高中数学理科100个知识点总结

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高中数学理科100个知识点总结

学业水平测试回扣提纲

一、集合

1.区分集合中元素的形式：如：x|ylgx函数的定义域；y|ylgx函数的值域；

(x,y)|ylgx函数图象上的点集，如（1）设集合M{x|yx3}，集合N＝

y|yx21,xM，则MN___（答：[1,)）；（2）设2.条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A的情况

如：A{x|ax22x10}，如果AR，求a的取值。（答：a≤0）

3．AB{x|xA且xB};AB{x|xA或xB}CUA={x|x∈U但xA};ABxA则xB;真子集怎定义？含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足

{1,2}M{1,2,3,集合4,M有______个。（答：7）4.CU(A∩B)=CUA∪CUB;CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=?A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U

5.集合中元素的互异性------注意检验重复元素.6.集合的交并补运算-----注意利用数轴及韦恩图.二、函数

m7.指数式、对数式：annam，amn1，a01，loga10，logaa1，lg2lg51，amnabNlog1,N0)，alogaNN.如(12)log28的值为__(1aNb(a0,a64).

8.换底公式的正用及逆用

9.二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式f(x)=a(x-h)2

+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);②b=0时是偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;如：若函数y122x2x4的定义域、

值域都是闭区间[2,2b]，则b＝（2）.

④实根分布:先画图再研究△、轴与区间关系、区间端点函数值符号,特别注意等号.两根分别分布在一个区间时，只需看特殊值.如：方程x2(m2)x5m0的两根都大于2，则m的取值范围（(5,4]）.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在（-2，0）内，另一个根在（1，3）内，则a的取值范围是12,010.①反比例函数:yccx(x0)平移yaxb中心为(b,a));②函数yxax是奇函数，a0时，在区间,0,0,上是增函数；a0时，在0,a,a,0上递减，

,a,a,上递增.

11.单调性①定义法;②图像判定.作用:比较大小；解证不等式；如函数

ylog1x22x的单调递增区间是_____(答：（1,2）)；

2函数单调性与奇偶性逆用了吗?如已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若

f(m1)f(2m1)0，求实数m的取值范围。（答：122m3）；③复合函数

由同增异减判定④抽象函数单调性只能用定义；

12.奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|)或fxfx0;f(x)是奇函数f(-x)=-f(x)或fxfx0;定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对

称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件；f00是fxxR为奇函数的必要而不充分的条件；f00是fxAsinx的充要条件.

13.周期性:由周期函数的定义“函数f(x)满足fxfax(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：①函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；②若

f(xa)1f(x)(a0)恒成立，

则T2a；③若f(xa)1f(x)(a0)恒成立，则T2a.如(1)设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则

f(47.5)等于__(0.5)；(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在[3,2]上

是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f(sin),f(cos)的大小关系为(f(sin)f(cos))；(3)已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程

f(x)0在[2,2]上至少有__________个实数根（答：5）

14.常见的图象变换

①函数yfxa的图象是把函数yfx的图象沿x轴向左(a0)或向右(a0)平移a个单位得到的。如要得到ylg(3x)的图像，只需作ylgx关于__轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y；右)；（3）函数f(x)xlg(x2)1的图象与x轴的交点个数有个(2).

②函数yfx+a的图象是把函数yfx助图象沿y轴向上(a0)或向下(a0)平移a个单位得到的；

③函数yfax(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴伸缩为原来的

1a得到的。如（1）将函数yf(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的13（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：y=f(3x6))；（2）如若函数

yf(2x1)是偶函数，则函数yf(2x)的对称轴方程是_______(答：x12)．

④函数yafx(a0)的图象是把函数yfx的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.⑤函数fx按向量m,n得到的解析式为yfxmn.

15.函数的对称性。

①满足条件fxafbx的函数的图象关于直线xab2对称。如已知二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程f(x)x有等根，则f(x)＝

_____(

答：12x2x)；

②点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于y轴的对称曲线方程为yfx；

③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为yfx；

④点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程yfx；

⑤点(x,y)关于直线yxa的对称点为((ya),xa)；

⑥曲线f(x,y)0关于直线yxa的对称曲线的方程为f((ya),xa)0。特别地，点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)0；点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线

yx的对称曲线的方程为f(y,x)0。

若f(a－x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=ab2对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=

ba2对称。⑦曲线f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2ax,2by)0。如若函数

yx2x与yg(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：x27x6）

⑧形如yaxcxdb(c0,adbc)的图像是双曲线，对称中心是点(dc,ac)。

⑨|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（1）作出函数y|log2(x1)|及ylog2|x1|的图象；

16.求解抽象函数问题的常用方法是：借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：f(x)kx(k0)---------------f(xy)f(x)f(y)；

②幂函数型：f(x)x2--------------f(xy)f(x)f(y)，f(xf(x)y)f(y)；③指数函数型：f(x)ax----------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)；

④对数函数型：f(x)logx)f(y)，f(xax---f(xy)f(y)f(x)f(y)；

⑤三角函数型：f(x)tanx-----f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)；

fxsinxfxfyf2x2fyfxy.17.求解分段函数问题的常用方法是：先分后合，即先研究各段，在总起来考虑;注意作图象.18.幂、指、对、函数的图像及性质？特别是过定点问题.如（1）ya2x1a0,a1的图

象过定点.12,12x1（2）y1logaa0,a1的图象过定点.1,119.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②互为反函数的两函数具相同单调性;③原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域;④图像关于直线yx对称，

x,yy,x.如：已知函数yf(x)的图象过点(1,1),那么f4x的反函数的图象一定经

过点___（答：（1,3））；20.题型方法总结:

Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同;

Ⅱ求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法——已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：

f(x)ax2bxc；顶点式：f(x)a(xm)2n；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)）.如

已知f(x)为二次函数，且f(x2)f(x2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式.（答：f(x)12x22x1）（2）代换（配凑）法——已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。如（1）已知

f(1cosx)sin2x,求fx2的解析式（答：f(x2)x42x2,x[2,2]）；（2）若

f(x1x)x21x2，则函数f(x1)=_____（答：x22x3）

；（3）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x(0,)时，f(x)x(13x)，那么当x(,0)时，f(x)=________

（答：x(13x)）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是

g(x)的值域。

（3）方程(组)的思想——对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程

组。如（1）已知f(x)2f(x)3x2，求f(x)的解析式（答：f(x)3x23）；（2）已

知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1xx1,则f(x)=（答：x21）。

Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的

底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；

如：若函数yf(x)的定义域为12,2，则f(lo2gx)的定义域为_______（答：x|2x4）

；若函数f(x21)的定义域为[2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．

Ⅳ求值域:①配方法：如：求函数yx22x5,x[1,2]的值域（答：[4,8]）；

②换元法：如（1）y2sin2x3cosx1的值域为_____（答：[4,178]）；（2）y2x1x1的值域为_____（答：3,）（令x1t，t0。运用换元法时，要特

别要注意新元t的范围）；

③不等式法——利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函数的最值。

Ⅵ恒成立问题:①分离参数转化为最值问题;a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;②数形结合.

21.利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的

奇偶性是______（答：偶函数）；（3）设f(x)的定义域为R，对任意x,yR，都有

f(xy)f(x)f(y，且)x1时，f(x)0，又f(12)1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)f(5x)2.（答：0,14,5）．

三、数列22.a(n1)n={

S1S的公式中,s00则一定可以合并.

nSn1(n2,nN*)注意验证a1是否包含在an23.｛an｝等差anan1d(常数)2anan1an1(n2,nN*)

ananb(一次)snAn2Bna;b,A,B,

?｛aa2nan-1an1(n2,nN)n}等比anq0an2n0an13

如若{an}是等比数列，且Sn3nr，则r＝（答：－1）

24.首项为正的递减(或首项为负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式

an0a(或an0a),或用二次函数处理;求一般数列中的最大或最小项常用nn1an1

0an10ana或研究数列

n1的单调性.如（1）等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大

值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

25.等差数列中anmd;Sn(n1)n=a1+(n-1)d=an=nan(am1an)12d=

2等比数列中an-1

n=a1q=anm;当q=1,San=na1当q≠1,Sn=1(1qn)a1anqmq1q=1q

26.常用性质：等差数列中,an=am+(n－m)d,damanmn;当m+n=p+q,m,n,p,qN,则am+an=ap+aq；

等比数列中，an-m

n=amq;当m+n=p+q，m,n,p,qN，则aman=apaq.

如（1）在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10（答：10）.

27.常见数列：{an}等差,则can(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c1)等差。

28.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;等比三数可设a/q,a,aq；

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）设x,y,12y,16x好求.

29.等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍为等差数列。

等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍为等比数列。如：公比为-1时，S4、S8-S4、S12-S8、不成等比数列

30.等差数列{an},项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an;等比数列项数为2n时，则

S偶Sq;项数为奇数2n1时，S奇a1qS偶.

奇31.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键分析通项结构.

分组法求数列的和：如an=2n+3n、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n、裂项法求和：如

11112n12123123n（答：n1）、倒序相加法求和：如已知f(x)x21111x2，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(2)f(3)f(4)＝___（答：72）

aS1(n1)n32.求通项常法:（1）已知数列的前n项和sn,求通项an，可利用公式:SnSn1(n2)

如：（1）数列{a1n}满足

2a1114,n1122a22nan2n5，求an（答：an2n1,n2）（2）已知S24,n12nn2n1，则an=n（3）已知2n1,；

Snn2n，则an=22n1（2）先猜后证（3）递推式为an＋1＝an＋f(n)(采用累加法)；an＋1＝an×f(n)(采用累积法)；如已知数列{an}满足a11，ana1n1n1n(n2)，则an=___（答：

ann12）1.

（4）构造法形如annkan1b、ankan1k（k,b为常数）的递推数列如①已知

a11,an3an12，求an1n（答：an231）；

（5）倒数法形如aan1nka的递推数列都可以用倒数法求通项。

n1b如①已知aan111,an3a，求a1n（答：ann2）；

n113四、三角函数

33.终边相同(β=2kπ+α);弧长公式：l||R，扇形面积公式：S12lR12||R2，1弧度

(1rad)57.3.如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积（2cm2）

34.函数y=Asin(x)b（0,A0）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=

2,频率?;φ=kπ+2时偶函数.③对称轴处y取最值.如（1）函数ysin522x的奇偶性是______（答：

偶函数）；（2）已知函数f(x)axbsin3x1(a,b为常数），且f(5)7，则f(5)______（答：－5）；（3）函数y2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：(kk28,1)(kZ)、x28(kZ)）；（4）已知f(x)sin(3x)为偶函数，求cos(x的值。)（答：k6(kZ)）

④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;

ysinx左或右平移||ysin(x)横坐标伸缩到原来的1倍ysin(x)

ysinx横坐标伸缩到原来的1倍ysinx左或右平移||ysin(x)

纵坐标伸缩到原来的A倍yAsin(x)上或下平移|b|yAsin(x)b

35.正弦定理:2R=

asinA=bsinB=csinC;2余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,cosAbc2a21112bc;S2absinC2bcsinA2casinB

术语:坡度、仰角、俯角、方位角.

36.同角基本关系：如：已知

tansintan11，则

3cossincos＝____；sin2sincos2＝_________（答：5133；5）；

37.诱导公式简记:奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．．为锐角．．．)．38.重要公式：

sin21cos2;cos21cos2．tan1cossin1cos2;1sin(cossin2)2cos221cos1cossin22sin2如：函数f(x)5sinxcosx53cos2x523(xR)的单调递增区间为___________（答：[k,k51212](kZ)）

巧变角：如()()，2()()，

2()()，22，222等）

，如（1）已知tan()2135，tan(4)4，那么tan(4)的值是_____（答：

22）；39.辅助角公式中辅助角的确定：asinxbcosxa2b2sinx(其中tanba)

五、平面向量

40.向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。)、共线向量、相等向量

41.加、减法的平行四边形与三角形法则:ABBCAC;ABACCB42.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：

①abab0；

②当a，b同向时，ab＝ab，特别地，a2aaa2,aa2；当a与b反向时，

ab＝－ab；当为锐角时，ab＞0，且a、b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab＜0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件；

③|ab||a||b|,2).如已知a(,2)，b(3，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围

是______（答：43或0且13）；

43.向量b在a方向上的投影bcos＝aba

44.e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a1e12e2(1,2唯一)

特别：.OP＝OA12OB则121是三点P、A、B共线的充要条件.如平面直角坐标系

中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中

1,2R且121,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）

45.点P(x,y)按a(h,k)平移得P(x,y),则PP＝a或xxhyk函数yf(x)按a(h,k)平移

y得函数方程为：ykf(xh)如（1）按向量a把(2,3)平移到(1,2)，则按向量a把点(7,2)平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________（答：(4,1)）

六、不等式

46.注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：①若ab>0，a

接球直径=体对角线长;常见几何体及组合体的三视图？多面体的表面积体积？八、解析几何

53.倾斜角α∈0,,α=900

斜率不存在;斜率k=tanα=

y2y1x2x154.直线方程:点斜式y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b;一般式:Ax+By+C=0两点式:yy1xx1yyx;21x21截距式:

xayb1(a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为a=(B,-A)

55.两直线平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2k1k2=-1

②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2A1A2+B1B2=0；

l1//l2A1B2A2B1,AC12A2C1.

④l1∥l2则化x、y同系数后距离d=

|C1C2|;点线距d=|Ax0By0C|;

A2B2A2B256.圆:标准方程(x－a)2

+(y－b)2

=r2

;一般方程:x2

+y2

+Dx+Ey+F=0(D2

+E2

-4F>0).

57.若(x-a)2+(y22(=r2,>r2),则P(x222

00-b)r相离;d=r相切;dr+R两圆相离;d＝r+R两圆相外切;|R－r|

扩展阅读：201*年高中新课标理科数学所有知识点总结

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法

N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义(1)AAA中的任一元素都属于B(2)性质示意图AB子集（或BA)ABA(3)若AB且BC，则AC(4)若AB且BA，则AB（1）A（A为非空子集）A(B)BA或真子集（或BA）AB，且B中至少有一元素不属于ABA(2)若AB且BC，则AC集合相等A中的任一元素都属AB于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BAA(B)（7）已知集合空真子集.

A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2非

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB{x|xA,且xB}AAA（2）A（3）ABAABB（1）1

AB并集AB{x|xA,或xB}AAA（2）AA（3）ABAABB（1）1A(2A(UA)UUA)AB补集UA{x|xU,且xA}痧U(AB)(UA)(UB)痧U(AB)(UA)(UB)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

不等式解集|x|a(a0){x|axa}|x|a(a0)把x|xa或xa}axb看成一个整体，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法

判别式b24ac二次函数000yax2bxc(a0)的图象O一元二次方程ax2bxc0(a0)的根bb24acx1,22a（其中x1x1x2b2a无实根x2){x|xax2bxc0(a0)的解集{x|xx1或xx2}b}2aRax2bxc0(a0)的解集{x|x1xx2}〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设

A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合

A中任何一个数x，在集合B中都有唯一

）叫做集合

确定的数

f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f2

A到B的一

个函数，记作

f:AB．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法

①设a,b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足axb的

实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a别记做

，(a,b][ab,)；满足

xb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分

实b数

xa,x,ax,b的xx的集合分别记做

[a,)a,(,注意：对于集合{x|a)b,(,．bxb}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须

ab．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①②③

f(x)是整式时，定义域是全体实数．

f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤

ytanx中，xk2(kZ)．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若

f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交

集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知由不等式af(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应

g(x)b解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数

yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0，则

在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有b2(y)4a(y)c(y)0，从而确定函数的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最

值问题．

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．

【1.2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图

象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念

①设

A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合

A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素

）叫做集合

和它对应，那么这样的对应（包括集合

A，B以及A到B的对应法则fA到B的映射，记作

f:AB．

②给定一个集合

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

函数的性质定义如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x

③对于复合函数

yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若

则yf[g(x)]为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则yf[g(x)]yf(u)为减，ug(x)为减，为减；若

yf(u)为减，ug(x)为增，则yf[g(x)]为减．

y（2）打“√”函数

f(x)xa(a0)的图象与性质xf(x)分别在(,a]、[a,)上为增函数，分别在[a,0)、(0,a]上为减函数．

（3）最大（小）值定义①一般地，设函数

都有

oxyf(x)的定义域为I；

，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，f(x)M（2）存在x0I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)M．

②一般地，设函数

yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；

（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmax(x)m．

【1.3.2】奇偶性

（4）函数的奇偶性

①定义及判定方法

函数的性质定义如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函数f(x)叫做奇函．．．．．．数．．函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数

图象判定方法（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．

③奇函数在

y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换

h0,左移h个单位k0,上移k个单位yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)k

h0,右移|h|个单位k0,下移|k|个单位②伸缩变换

01,伸yf(x)yf(x)

1,缩0A1,缩yf(x)yAf(x)

A1,伸③对称变换

y轴x轴yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)

直线yx原点yf(x)yf(x)yf(x)yf1(x)去掉y轴左边图象yf(x)yf(|x|)

保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象yf(x)y|f(x)|

将x轴下方图象翻折上去（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结

果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

第二章基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果x根用符号nna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方

a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0

的n次方根是0；负数a没有n次方根．

②式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，

a0．

③根式的性质：(na(a0)．a)na；当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a(a0)6

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于0．

mn②正数的负分数指数幂的意义是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数指数

aa幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

函数名称定义函数指数函数yax(a0且a1)叫做指数函数0a1yaxa1y图象yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定义域值域xR(0,)Ox过定点奇偶性单调性图象过定点(0,1)，即当x0时，y1．在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数ax1(x0)函数值的变化情况ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a变化对图象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N

叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xloga（2）几个重要的对数恒等式

NaxN(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10（4）对数的运算性质如果a①加法：logaN；自然对数：lnN，即loge．N（其中e2.71828）

0,a1,M0,N0，那么

MlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

③数乘：nloga⑤logabMnnlogbNlogaM(b0,nR)⑥换底公式：logaN(b0,且b1)blogba【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数0a11xa1y图象x1ylogaxyylogax(1,0)O(1,0)xOx定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响(6)反函数的概念

设函数

在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在

C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质①原函数

②函数

yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．

③若P(a,b)在原函数④一般地，函数

yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义一般地，函数

yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于

y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一

象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

qp（其中

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpp,q互质，p和

，若p为奇数q为奇数时，则yxqZ）数q为奇数时，则

是奇函数，若

p为奇数q为偶数时，则yxqp是偶函数，若

p为偶

yxqp是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数象在直线

yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图

yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)③两根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求

（3）二次函数图象的性质①二次函数

f(x)更方便．

f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,顶点坐标是2ab4acb2(,)．

2a4a②当a0时，抛物线开口向上，函数在(,；当abbb]上递减，在[,)上递增，当x2a2a2a时，

4acb2fmin(x)4a0时，抛物线开口向下，函数在(,bb]上递增，在[,)上递减，当2a2a4acb2bx时，fmax(x)2a4a③二次函数

．

f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|（4）一元二次方程ax2．|a|bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)ax2bxc，从以下四

b2ab2a③判别式：④端点函数值符号．

个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：x①k＜x1≤x2

yf(k)0ya0xOkx1x②x1≤x2＜k

kx2b2aOxx1x2xa0

f(k)0

ya0Oyf(k)0xOb2ax1x2kxb2akx2x1a0

xxf(k)0

③x1＜k＜x2af(k)＜0

ya0yf(k)0x2xa0Okx1x2xx1Okf(k)0

④k1＜x1≤x2＜k2

ya0yxf(k1)0f(k)02x1x2k2xOb2aOk1k1x1x2k2xbx2af(k1)0a0f(k2)0⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

ya0yf(k1)0f(k1)0x1k2Ok1x2xOx1k1a0x2k2xf(k2)0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数设

f(k2)0

f(x)ax2bxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值

1(pq)．2f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0（Ⅰ）当a0时（开口向上）

①若

bbbbp，则mf(p)②若pq，则mf()③若q，则mf(q)2a2a2a2af(q)Of(p)x

Of(b)2af(q)x

f(p)Ofbf((p))2ax

b)2aff((q)bbx0，则Mf(q)②x0，则Mf(p)①若2a2a(Ⅱ)当a①若

①若

ff(p)x0x

OOx(q)0fx

b)2aff((q)0时(开口向下)

bf((p))2abbbbp，则Mf(p)②若pq，则Mf()③若q，则Mf(q)2a2a2a2abf()2af(p)Of(p)x

Obf()2af(fb)2a(q)x

Oxf

(q)

(p)fbbx0，则mf(q)②x0，则mf(p)．2a2af(b)2af(p)Off(b)2a(q)x0f

(q)

x0f(p)Ox

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数

第三章函数的应用

yf(x)(xD)13

，把使

f(x)0成立的实数

x叫做函数

yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数交点的横坐标。即：方程

yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴

f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法：

yf(x)的零点：

1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

求函数

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数○

找出零点．

4、二次函数的零点：

yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质

yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零

二次函数点．

２）△＝０，方程axbxc数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程ax220有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函

bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

高中数学必修2知识点

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

1.2空间几何体的三视图和直观图

1三视图：

正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3空间几何体的表面积与体积

（一）空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2圆柱的表面积Srl2r23圆锥的表面积S24圆台的表面积Srlr2

rlr2RlR25球的表面积S4R2

（二）空间几何体的体积

1VS底h2锥体的体积VS底h

313台体的体积V（S上S上S下S下)h4球体的体积D

343αVR3A

第二章直线与平面的位置关系

1柱体的体积

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为

A∈L

B∈L=>LαA∈αB∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

Aα

αC

βLPα2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥bc∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：

①a"与b"所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；

)；②两条异面直线所成的角θ∈(0，2③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

=>a∥c

2.1.32.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内有无数个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：

aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

aβbβ

a∩b=Pβ∥αa∥αb∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.32.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：

a∥α

aβa∥bα∩β=b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：

α∥β

α∩γ=aa∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

Lpα

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

梭lβ

Bα

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.32.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直

线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.

2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.

由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，

即

注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

3.2.1直线的点斜式方程

1、直线的点斜式方程：直线l经过点P(x0,y0)，且斜率为k02、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与

yy0k(xx0)

y轴的交点为(0,b)ykxb

3.2.2直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点P其中(x11(x1,x2),P2(x2,y2)2、直线的截距式方程：已知直线l与

x2,y1y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0

AxByC0（A，B不同时为0）

3.2.3直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式

3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标

L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程组

3x4y20得x=-2，y=22x2y201*

所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）

3.3.23.3.3

两点间距离

点到直线的距离公式

两点间的距离公式1．点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：dAx0By0CAB22

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平

PP12x2x2y2y122行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

l2AxByC20，则l1与l2的距离为d第四章

4.1.1圆的标准方程

1、圆的标准方程：(xa)2C1C2AB22

圆与方程

(yb)2r2

圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程

2、点M(x0,y0)与圆(xa)（1）(x0（3）(x02(yb)2r2的关系的判断方法：

a)2(y0b)2>r2，点在圆外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上a)2(y0b)2（3）当dr时，直线l与圆C相交；

4.2.2圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当lr1r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当lr1r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1r2|lr1r2时，圆C1与圆C2相交；

（4）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；

4.2.3直线与圆的方程的应用

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

RMOPQM"y4.3.1空间直角坐标系

1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标

2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点

x3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标，坐标。

y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖

z4.3.2空间两点间的距离公式

1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式

P1P2P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)

222N1xOM1MM2HN2yN高中数学必修3知识点

第一章算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.算法的特点:

(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

1.1.2程序框图

1、程序框图基本概念：

（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（二）构成程序框的图形符号及其作用

程序框起止框输入、输出框处理框判断框“Y”；不成立时标明“否”或“N”。写在不同的用以处理数据的处理框内。判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或要输入、输出的位置。赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需名称功能表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：

1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个

进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。2、条件结构：

条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

当型循环结构直到型循环结构

ABAP不成立成立成立AP不成立注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

1.2.1输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句

（1）输入语句的一般格式

INPUT“提示内容”；变量图形计算器格式INPUT“提示内容”，变量（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。2、输出语句

（1）输出语句的一般格式

PRINT“提示内容”；表达式图形计算器格式Disp“提示内容”，变量（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。3、赋值语句

（1）赋值语句的一般格式

（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。

注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。1．2．2条件语句

1、条件语句的一般格式有两种：（1）IFTHENELSE语句；（2）IFTHEN语句。2、IFTHENELSE语句IFTHENELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。

变量＝表达式图形计算器格式表达式变量IF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIF满足条件？是语句123否

语句图1图2

分析：在IFTHENELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。3、IFTHEN语句

IFTHEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。

IF条件THEN语句ENDIF（图3）

是满足条件？否语句

注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；ENDIF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。

（图4）1．2．3循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。1、WHILE语句

（1）WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是

循环体WHILE条件循环体WEND满足条件？否是（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。2、UNTIL语句

（1）UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是

DO循环体LOOPUNTIL条件循环体满足条件？是否（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；

在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商≠0，则用除数n除以余数则用除数

S0和一个余数R0；RR（2）：若0＝0，则n为m，n的最大公约数；若0R0得到一个商S1和一个余数R1；RRR（3）：若1＝0，则1为m，n的最大公约数；若1≠0，

R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；依次计算直至Rn＝0，此时所得到的Rn1即为所

求的最大公约数。2、更相减损术

我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

例2用更相减损术求98与63的最大公约数.分析：（略）

3、辗转相除法与更相减损术的区别：

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

1.3.2秦九韶算法与排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）2、冒泡排序

基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3进位制

1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数

第二章统计

2.1.1简单随机抽样

1．总体和样本

在统计学中,把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．

为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，

研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．

2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随

机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。3．简单随机抽样常用的方法：

（1）抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

4．抽签法:

（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；（2）准备抽签的工具，实施抽签

（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查

例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5．随机数表法：

例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。

2.1.2系统抽样

1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：

把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）

前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。

2.1.3分层抽样

1．分层抽样（类型抽样）：

先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。

两种方法：

1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。

2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。

2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。

分层标准：

（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。

（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3．分层的比例问题：

（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。

（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

1、本均值：xx1x2xnn2

(x1x)2(x2x)2(xnx)22、．样本标准差：ssn

3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。

虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。

4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间(x3s,x3s)的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理

2.3.2两个变量的线性相关

1、概念:

（1）回归直线方程（2）回归系数2．最小二乘法

3．直线回归方程的应用

（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系

（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可

得到个体Y值的容许区间。

（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空

气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。4．应用直线回归的注意事项

（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；（3）回归直线不要外延。

第三章概率

3.1.13.1.2随机事件的概率及概率的意义

1、基本概念：

（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；

（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；

（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA

nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=n为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次

数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。

nA（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n，它具有一定的

稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率

3.1.3概率的基本性质

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；

（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；

（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性质：

1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不

同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.13.2.2古典概型及随机数的产生

1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；

②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=

A包含的基本事件数总的基本事件个数

3.3.13.3.2几何概型及均匀随机数的产生

1、基本概念：

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：

构成事件A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积）P（A）=试验的全部结果所构成；

（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相

等．

高中数学必修4知识点

第一章三角函数

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

k360k36090,k

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k第四象限角的集合为k360270k360360,k终边在x轴上的角的集合为k180,k

第一象限角的集合为

终边在

y轴上的角的集合为k18090,k

k90,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k

终边在坐标轴上的角的集合为

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是

lr．

1806、弧度制与角度制的换算公式：2360，1，157.3．1807、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，C2rl，

x,y，它与原点的距离是rr11Slrr2．

228、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是则sinx2y20yPTOMA，

yxy，cos，tanx0．rrx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin11

、角

，cos，tan．

角函数

2x三的基本关系：；1sin2cos212sintancossin1cos2,cos21sin2sinsintancos,cos．

tan12、函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos，cossin．6sincos，cossin．2222口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．13、①的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1倍（纵坐标不变），得到函数

ysinx的图象；再将函数

（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysinxysinx的图象上所有点的纵坐标伸长的图象．

②数

ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

ysinx1倍（纵坐标不变），得到函数

ysinx的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数

ysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐

标不变），得到函数14、函数

ysinx的图象．

ysinx0,0的性质：

2①振幅：；②周期：函数

；③频率：

f12；④相位：x；⑤初相：．

；当

ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin1ymaxy2xx2时，取得最大值为ymax，则

ymaxymin，min，12x2x1x1x2．215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

性质函数ysinxycosxytanx图象定义域RRxxk,k2R值域1,1当1,1当x2kx2k2k时，2k时，既无最大值也无最小值最值ymax1；当x2kymax1；当x2kk时，ymin1．周期性奇偶性k时，ymin1．22奇函数奇函数偶函数在2k,2k22在k上是增函数；在单调性2k,2kk上是2k,2k在k增函数；在2,k232k,2k22k上是减函数．k上是增函数．k上是减函数．对称中心对称性对称轴xk,0kk2对称中心k对称轴xkk,0k2对称中心无对称轴k,0k2k第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：

三角形法则的特点：首尾相连．平行四边形法则的特点：共起点．三角形不等式：

ababab．

运算性质：①交换律：abba；

②结合律：

abcabc；③a00aa．

坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．

18、向量减法运算：

三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2．设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2．

19、向量数乘运算：

实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①

abCC

aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0．

运算律：①aa；②aaa；③abab．

坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y．

20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bb0共线．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有

一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时，

点的坐标是x1x2y1y2时，就为中点公式。）（当1,．

1123、平面向量的数量积：

ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．

；当a与b反向时，

性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，abababab22；aaaa或aaa．③

abab．

运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2．

若

ax,y，则

2ax2y21，或

ax2y2．设

ax1,y1，

bx2,y2，则

ab1x2xa．y20y，

设、b都是非零向量，ax1,y1x1x2y1y2abcos．

2222abx1y1x2y2bx2,y2，

是

a与

b的夹角，则

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：cossincoscossinsin；coscoscossinsin；

sincoscossin；sinsincoscossin；tantan（tantantan1tantan）；

1tantantantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin2cos22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

cos2sin22cos2112sin2

升幂公式1cos2cos222cos211cos22，sin降幂公式cos22226、

,1cos2sin2．

万能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan2222tantan2．21tan27、

半角公式:α1cosαα1cosαcos;sin2222

α1cosαsinα1cosαtan21cosα1cosαsinα

（后两个不用判断符号，更加好用）

yAsin(x)B形式。

28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

sincos22sin，其中tan算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

．29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互

补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是

2的二倍；

2是

4的二倍；

30o②15453060452ooooo；问：sin12；cos12；

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，

变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

1sin2cos2tancotsin90otan45o

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式

有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式为有理式，常用升幂公式有：；；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：

1cos常用升幂化

1tan_______________1tan；

1tan______________1tan；

tantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；2tan；1tan2；

tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；

asinbcos=；（其中tan；）

1cos；1cos；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的

三角函数互化。

如：sin50o(13tan10o)；

tancot。

高中数学必修5知识点第一章解三角形

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，，则有(R为C的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①a②sinabc2RsinsinsinC2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc；③a:b:csin:sin:sinC；

，sin，sinC2R2R2RC3、三角形面积公式：S111bcsinabsinCacsin．2222222b2c22bccos，推论：cosbca4、余弦定理：在C中，有a2bc

1.数列的有关概念：

第二章数列

（1）数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集{1,2,3,,n}

上的函数。

（2）通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。

如:

an2n21。

（3）递推公式：已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）可以用一个公

式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。如:

a11,a22,anan1an2(n2)。

2．数列的表示方法：

（1）列举法：如1，3，5，7，9，…（2）图象法：用（n,an）孤立点表示。（3）解析法：用通项公式表示。（4）递推法：用递推公式表示。

3．数列的分类：

有穷数列按项数无穷数列4．数列{an}及前n项和之间的关系:

常数列:an2n递增数列:an2n1,an2

按单调性2递减数列:ann1摆动数列:a(1)n2nnS1,(n1)Sna1a2a3ananSnSn1,(n2)5．等差数列与等比数列对比小结：一、定义等差数列等比数列anan1d(n2)1．ana1n1danq(n2)an11．ana1qn1二、公式anamnmd,nm2．Snanamqnm,(nm)2．nn1na1anna1d22na1q1Sna11qnaaqn1q11q1q21．a,b,c成等差2bac，称b为a与c的等差中项三、性质2．若mn1．a,b,c成等比bac，称b为a与c的等比中项*pq（m、n、p、q*），2．若mnpq（m、n、p、q），则amanapaq则amanapaq3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列第三章不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。3、一元二次不等式解法：（1）化成标准式：ax2（2）求出对应的一元二次方程的根；bxc0,(a0)；

（3）画出对应的二次函数的图象；（4）根据不等号方向取出相应的解集。线性规划问题：

1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解

2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．3．解线性规划实际问题的步骤：

（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证。两类主要的目标函数的几何意义:①zaxby-----直线的截距；②z(xa)2(yb)2-----两点的距离或圆的半径；

0，b0，则ab2ab，即abab．

2ab；aba0,b0224、均值定理：若aab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．25、均值定理的应用：设x、y都为正数，则有

若x若xyys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值

s2．4p（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．

注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。

《201*年高考数学总复习系列》高中数学选修修1－1知识点

第一章：命题与逻辑结构知识点：

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的逆否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．

全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．

10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．

考点：1、充要条件的判定2、命题之间的关系

★1．命题“对任意的xR，xx1≤0”的否定是（）A．不存在xR，xx1≤0C．存在xR，xx10

323232B．存在xR，xx1≤0D．对任意的xR，xx10

3232

★2、给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(A)3

(B)2

(D)0

★3.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

第二章：圆锥曲线知识点：

1、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定

点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形39

标准方程x2y221ab02abaxa且byby2x221ab02abbxb且aya范围1a,0、2a,0顶点10,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c10,b、20,b轴长焦点焦距对称性离心率短轴的长2b长轴的长2aF1c,0、F2c,0F1F22cc2a2b2关于x轴、y轴、原点对称cb2e120e1aaa2xca2yc准线方程3、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则

F1d1F2d2e．

4、平面内与两个定点F（小于F的点的轨迹称为双曲线．这1，F2的距离之差的绝对值等于常数1F2）两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y221a0,b02abxa或xa，yRy2x221a0,b02abya或ya，xR范围顶点轴长1a,0、2a,010,a、20,a虚轴的长2b实轴的长2a40

焦点焦距对称性离心率F1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称cb2e12e1aaa2xcybxa准线方程a2ycyaxb渐近线方程6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

7、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则

F1d1F2d2e．

8、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．9、抛物线的几何性质：y22px标准方程y22pxx22pyx22pyp0图形顶点p0p0p00,0x轴pF,02xp2y轴对称轴焦点pF,02xp2pF0,2yp2pF0,2yp2准线方程离心率e1范围x0x041

y0y10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即

2p．

考点：1、圆锥曲线方程的求解

2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题

典型例题：★★1．设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物线上的一点，

FA与x轴正向的夹角为60，则OA为（）

A．

21p4B．

21p2C．

13p6

D．

13p36★★2．与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程

是．

★★★3．（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为

1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

第三章：导数及其应用知识点：

1、若某个问题中的函数关系用fx表示，问题中的变化率用式子

fx2fx1

x2x1fx2fx1f表示，则式子称为函数fx从x1到x2的平均变化率．xx2x1fx2fx1f，则称它为函数yfx在limx0xx2x12、函数fx在xx0处的瞬时变化率是limx0xx0处的导数，记作fx0或yxx0，即

fx0limfx0xfx0．

xx03、函数yfx在点x0处的导数的几何意义是曲线yfx在点x0,fx0处的切线的斜率．曲线yfx在点x0,fx0处的切线的斜率是fx0，切线的方程为

若函数在x0处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为xx0．yfx0fx0xx0．

4、若当x变化时，fx是x的函数，则称它为fx的导函数（导数），记作fx或y，即

fxylimx0fxxfx．

x5、基本初等函数的导数公式：

1若fxc，则fx0；2若fxxnxQ*，则fxnxn1；3若fxsinx，则fxcosx；4若fxcosx，则fxsinx；5若fxax，则fxaxlna；6若fxex，则fxex；7若fxlogax，则fxxlna；8若fxlnx，则fxx．

6、导数运算法则：

11fxgx；fxgx12fxgxfxgxfxgx；

fxfxgxfxgxgx0．3gx2gx7、对于两个函数yfu和ugx，若通过变量u，y可以表示成x的函数，则称这个函数为函数yfu和ufx的复合函数，记作yfgx．

复合函数yfgx的导数与函数yfu，ugx的导数间的关系是

yxyuux．

8、在某个区间a,b内，若fx0，则函数yfx在这个区间内单调递增；若fx0，则函数yfx在这个区间内单调递减．

9、点a称为函数yfx的极小值点，fa称为函数yfx的极小值；点b称为函数yfx的极大值点，fb称为函数yfx的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

10、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0．当fx00时：

1如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值；2如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值．

11、求函数yfx在a,b上的最大值与最小值的步骤是：

1求函数yfx在a,b内的极值；

2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa，fb比较，其中最大的一个是最大值，最小

的一个是最小值．

考点：1、导数在切线方程中的应用

2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用

典型例题

32f(x)xax3x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a=（）★1.（05全国卷Ⅰ）函数

A．2B.3C.4D.5

★2．函数y2x33x212x5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（）A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数时f(x)取得极值－2.

（1）试求a、c、d的值；（2）求f(x)的单调区间和极大值；

2x132f(x)xeaxbx★★★4.（根据山东201*年文21改编）设函数，已知x2和x1为f(x)f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1的极值点。（1）求a,b的值；（2）讨论f(x)的单调性；

高中数学选修1-2知识点总结

第一章统计案例

第一课时1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.

教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.教学过程：一、复习准备：

1.提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之

间是否有关？

2.复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报.二、讲授新课：1.教学例题：

①例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号身高/cm1165216557315750417054517564616561715543817059体重/kg48求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.（分析思路教师演示学生整理）

155160165身高/cm170175180体重/kg6040201*50

第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算

②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.③解释线性回归模型与一次函数的不同

事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数

ybxa来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）.

在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同.这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型ybxae，其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分.当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型.因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.

2.相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3.小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

第二课时1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.教学过程：一、复习准备：

1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.

2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.二、讲授新课：

1.教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：

（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即SST(yiy)2.

i1nyi)2.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即SSE(yii1nyiy)2.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即SSR(i1n（2）学习要领：①注意yi、yi、y的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化

yi)2(yiy)2；③当总偏差平方和相对程度与残差变量的变化程度之和，即(yiy)(yi2i1i1i1nnn固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我

们还可以引入相关指数R21(yi1ni1niyi)2来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡

(y2.教学例题：

例2关于x与Y有如下数据：xy2304iy)2献率.R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.

56065087040为了对x、Y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：y6.5x17.5，y7x17，试比较哪一个模型拟合的效果更好.

分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.（答案：R121yi)2(yi5(yy)ii1i15215510.845，R2211000y)(yii52(yy)ii1i15121800.82，84.5%＞82%，所以甲选用的模型1000拟合效果较好.）

3.小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.

第三课时1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.

教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.教学过程：一、复习准备：

1.给出例3：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程.

温度x/C2123112521272429663211535325产卵数y/个7（学生描述步骤，教师演示）2.讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.

二、讲授新课：

1.探究非线性回归方程的确定：

①如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以

产卵数350300250201*5010050001020温度3040选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.

②根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=C1eC2x的周围（其中c1,c2是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.

③在上式两边取对数，得lnyc2xlnc1，再令zlny，则zc2xlnc1，而z与x间的关系如下：观察z与x的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直

7Xz

654321001020x3040212325272932351.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784z线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.

0.272x3.843，因此红铃虫④利用计算器算得a3.843,b0.272，z与x间的线性回归方程为z的产卵数对温度的非线性回归方程为ye0.272x3.843.

⑤利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行.其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.2.小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤.三、巩固练习：

为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：

天数x/天12123254495956190繁殖个数y/个6

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；

=e0.69x1.112.）（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为y第四课时1.1回归分析的基本思想及其初步应用（四）

教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果.

教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.教学过程：一、复习准备：

1.提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数y和温度x间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？

400300201*0000500t10001500

t441y752962511217298411024122524661153252.讨论：能用二次函数模型yc3x2c4来拟合上述两个变量间的关系吗？（令tx2，则yc3tc4，此时y与t间的关系如下：

观察y与t的散点图，可以发现样本点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线yc3x2c4来拟合y与x之间的关系.）小结：也就是说，我们可以通过观察变换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合.事实上，除了观察散点图以外，我们也可先求出函数模型，

y然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏.二、讲授新课：1.教学残差分析：

y①残差：样本值与回归值的差叫残差，即eyi.ii②残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.

③残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图.观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.2.例3中的残差分析：计算两种模型下的残差

一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.

由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型.（当然，还可用相关指数刻画回归效果）3.小结：残差分析的步骤、作用三、巩固练习：练习：教材P13第1题

第一课时1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）

教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.

教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.

教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K2的含义.教学过程：一、复习准备：

回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤.二、讲授新课：

1.教学与列联表相关的概念：

①分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.分类变量的取值一定

是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等.分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义.如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.②列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）.一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为22.如吸烟与患肺癌的列联表：

2.教学三维柱形图和二维条形图的概念：

由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性

存在差异.（教师在课堂上用EXCEL软件演示三维柱形图和二维条形图，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论）3.独立性检验的基本思想：

①独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体.②独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）：反证法要证明结论A假设检验备择假设H1不吸烟吸烟总计不患肺癌患肺癌总计777520999874424991781721489965在A不成立的前提下进行推理在H1不成立的条件下，即H0成立的条件下进行推理推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超过的事件）发生，意味着H1成立的可能性（可能性为（1－））很大没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功③上例的解决步骤第一步：提出假设检验问题H0：吸烟与患肺癌没有关系H1：吸烟与患肺癌有关系

推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设n(adbc)2第二步：选择检验的指标K（它越小，原假设“H0：吸烟与患肺癌

(ab)(cd)(ac)(bd)2没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.第三步：查表得出结论

P(k2>k)0.500.400.25k0.150.100.050.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.830.4550.7081.3232.0722.7063.84第二课时1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（二）

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