轻教师要“卡”好节奏，千万别拖堂。

分析与反思：

现行的教材都是分课时编写，通常每课时的任务必须在一节课内完成。多数教师对每节课的内容、任务、进程都具体以时间顺序来分解，有时怕完不成任务，学生在关键处及易混易错处发生分歧时，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕“节外生枝”，过分讲究课堂教学环节的丝丝入扣，教师往往在一节课的各个阶段，按“套路”引领学生一步一步去“走教案”就行了。这种课看上去紧凑，但缺少一种动态生成，往往以牺牲学生学习的积极主动性为代价，弊病很多。我认为教学任务是否完成不在于课上讲了多少，而要看学生学得如何。只要有利于学生学习积极性的调动和学生发展，固定的课堂教学时间结构可以打破，无需每个环节都要安排。只要课堂上学生学得活泼、主动，重点思路掌握了，不会的问题解决了，即使设计的教学内容或书上的练习没完成，或由于学生对某个内容探究的欲望很强，教师打破教材课时的限制，根据学生的需要灵活地处理教学结构而拖堂了，都不能以时间把握不准而一律认为不是一节好课。二、地点：学生学习数学的空间难道仅在教室

现象：九年级上第四章-视图与投影的教学中，对投影这部分内容，教师往往也只在教室中，画出基本图形后，利用光学的基本知识，传授学生如何得到影子，或者根据影子得到实物及寻找光源等。例：一个正方形的纸片在阳光下的影子是什么形状？教师往往怕麻烦，只在教室作讲解，最多提醒学生课后自己试验。实际上，这样的问题实际操作一下，可能能够起到更多更好的效果说的小一点，可能对这个问题的答案永生难忘；说的大一点，可能就此引起了学生对学习数学、科学甚至探索大自然的兴趣。

分析与反思：

受传统的教学方式中过分强调技能技巧的训练与抽象的逻辑推理的影响，加上现在的考试评价体系对学生的动手操作、社会调查能力难以考查，我们有些老师还很难将课堂真正开放。他们认为数学学习的目标就是教会学生解答数学习题，因而学生学习的空间往往局限在教室里。

数学教学的目标不仅仅是为了让学生学到一些知识，更重要的是要让学生学会运用数学的知识、思维与方法，解决现实的问题，同时感受到数学的意义和价值。我们要树立一种“大数学”教学观，这就要求我们教学的空间要开放，不仅要在课堂教学时努力体现“从问题情境出发，建立模型、应用与推广”基本流程，通过观察、操作、思考、交流等活动逐步增强学生的应用意识，使学生认识到数学与现实的世界的联系，更重要的是应安排多种可供选择的教学活动，如课前的调查和实验，课后的数学探究和实践活动，写数学日记等。让学生在社会实践中发现数学、探究数学、体验数学及掌握数学。三、人物：究竟谁应是课堂的主角

现象：课上学生讨论交流得最热烈时，教师提高嗓门喊道：请大家安静，听我来讲。学生极不情愿地正襟危坐，恭听教师教诲。课间办公室里教师在互相诉苦：现在学生越来越不听讲了，你讲得口干舌燥，他们在下面却是叽叽喳喳，充耳不闻。分析与反思：

传统教学意义上的教学知识与技能的传授，强调教师对教学的绝对控制，注重接受式的教学方式，学生基本上是听讲记忆练习再现教师传授的知识。学生只要把教师讲得记下来，考试时准确地将所学内容写到卷子上，就算完成了学习任务。因此教师对学生的要求是“倾听”。“听”和“练”成了学生最重要的学习方法，学生成了学习知识的容器，而不是一个主动探索者和创建者

我认为数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，学生应当成为主动探索知识的“建构者”而不是“模仿者”。教学应当促进学生主体的主动建构，离开了学生积极主动的学习，教师讲得再好，也会经常出现“教师讲完了，学生仍不会”的现象。我们要改变教师包揽课堂的做法，在组织教学的每一个环节时，都应当有意识地体现学生是课堂的主角，多给学生自主探索、合作交流等活动的机会，多让学生“做”数学。教师要从信息源与知识的传授者转变为学生学习的促进者和引导者，就应巧妙地把自己转向幕后，把学生推向台前，把课堂还给学生，让学生成为课堂真正的主角。

二一一年六月十日

扩展阅读：人教版九年级下册数学教案

.第二十六章二次函数

[本章知识要点]

1．探索具体问题中的数量关系和变化规律．

2．结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．

3．会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．

4．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．5．会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．6．会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

26．1二次函数

[本课知识要点]

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[MM及创新思维]

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．[实践与探索]

例1．m取哪些值时，函数y(m2m)x2mx(m1)是以x为自变量的二次函数？

分析若函数y(m2m)x2mx(m1)是二次函数，须满足的条件是：

m2m0．

解若函数y(m2m)x2mx(m1)是二次函数，则m2m0．解得m0，且m1．

因此，当m0，且m1时，函数y(m2m)x2mx(m1)是二次函数．回顾与反思形如yax2bxc的函数只有在a0的条件下才是二次函数．

探索若函数y(m2m)x2mx(m1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？

例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得S6a2(a0)，其中S是a的二次函数；

x2(x0)，其中y是x的二次函数；（2）由题意，得y40x≥0且是正整数），（3）由题意，得y100001.98%x1000（

其中y是x的一次函数；

11（4）由题意，得Sx(26x)x213x(0x26)，其中S是x的二

22次函数．

例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．

15解（1）S1524x22254x2(0x)；

2（2）当x=3cm时，S225432189（cm2）．[当堂课内练习]

1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx21x（2）y(x2)(x2)(x1)2

（4）yx22x3

22．当k为何值时，函数y(k1)xkk1为二次函数？

3．已知正方形的面积为y(cm2)，周长为x（cm）．

(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]

A组

1．已知函数y(m3)xm27是二次函数，求m的值．

2．已知二次函数yax2，当x=3时，y=-5，当x=-5时，求y的值．

3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．

4．用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

B组

5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）

A．y(m1)2x2B．y(m1)2x2C．y(m21)x2D．y(m21)x2

6．下列函数关系中，可以看作二次函数yax2bxc（a0）模型的是（）

A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系[本课学习体会]

26.2用函数观点看一元二次方程（第一课时）

教学目标

(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．

3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．

(二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．

3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．(三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点

1．体会方程与函数之间的联系．

2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点

1．探索方程与函数之间的联系的过程．

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?

2.选教材提出的问题，直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究

1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.

观察：教材22页，学生小组交流.

归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高

1.根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声

2.抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.

3.根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华

本节课学了如下内容：

1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．

2．理解了二次函数与x轴交点的个数

与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.

3.数学方法:分类讨论和数形结合.

反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？拓展：教案

Ⅴ．课后作业P231.3.5

26．2二次函数的图象与性质（1）

[本课知识要点]

会用描点法画出二次函数yax2的图象，概括出图象的特点及函数的性质．[MM及创新思维]

我们已经知道，一次函数y2x1，反比例函数y是、

，那么二次函数yx2的图象是什么呢？

（1）描点法画函数yx2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？（2）观察函数yx2的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）y2x2解列表x-318-28-8-12-201*12-228-8318（2）y2x2

3的图象分别xy2x2y2x2-18-18分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图

象都是抛物线，如图26．2．1．

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：y2x2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，

曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．

y2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，

曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．

例2．已知y(k2)xk2k4是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴．

k2k42解（1）由题意，得，解得k=2．

k20（2）二次函数为y4x2，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．例3．已知正方形周长为Ccm，面积为Scm2．（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．

1解（1）由题意，得SC2(C0)．

16列表：C2468119SC2141644描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm．

（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4cm2．回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点．

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．

（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．[当堂课内练习]

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

1（1）y3x2（2）y3x2（3）yx2

322．（1）函数yx2的开口，对称轴是，顶点坐标是；

31（2）函数yx2的开口，对称轴是，顶点坐标

4是．

3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]

A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

1（1）y4x2（2）yx2

42．填空：

（1）抛物线y5x2，当x=时，y有最值，是．（2）当m=时，抛物线y(m1)xm（3）已知函数y(k2k)xk时，y随x的增大而增大．3．已知抛物线ykxk2k1022m开口向下．

2k1是二次函数，它的图象开口，当x

中，当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；（2）作出函数的图象（草图）．

4．已知抛物线yax2经过点（1，3），求当y=9时，x的值．

B组

5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5cm3．6．二次函数yax2与直线y2x3交于点P（1，b）．

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减

小．

7．一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）．（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出MON的面积．

[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（2）

[本课知识要点]

会画出yax2k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]

同学们还记得一次函数y2x与y2x1的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数yx2与yx21的图象之间的关系吗？

，那么yx2与yx22的图象之间又有何关系？

．[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出函数y2x2与y2x22的图象．解列表．x-31820-2810-124002124281031820

y2x2y2x22描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．

回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y2x2与y2x22的图象之间的关系吗？

例2．在同一直角坐标系中，画出函数yx21与yx21的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线yx21得到抛物线yx21．解列表．x-3-8-2-3-5-10-201-110-22-3-53-8

yx21yx21-10-10描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．

可以看出，抛物线yx21是由抛物线yx21向下平移两个单位得到的．回顾与反思抛物线yx21和抛物线yx21分别是由抛物线yx2向上、向下平移一个单位得到的．

探索如果要得到抛物线yx24，应将抛物线yx21作怎样的平移？

12x相同，顶点纵坐标是-2，且抛2物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．

解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），

例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与y因此所求函数关系式可看作yax22(a0)，又抛物线经过点（1，1），所以，1a122，解得a3．故所求函数关系式为y3x22．

回顾与反思yax2k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向a0a0对称轴顶点坐标yax2k[当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

111yx2，yx22，yx22．

222观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位

1置．你能说出抛物线yx2k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

212．抛物线yx29的开口，对称轴是，顶点坐标

41是，它可以看作是由抛物线yx2向平移个单位得到的．

43．函数y3x23，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值，最值y=．[本课课外作业]

A组

1111．已知函数yx2，yx23，yx22．

333（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

12x5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．312．不画图象，说出函数yx23的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明

41它是由函数yx2通过怎样的平移得到的．

4（3）试说出函数y3．若二次函数yax22的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？

B组

4．在同一直角坐标系中yax2b与yaxb(a0,b0)的图象的大致位置是()

5．已知二次函数y8x2(k1)xk7，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（3）

[本课知识要点]

会画出ya(xh)2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]

我们已经了解到，函数yax2k的图象，可以由函数yax2的图象上下

11(x2)2的图象，是否也可以由函数yx2平移而得22呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

111yx2，y(x2)2，y(x2)2，并指出它们的开口方向、对称轴和

222平移所得，那么函数y

顶点坐标．解列表．x1yx22-3-2-102121211222392

1125192202y(x2)22822描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x=-2和直线x=2；顶点坐标分别是

（0，0），（-2，0），（2，0）．

1回顾与反思对于抛物线y(x2)2，当x时，函数值y随x的增大

2而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大；当x时，函数取得最值，最值y=．

11探索抛物线y(x2)2和抛物线y1(x2)2分别是由抛物线yx2向

2221左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线y(x4)2，应将抛物线

21yx2作怎样的平移？

212

92112y(x2)2201*25282例2．不画出图象，你能说明抛物线y3x2与y3(x2)2之间的关系吗?解抛物线y3x2的顶点坐标为（0，0）；抛物线y3(x2)2的顶点坐标为（-2，0）．

因此，抛物线y3x2与y3(x2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线x2．抛物线y3(x2)2是由y3x2向左平移2个单位而得的．

回顾与反思ya(xh)2（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：开口方向a0a0对称轴顶点坐标ya(xh)

[当堂课内练习]

21．画图填空：抛物线y(x1)2的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线yx2向平移个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

y2x2，y2(x3)2，y2(x3)2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]

A组

1111．已知函数yx2，y(x1)2，y(x1)2．

222（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；

（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．

12．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线yx2得

211到抛物线y(x1)2和y(x1)2？

223．函数y3(x1)2，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x

时，函数取得最值，最值y=．

4．不画出图象，请你说明抛物线y5x2与y5(x4)2之间的关系．

B组

5．将抛物线yax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点

（1，3），求a的值．[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（4）

[本课知识要点]

1．掌握把抛物线yax2平移至ya(xh)2+k的规律；

2．会画出ya(xh)2+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．[MM及创新思维]

由前面的知识，我们知道，函数y2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y2x22的图象；函数y2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y2(x3)2的图象，那么函数y2x2的图象，如何平移，才能得到函数y2(x3)22的图象呢？

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

111yx2，y(x1)2，y(x1)22，并指出它们的开口方向、对称轴和

222顶点坐标．解列表．

-3-2-10123xyyy12x2922921201*321221232921(x1)2286200-2201(x1)22252

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．

它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．

回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数ya(xh)2+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．

探索你能说出函数ya(xh)2+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．开口方向ya(xh)2+ka0a0对称轴顶点坐标例2．把抛物线yx2bxc向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线yx2，求b、c的值．

分析抛物线yx2的顶点为（0，0），只要求出抛物线yx2bxc的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．

b2b2b2b2c(x)c．解yxbxcxbx442422

b2b22，向上平移2个单位，得到y(x)c24bb222，再向左平移4个单位，得到y(x4)c24bb22)，而抛物线yx2的顶点为（0，0），则其顶点坐标是(4,c24b4022cb204b8解得

c14探索把抛物线yx2bxc向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线yx2，也就意味着把抛物线yx2向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线yx2bxc．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．

[当堂课内练习]

1．将抛物线y2(x4)21如何平移可得到抛物线y2x2（）

A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位

32．把抛物线yx2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物

2线的函数关系式为．

113．抛物线y12xx2可由抛物线yx2向平移个单位，再

22向平移个单位而得到．[本课课外作业]

地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]

例1．通过配方，确定抛物线y2x24x6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解y2x24x6

2(x22x)62(x22x11)62(x1)162

2(x1)28因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：

x-2-101234y2x24x6-1006860-10描点、连线，如图26．2．7所示．

回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．

（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．

探索对于二次函数yax2bxc，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标．例2．已知抛物线yx2(a2)x9的顶点在坐标轴上，求a的值．分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．

a22(a2)2)9解yx(a2)x9(x，242a2(a2)2则抛物线的顶点坐标是,9．

42a20，2解得a2．

当顶点在x轴上时，有(a2)20，当顶点在y轴上时，有94解得a4或a8．

所以，当抛物线yx2(a2)x9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是2，4，8．[当堂课内练习]

1．（1）二次函数yx22x的对称轴是．

（2）二次函数y2x22x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．

（3）抛物线yax24x6的顶点横坐标是-2，则a=．

12．抛物线yax22xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？

3[本课课外作业]

A组

151．已知抛物线yx23x，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的

22图象．

2．利用配方法，把下列函数写成ya(xh)2+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）yx26x1

（2）y2x23x4

（3）yx2nx（4）yx2pxq

3．已知y(k2)xk22k6是二次函数，且当x0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．

B组4．当a0时，求抛物线yx22ax12a2的顶点所在的象限．

5.已知抛物线yx24xh的顶点A在直线y4x1上，求抛物线的顶点坐标．

[本课学习体会]

26．2二次函数的图象与性质（6）

[本课知识要点]

1．会通过配方求出二次函数yax2bxc(a0)的最大或最小值；

2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM及创新思维]

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数y10x2100x201*．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]

例1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x23x5；（2）yx23x4．

分析由于函数y2x23x5和yx23x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．

解（1）二次函数y2x23x5中的二次项系数2＞0，因此抛物线y2x23x5有最低点，即函数有最小值．

349因为y2x23x5=2(x)2，

48349所以当x时，函数y2x23x5有最小值是．

48（2）二次函数yx23x4中的二次项系数-1＜0，因此抛物线yx23x4有最高点，即函数有最大值．

325因为yx23x4=(x)2，

24325所以当x时，函数yx23x4有最大值是．

24回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

探索试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数yx22x3的最大值或最小值．

例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？

分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．

解由表可知x+y=200，

因此，所求的一次函数的关系式为yx200．设每日销售利润为s元，则有

sy(x120)(x160)21600．

因为x201*,x1200，所以120x200．

所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．

回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．

例3．如图26．2．8，在RtABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，

设DE=x，DF=y．

（1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．

解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此

AEACDF8y．

（2）由DE∥BC，得

DEAEx8y，即，BCAC48所以，y82x，x的取值范围是0x4．（3）Sxyx(82x)2x28x2(x2)28，所以，当x=2时，S有最大值8．

[当堂课内练习]

1．对于二次函数yx22xm，当x=时，y有最小值．

2．已知二次函数ya(x1)2b有最小值1，则a与b之间的大小关系是（）

A．a＜bB．a=bC．a＞bD．不能确定

3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]

A组

1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）yx22x；（2）y2x22x1．2．已知二次函数yx26xm的最小值为1，求m的值．，

3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y0.1x22.6x43(0x30)．y值越大，表示接受能力越强．

（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接

受能力逐步降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？

B组

4．不论自变量x取什么数，二次函数y2x26xm的函数值总是正值，求m的取值范围．

5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．

（1）求线段EF的长；

（2）设EG=x，AGE与CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．[本课学习体会]

26.2二次函数的图象与性质（7）

[本课知识要点]

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM及创新思维]

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数ykxb(k0)的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数yk(k0)的关系式时，x通常只需要一个条件：如果要确定二次函数yax2bxc(a0)的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]

例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，

在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是yax2(a0)．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．

解由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），

又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入yax2(a0)，得

2.4a0.82

15．4所以a因此，函数关系式是y152x．4例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．

分析（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为

yax2bxc的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为

ya(x1)23，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为ya(x3)(x5)，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为ya(x3)22，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入ya(x3)22，即可求出a的值．

解（1）设二次函数关系式为yax2bxc，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c=-1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到

ab1ab3解这个方程组，得

a=2，b=-1．

所以，所求二次函数的关系式是y2x22x1．

（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为ya(x1)23，又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到

1a(01)23

解得a4．

所以，所求二次函数的关系式是y4(x1)234x28x1．（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为ya(x3)(x5)．又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到3a(03)(05)．

1．5112所以，所求二次函数的关系式是y(x3)(x5)x2x3．

555（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

解得a（1）一般式：yax2bxc(a0)，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：ya(xh)2k(a0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．

（3）交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)时可利用此式来求．[当堂课内练习]

1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；

（3","p":{"h":18,"w":9,"x":102.996,"y":158.088,"z":34会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．

[MM及创新思维]

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在201*雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？[实践与探索]

例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是

125yx2x，问此运动员把铅球

1233推出多远？

解如图，铅球落在x轴上，则y=0，

125因此，x2x0．

1233解方程，得x110,x22（不合题意，舍去）．

所以，此运动员把铅球推出了10米．

探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外

5一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距

3铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．

例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）

分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．

解（1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．

由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），因此，设抛物线为ya(x1)22.25．

将A（0，1．25）代入上式，得1.25a(01)22.25，解得a1

所以，抛物线的函数关系式为y(x1)22.25．当y=0时，解得x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．

（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y(xh)2k．由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h=-1．6，k=3．7．所以，水流最大高度应达3．7m．[当堂课内练习]

1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？

2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？[本课课外作业]

A组

1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．

根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，

达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

B组

4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．

5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处

2距水面10m，入水处距池边的距离为4m，同时

3运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．

（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入

3水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说

5明理由．

[本课学习体会]

26.3实践与探索（2）

[本课知识要点]

让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．[MM及创新思维]

二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费

为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．[实践与探索]

例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

b24acb2（2）将（1）中所求出的二次函数配方成ya(x)的形式，写

2a4a出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均

获利最多，是多少？

分析若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。

解（1）根据题意，得

y(x30)[602(70x)]500

2x2260x6500(30≤x≤70)。（2）y2x2260x65002(x65)21950。

顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：X（十万元）012y11．51．8（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

解（1）设二次函数关系式为yax2bxc。

c1由表中数据，得abc1.5。

4a2bc1.81a103解得b。

5c1所以所求二次函数关系式为y123xx1。105（2）根据题意，得S10y(32)xx25x10。

565（3）Sx25x10(x)2。

24由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．[当堂课内练习]

1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）

A、5元B、10元C、15元D、20元2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且

x277yx，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出

101010年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？[本课课外作业]

A组

1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），

与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。

（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？

3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

B组

4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能车速不超过140千米/时，对这种汽车进行测试，数据如下表：

刹车时车速（千米/时）0102030405060刹车距离00．31．02．13．65．57．81以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；

2观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；3该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？

[本课学习体会]

26.3实践与探索（3）

[本课知识要点]

（1）会求出二次函数yax2bxc与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数yax2bxc与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．

[MM及创新思维]

给出三个二次函数：（1）yx23x2；（2）yx2x1；（3）

yx22x1．

它们的图象分别为

观察图象与x轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？

另外，能否利用二次函数yax2bxc的图象寻找方程不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)的ax2bxc0(a0)，解？

[实践与探索]

例1．画出函数yx22x3的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x22x30有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？

解图象如图26．3．4，

（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．

（2）当x=-1或x=3时，y=0，x的取值与方程x22x30的解相同．

（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当-1＜x＜3时，y＜0．

回顾与反思（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．

（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．

例2．（1）已知抛物线y2(k1)x24kx2k3，当k=时，抛物线与x轴相交于两点．

（2）已知二次函数y(a1)x22ax3a2的图象的最低点在x轴上，则a=．

（3）已知抛物线yx2(k1)x3k2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且2217，则k的值是．

分析（1）抛物线y2(k1)x24kx2k3与x轴相交于两点，相当于方程

2(k1)x24kx2k30有两个不相等的实数根，即根的判别式＞0．（2）二次函数y(a1)x22ax3a2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程(a1)x22ax3a20的两个实数根相等，即=0．

（3）已知抛物线yx2(k1)x3k2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程x2(k1)x3k20的两个根，又由于2217，以及22()22，利用根与系数的关系即可得到结果．请同学们完成填空．

回顾与反思二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．例3．已知二次函数yx2(m2)xm1，

（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

分析（1）要说明不论m取任何实数，二次函数yx2(m2)xm1的

图象必与x轴有两个交点，只要说明方程x2(m2)xm10有两个不相等的实数根，即＞0．

（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程x2(m2)xm10有两个负实数根，因而必须符合条件①＞0，②x1x20，③x1x20．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．

（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程x2(m2)xm10有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①＞0，②

x1x20．

解（1）=(m2)24(1)(m1)m28，由m20，得m280，所以＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．（2）由x1x2m20，得m2；由x1x2m10，得m1；又由（1），＞0，因此，当m1时，两个交点都在原点的左侧．

（3）由x1x2m20，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．

探索第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数

yx2(m2)xm1是由函数yx2上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．[当堂课内练习]

1．已知二次函数yx23x4的图象如图，则方程x23x40的解是，不等式x23x40的解集是，不等式x23x40的解集是．

2．抛物线y3x22x5与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为．

3．已知方程2x23x50的两根是轴的两个交点间的距离为．

5，-1，则二次函数y2x23x5与x24．函数yax2ax3x1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．

[本课课外作业]

A组

1．已知二次函数yx2x6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．（1）方程x2x60的解是什么？

（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？2．如果二次函数yx26xc的顶点在x轴上，求c的值．

3．不论自变量x取什么数，二次函数y2x26xm的函数值总是正值，求m的取值范围．

4．已知二次函数y2x24x6，

求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；（3）x为何值时，y＞0．

5．你能否画出适当的函数图象，求方程x2x2的解？

B组

6．函数ymx2x2m（m是常数）的图象与x轴的交点有（）

A．0个B．1个C．2个D．1个或2个7．已知二次函数yx2axa2．

（1）说明抛物线yx2axa2与x轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；（3）a取何值时，两点间的距离最小？[本课学习体会]

26.3实践与探索（4）

[本课知识要点]

掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．[MM及创新思维]

上节课的作业第5题：画图求方程x2x2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．

甲：将方程x2x2化为x2x20，画出yx2x2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．

乙：分别画出函数yx2和yx2的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．

你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．[实践与探索]

例1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）x22x30；（2）2x25x20．

分析上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线yx2的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．

解（1）在同一直角坐标系中画出函数yx2和y2x3的图象，如图26．3．5，

得到它们的交点（-3，9）、（1，1），则方程x22x30的解为3，1．

（2）先把方程2x25x20化为

x2

5x10，然后在同一直角2坐标系中画出函数yx2和y5x12的图象，如图26．3．6，

11得到它们的交点（，）、（2，4），

241则方程2x25x20的解为，2．

2回顾与反思一般地，求一元二次方程ax2bxc0(a0)的近似解时，可先将方程ax2bxc0化为x2ybcx0，然后分别画出函数yx2和aabcx的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．aa例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：

13yxy3x6(1)；（2）．222yx2xyx213分析（1）可以通过直接画出函数yx和yx2的图象，得到它们的

22交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．

解（1）在同一直角坐标系中画出函数yx2和

13yx的图象，如图26．3．7，

2239得到它们的交点（，）、（1，1），

42313x1yx2x21,则方程组的解为．22y9y21yx214

（2）在同一直角坐标系中画出函数yx22x和

y3x6的图象，如图26．3．8，

y3x6得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为2yx2xx12x23．,y10y215

探索（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线yx2的图象，请尝试一下．[当堂课内练习]

1．利用函数的图象，求下列方程的解：（1）x2x10（精确到0．1）；（2）3x25x20．

yx22．利用函数的图象，求方程组的解：2yx[本课课外作业]

A组

1．利用函数的图象，求下列方程的解：

321（1）x2x10（2）x2x0

2332．利用函数的图象，求下列方程组的解：

yxyx6（1）；（2）．22y(x1)5yx2xB组

3．如图所示，二次函数y1ax2bxc(a0)与

y2kxb(k0)的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使y1y2成立的x的取值范围。

[本课学习体会]

第二十六章小结与复习

一、本章学习回顾1．知识结构

实二二次函数的图象

际次二次函数的应用问函二次函数的性质题数

2．学习要点

（1）能结合实例说出二次函数的意义。（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。（3）掌握二次函数的平移规律。

（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。3．需要注意的问题

在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。二、本章复习题

A组

一、填空题1．已知函数ymxm2m，当m=时，它是二次函数；当m=时，

抛物线的开口向上；当m=时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．2．抛物线yax2经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为．3．抛物线y(k1)x2k29，开口向下，且经过原点，则k=．4．点A（-2，a）是抛物线yx2上的一点，则a=；A点关于原点的对称点B是；A点关于y轴的对称点C是；其中点B、点C在抛物线yx2上的是．

5．若抛物线yx24xc的顶点在x轴上，则c的值是．

16．把函数yx2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新

6图象的函数关系式为．

7．已知二次函数yx28xm的最小值为1，那么m的值等于．8．二次函数yx22x3的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为．

9．抛物线yx22x1的对称轴是，根据图象可知，当x时，y随x的增大而减小．

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为．

11．若二次函数yx2bxc的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为．

12．抛物线yx22x3的开口方向向，顶点坐标是，对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是，当x=时，y有最值是．

13．抛物线yx2xc与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，若

x1x23，那么c值为，抛物线的对称轴为．14．已知函数y(m1)x22xm24．当m时，函数的图象是直线；

22当m

时，函数的图象是抛物线；当m时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．

15．一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式．二、选择题

16．下列函数中，是二次函数的有（）

1①y12x2②y2③yx(1x)④y(12x)(12x)

x

A、1个B、2个C、3个D、4个17．若二次函数y(m1)x2m22m3的图象经过原点，则m的值必为（）

A、-1或3B、-1C、3D、无法确定18．二次函数

yx22(m1)x4m的图象与x轴

（）

A、没有交点B、只有一个交点C、只有两个交点D、至少有一个交点

19．二次函数yx22x2有（）

A、最大值1B、最大值2C、最小值1D、最小值2

120．在同一坐标系中，作函数y3x2，y3x2，yx2的图象，它们的共

3同特点是

（D）

A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下

C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点

21．已知二次函数ykx27x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是

（）

77A、KB、K且k0

4477C、KD、K且k0

441122．二次函数y(x1)22的图象可由yx2的图象

22（）

A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，

每床每晚应提高（）

A、4元或6元B、4元C、6元D、8元

24．若抛物线yax2bxc的所有点都在x轴下方，则必有（）

A、a0,b24ac0B、a0,b24ac0C、a0,b24ac0D、a0,b24ac0

25．抛物线y2x24x1的顶点关于原点对称的点的坐标是（）

A、（-1，3）B、（-1，-3）C、（1，3）","p":{"h":19.3一、选择题

32．若所求的二次函数的图象与抛物线y2x24x1有相同的顶点，并且在

对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为（D）

A、yx22x4B、yax22axa3(a0)C、y2x24x5D、yax22axa3(a0)33．二次函数yax2bxc(a0)，当x=1时，函数y有最大值，设(x1,y1)，

（x2,y2)是这个函数图象上的两点，且1x1x2，则（）

A、a0,y1y2B、a0,y1y2C、a0,y1y2D、a0,y1y2

xa3134．若关于x的不等式组无解，则二次函数y(2a)x2x的

4x155a图象与x

（）

A、没有交点B、相交于两点

C、相交于一点D、相交于一点或没有交点二、解答题

35．若抛物线y2xm4m3(m5)的顶点在x轴的下方，求m的值．36．把抛物线yx2mxn的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是yx22x2，求m、n．

137．如图，已知抛物线yx2(5m2)xm3，与

2x轴交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，（1）求m的值；

（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．

44

2轴38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．

C组

解答题

39．如图，已知二次函数yx2mxn，当x=3时，

有最大值4．

（1）求m、n的值；

（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，求A、B点的坐标；

（3）当y＜0时，求x的取值范围；

（4）有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，求C点坐标．

40．阅读下面的文字后，解答问题．

2

有这样一道题目：“已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A(0,a)、

B(1,-2)、、，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程，若不能请说明理由；

（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．

41．已知开口向下的抛物线yax2bxc与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜x2，P为顶点，∠APB=90°，若x1、x2是方程

x22(m2)xm2210的两个根，且x1x226．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的函数关系式．

42．已知二次函数yx2(m2)x3(m1)的图象如图所示．

（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）求m的取值范围；

45

（3）在（2）的情况下，若OAOB6，求C点坐标；（4）求A、B两点间的距离；（5）求ABC的面积S．

第二十六章自我检测题（时间45分钟，满分100分）

一、精心选一选（每题4分，共20分）1

．抛物线

yx24的顶点坐标是

（）

A、（2，0）B、（-2，0）C、（1，-3）D、（0，-4）

2．若（2，5）、（4，5）是抛物线yax2bxc上的两个点，则它的对称轴是（）

bA、xB、x1C、x2D、x3

aa3．已知反比例函数y(a0)，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数

xyax2a的图象经过的象限是

（）

A、第三、四象限B、第一、二象限C、第二、三、四象限D、第一、二、三象限

4．抛物线yax2bxc与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状

与抛物线y2x2相同，则yax2bxc的函数关系式为（）

A、y2x2x3B、y2x24x5C、y2x24x8D、y2x24x6

5．把抛物线yx2bxc向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物（）

46线

yx22x1，则A、b=2，c=-2B、b=-6，c=6C、b=-8，c=14D、b=-8，c=18

二、细心填一填（每空3分，共45分）6．若y(2m)xm22是二次函数，则m=。

7．二次函数yx22x的开口，对称轴是。

123xx的最低点坐标是，当x时，y随22x的增大而增大。

8．抛物线y9．已知二次函数yax22的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为，它与x轴的交点的个数为个。

10．若y与x2成正比例，当x=2时，y=4，那么当x=-3时，y的值为。11．抛物线yx23x4与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是。

12．有一长方形条幅，长为am，宽为bm，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为，自变量x的取值范围为。

13．抛物线yax2与直线y3xb只有一个公共点，则b=。14．已知抛物线yax2xc与x轴交点的横坐标为1，则ac=。15．已知点A（1，4）和B（2，2），试写出过A、B两点的二次函数的关系式（任写两个）

、。三、认真答一答（第17题8分，其余各9分）

16．已知二次函数yx2bx1的图象经过点（3，2）。（1）求这个二次函数的关系式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。

17．根据下列条件，求二次函数的关系式：

（1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；

（2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。

18．已知抛物线yax24axt与x轴的一个交点为A（-1，0）。

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。

19．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元。

（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式；

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？

相似形图形的相似

教学目标

通过一些相似的实例，让生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，理解相似图形的概念．能通过观察识别出相似的图形．能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图形．

在获得知识的过程中培养学习的自信心．教学重点

引导学生通过观察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力．教学难点

理解相似图形的概念．教学过程

41.2.一、观察课本第42页图24.1.1、图2，每组图形中的两图之间有什么关系？

二、归纳：

每组图形中的两个图形形状相同，大小不同．具有相同形状的图形叫相似图形．师可结合实例说明：

⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关．⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形．三、你还见过哪些相似的图形？请举出一些例子与同学们交流．

四、观察课本第43页图24.1.3中的三组图形，它们是否相似形？为什么？五、想一想：

放大镜下的图形与原来的图形相似吗？

放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系？可让学生动手实验，然后讨论得出结论．

六、观察课本第43页图24.1.4中的三组图形，它们是否相似形？为什么？让学生通过比较图24.1.3与图24.1.4，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点．

七、课本第43页“试一试”．

让生各自独立完成作图，再展示评析．八、巩固：

⒈课本第43页练习．

⒉课本第44页习题24.1．

对于第2题，学生的判断是对相似图形的一种直观认识，最好让学生充分交流彼此的看法．九、小结：

你通过这节课的学习，有哪些收获？

十、作业：略．

相似三角形

教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质教学重点：相似三角形的判定与性质教学过程：一知识要点：

1、相似形、成比例线段、黄金分割

相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。特例：全等形。相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线

ac段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那

bd么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

黄金分割：将一条线段分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0618。这种分割称为黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。例1：（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？（2）哈哈镜中的形象与你本人相似吗？

（3）你能举出生活中的一些相似形的例子吗/例2：判断下列各组长度的线段是否成比例：

（1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米

（2）15厘米，25厘米，45厘米，65厘米（3）11厘米，22厘米，33厘米，44厘米（4）1厘米，2厘米，2厘米，4厘米。

例3：某人下身长90厘米，上身长70厘米，要使整个人看上去成黄金分割，需穿多高的高跟鞋？

例4：等腰三角形都相似吗？

矩形都相似吗？正方形都相似吗？2、相似形三角形的判断：a两角对应相等

b两边对应成比例且夹角相等c三边对应成比例

3、相似形三角形的性质：

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