专题13：初中数学方法总结

专题13：初中数学方法总结

专题：初中数学方法总结一，初中数学方法点滴

学了初中三年的数学，解了三年的数学题，感到学海无边，题目无穷，在纷繁复杂的题目中，我们应总结出一些数学方法，从解题实践中提炼出方法，用方法来指导解题实践。以下为个人就初中数学的解题方法的一些体会。一，代入法。

如，点在直线上，则点的横纵坐标就可以代入直线解析式。当然反比例函数，二次函数亦然。又如，已知某个数是一元二次方程的根，则该数就可以代入方程。还有，分式的先化简再求值，则说明必须先把分式化简，再作代入，当然这里要注意代入的数要使原分式有意义。二，整体代入法。

在代数式的变形计算中，在一元二次方程根与系数的关系类题目中常有运用。三，因式分解法。

提取公因式，平法差公式，完全平方公式，十字相乘法均属此法。在因式分解，分式的化简，解一元二次方程等题目中都有运用。四，配方法。

当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方就叫配方法。它可以用于解一元二次方程，非负数取值的判断，二次函数求顶点坐标或最值或对称轴等题目。五，换元法。

我们常用的换元法是用一个未知数表示若干个较为复杂的代数量或几何线段，往往可以问题容易理解或便于用方程解答。这是先设未知数再用方程解决问题的方程思想的典型运用。六，判别式法。

判别式除了可以判断一元二次方程的解的情况，还可以和二次函数相联系。七，求根公式法。

此法是由配方法演绎而得，为解一元二次方程的通用办法。八，根与系数的关系法。

一元二次方程中，表示出两根之和或两根之积后，除了可以代入计算，还可以由此关系得到方程的另一根或其他系数。九，待定系数法。

初中的三大函数解析式的求法，均叫做待定系数法，它是代入法的延伸，在数学中有着广泛的运用。（三大函数，即，一次函数，反比例函数，二次函数）十，直接得到法。

直接由数学知识点得到答案，常用与容易解决的基础题。十一，排除法。

在选择题中，有明显错误的选项可以先排除，以缩小选择之范围。十二，验证法。

我们知道，解分式方程必须检验，在有些选择题中，可以将选项作逐一代入检验，得到正确答案。十三，特殊元素法。

在选择题判断一组代数式的大小时，可以选用此法，但要注意选择的特殊元素要有代表性。十四，先易后难法。

在选择题甚至整个试题中，先易后难可以提升效率、把握全局，也有利于思维的发挥。十五，顺向思维法。

在图形题中，可以根据已知条件，运用所学图形的性质，进行直接的推理，从而得到正确答案或要证明的结果，即为此法。此法往往应用与较为常见或难度不大的题目。十六，逆向思维法。

在图形题中，可以进行逆向思维。即，要得此步，则必须得到什么，要必须得到什么，则又必须得到什么，如此逆推上去，直至与已知条件相连接。然后顺向书写下来。十七，顺逆双向思维法。

在较难的图形题中，单用顺向或逆向尚不能解决问题，则采取两个方向思维，力争找到两种思维方式的连接点。十八，划归思想法。

也在较难图形题目中，有连续三问，第二三问的解答往往是运用前面的探究方法。十九，动中取静、转化问题法。

动点题目中，通常有一个或两个动点。虽然，有其运动，但要抓住其不动的条件，是为动中取静。其动态问题，往往需要通过分析，将问题转化为相似（如模拟卷7的第26题）；或转化为等腰三角形的两腰相等、平行四边形的对边相等、直角三角形的勾股定理，通过方程的思想得到所求未知量；或转化为三角形或四边形的面积为一个函数表达式（一次函数或二次函数），通过自变量的取值（要注意其取值范围）来确定其最值。二十，外部延伸法。

当在图形内部分析无法解决时，思维要走向图形整体的外部，在更广阔的空间翱翔自己的思维。二十一，取长补短法。

往往用于证明一条较长线段等于两条线段之和。

二十二，辅助线法（构造法）。

无论内部、外部，还是取长补短法，都可以考虑作辅助线帮助解决问题。此外，在梯形、平行四边形等四边形中作高，在等腰三角形中作高，在反比例函数中作直角三角形或矩形，在三角形面积中作高，在抛物线中作平行线和垂线等，都有其广泛的运用。二十三，面积法。

求三角形或四边形的面积，有三种手段：1，直接用公式求面积，2，间接的加法，3间接的减法。当然间接的方法也常用于求和圆有关的阴影部分的面积。二十四，几何变换法。

三大变换（平移、旋转、轴对称）中有重合即相等的元素，要准确判断，并合理选择运用。此法往往和勾股定理、扇形弧长公式、扇形面积联系运用。二十五，相似法。

相似可以得到对应边成比例，还可以用来表示未知量。二十六，三角函数法。

三角函数除了运用于解直角三角形，它也是一种比值。由此，可以通过设未知数将所求问题表示成一个未知数表示的代数式，还可以得到其他对应线段的比值。二十七，图形法。

在无图而可以作图的题目中，画图可以帮助分析。在有图的图形题中，根据题目的描述，依次画出图形，避开干扰图形也可以帮助分析图形问题。此法，往往用于解决图形题目中的第一问。二十八，数形结合法。

平时常说草稿图像法，即对函数的性质进行分析时，作出函数的草稿图像，可以简便快捷的进行分析。在应用题中，也可画出图示帮助分析。数学结合思想将代数与几何相联系，往往收到意想不到的效果，在数学中有着广泛的运用。二十九，反复降次法。

我们曾两次做过一类小题，用到此法。三十，共加共减法。

在图形的重叠部分运用此法，可以得到两个角相等。在直角顶点位于直线上时，根据角的传递性，可以得到两角相等，带来相似甚至全等。在判定切线或运用切线时，也有此法的运用，它也可以看做等量代换或等式的性质。在图形题中有着广泛的运用。

三十一，图形转化法。

将角所在的不规则三角形转化为直角三角形，将不规则图形转化为规则的三角形，是转化思想的运用。三十二，代数转化法。

解分式方程的第一步是两边同乘最简公分母，转化为一次方程。运用因式分解法、配方法解一元二次方程是转化为一元一次方程。解二元一次方程组，无论加减法还是代入法都是转化为一元一次方程。

三十三，反证法。

先假设结论成立，然后从此结论推理出与已知或定理相矛盾的情形，则可以说明结论不成立。但我们的所学和所解中很少运用此法，同学们不到万不得已之时，不可采用此法。

三十四，动手折纸法。

在三视图、立方体展开图、图形的折叠中，运用此法可以帮助用空间想象难以想清楚的问题。三十五，就地取材法。

当题目的主干条件不变，只是在第二问、第三问中添加条件时，那么，第前面所得的结论可以作为后问的已知条件。三十六，数学感觉法。

如，已知一个点是中点，则迅速联想到中线、中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如，已知30°，除了分析度数外，还应联想直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。如，已知直径，则联想所对的圆周角为90°。如见切点，连圆心。如看到切线，想到切线垂直于过切点的半径。如垂径定理知二推三，弦、圆心角、弧、弦心距四者关系知一推三。

三十七，数学公式法。

初中数学中，有很多公式需要记忆，当然也可推理。如三角形面积公式、直角三角形面积公式、等边三角形面积公式、平行四边形面积公式、菱形面积公式、矩形面积公式、正方形面积公式、梯形面积公式、等腰直角三角形斜边与直角边的关系、圆面积公式、圆周长公式、扇形弧长公式、扇形的两个面积公式、圆锥的侧面积公式等等都有着广泛的计算运用。

三十八，数学定理法。

如，角平分线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、切线的判定定理和性质定理需要有系统的熟记，它们在图形的计算和证明中均有着广泛的运用。

以上方法来自数学解题和学习的总结，肯定还有更多更好的方法，因此，需不断学习和总结。

二，直角或垂直的解题方法的联想

判断两条直线的位置关系是否垂直，判断一个三角形的形状是否为直角三角形，已知直角三角形或垂直作何种运用，它既可在图形性质或变化两类题目中单列出现，也常在压轴题中作为第二问中出现。因此，既可串联图形题目，也有着相当重要的地位。其解题方法不是单一的，常有以下24种。1，勾股定理的逆定理。

这常与抛物线相结合，需先做出垂直于坐标轴的辅助线，明确各个顶点的坐标，再计算出所判定三角形的各边长，由勾股定理的逆定理可以判断其形状，而且，还可以断定其直角所在。2，两锐角互余。

这是常用手段，实际是用了三角形的内角和定理。3，平角减法。

如果所求的角的顶点是在某一直线上，如能求出它与其两边与直线的两个夹角的和为180度，则也能判定角为直角。4，平行法。

已知两直线平行，若其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三直线。，当然垂直于同一直线的两条直线互相平行。也可以理解为是平行线的性质。这也是圆中判定切线的常见手段。5，逆用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，将其逆用也可得到直角。实际上蕴含着三角形的外接圆的圆周角定理，这是一种很容易被忽略而又轻便快捷的办法。6，折叠法。

在图形的变化类题目中，常出现图形的折叠，虽然折痕常常为的分析切入点，但这里因为重合的理念也暗藏着直角的玄机。它与勾股定理结合，运用方程思想，常能打开貌似艰难的问题。7，全等三角形判定。

如能求证所求角所在的三角形与某一个已知直角三角形全等，也可达到目的。此法往往和圆相结合。8，直径所对的圆周角为90度。

圆中，每当提到直径，就应该有这样本能的反应。若已知圆周角为直角，则它所对的弦是直径。9，切线垂直于过切点的半径。

这是切线的性质，也能带来直角。反之切线垂直于过切点的半径。10，垂径定理。

如果过圆心的直线平分所对的弦，那么该直线就垂直于这条弦。垂径定理知二推三。11，菱形和正方形的对角线互相垂直。

在小题中常见已知菱形的两条对角线的长，求其边长乃至周长的问题。12，等腰三角形三线合一

等腰三角形中，底边上的高、中线、顶角的角平分线三线合一。13，共加或共减法。

在划归一类的题目中，常出现判断两条直线的位置关系，在较为复杂的几个角的错综复杂中，常用到这种方法，当然需要先知道其中一处为90度，此类题目也常与三角形的全等相结合。14，四边形的内角和。

在类似于上一类的题目中，有出现某一个四边形的一组对角和为180度，即可用四边形的内角和算出所求的角为90度。此外圆内接四边形对角互补也是不可忽略的情景或手段，平行四边形的对角相等也可理解为此类之列。15，作辅助线构造直角三角形。

如在解直角三角形中，已知一个钝角三角形，往往需要构造直角三角形来求得所求，当然解直角三角形的前提是已知两边或一边一锐。在等腰梯形中常作底边的高来构建直角三角形，在直角三角形中做斜边上的高能带来直角三角形的面积有两种求法。在平行四边形中作高也有用处。16，反比函数k的几何意义。

过反比例函数的图像即双曲线上的一点，作坐标轴的垂线段，并连接原点，可以构造直角三角形，则此直角三角形的面积等于斜率K的绝对值的一半。17，两坐标轴的夹角为90度。

有一种题目，在坐标系中求某一个圆周角的三角函数，那么可以把这个角转化到一个直角三角形中求解。18，斜率k的乘积为-1，则两直线平行。

19，轴对称图形中，对称轴必垂直平分对应点的连线段。20，三角形的外心是三条垂直平分线的交点。21，圆锥顶点与底面圆心的连线必垂直于底面。22,30度角所对的直角边等于斜边的一半。

23，直角三角形的直角顶点共边，可利用其角的传递性带来相似或全等。24，直角三角形全等的HL，相似的两角均只差一个条件就可以得到。

以上或许只是判定直角或垂直的诸多方法中的少数，如同沧海之一粟，更多方法尚待不断学习中。

三，二次函数综合题的解题方法体会

二次函数综合题，是以二次函数的图像性质为主，结合其他图形，涉及知识点较多，综合性较强的一种压轴题。它是代数知识和几何图形的综合，因此蕴含了数形结合的思想。

一，题目结构。

第一问，求抛物线的解析式，第二三问为难度题目。二，解题思想。

数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想，转化思想二，题目类型和解题思路方法。

第一问，求抛物线的解析式。常见有三种以上方法可以选用。1.一般式。如全部代入，组成三元一次方程组，2.顶点式。如在已知顶点坐标的情况下用顶点式，

3.双根式。如已知抛物线与横轴的两个交点坐标的情况下用双根式。

其他，如果已知抛物线的对称轴则可根据对称轴公式表示或求出a、b，如果已知抛物线与y轴交点坐标可先得c，或利用抛物线的对称性可以有变化的求法。

第二问或第三问则为难度题目。常见的题型有以下等等。1，判断三角形的形状。勾股定理法：通常是利用勾股定理的逆定理来判断是否直角三角形甚至等腰直角三角形（201*安顺题即201*菏泽题，如201*昭通题即201*临沂题，如201*湛江题，如201*年山东枣庄题）

2，求线段之和最短时的交点坐标。

先为对称交点法（作轴对称点，对应两点的连线即为所求点的坐标），之后可用相似法（相似三角形得对应边成比例，还可以设x利用相似来表示未知线段，此法也常见与动点题目转化为相似解决问题）或解析式法（求直线与抛物线的交点坐标，可以联立直线解析式和抛物线解析式组成方程组，求得交点坐标）。（201*安顺即201*菏泽）

3，求直角三角形形状时与抛物线的交点坐标或在对称轴上存在的点的坐标（前者如201*遵义题，201*遵义题，201*徐州题，后者如201*济南题）

分类讨论法（当已知三角形的直角顶点未知时，当两个三角形相似但对应顶点不明确是，要分情况讨论），、解析式法。

4，当三角形为等腰三角形时求对称轴上存在的点的坐标（如201*年张家界题，201*来宾题，201*湖北十堰题）分类讨论法（等腰三角形的两腰不确定时采用，其中暗藏勾股定理，圆的定义，垂直平分线的知识）。5,与圆结合求三角形面积最小时或最大时动点的坐标（201*遵义题，201*安徽卷）图形形状分析法（结合圆和其他图形的性质判断图形形状），如201*遵义题第三位需要分析三角形的形状为等腰直角三角形。

6当未知三角形面积是已知三角形的倍数时，求在抛物线上的点坐标（201*铜仁，201*黔南，201*福建莆田题）平行法（也叫平移法，若两条直线平行，则未知直线的斜率k等于已知直线的斜率k,再根据未知直线过某一已知点可以得到该直线的解析式），解析式法等结合。

7，求三角形面积的表达式，并求出当自变量为何取值时动点的坐标。表示三角形的面积，并求三角形的面积。（201*南宁题201*济南题，201*成都题）

三角形面积直接表示法（直接运用三角形的面积公式，用含自变量的函数关系式来表示，而如何表示三角形的底和高将成为关键，此举在动点题中也常常出现），用锐角三角函数或相似表示出底边上的高很关键。8，当两个三角形相似时，求在某直线上存在的点的坐标。（201*山东枣庄即201*云南曲靖题）相似法。

9，表示点和线段。

坐标表示点、线段法（通常是先设一个点的横坐标，再根据点在直线上或在抛物线上，用相同的未知数的代数式设出纵坐标，然后纵向线段长等于上点的纵坐标减去下点横坐标，而横向线段长则等于右点横坐标减去左点横坐标）。此法常与解析式法相结合。典型题目如201*淄博题。10、判断点是否在直线上

相似法，代入法（将点代入直线，判断点是否在直线上）。如201*襄阳题。

11，当四边形为平行四边形时求抛物线上存在的点的坐标（如201*年陕西题，201*铜仁题，201*广东湛江题，201*淄博题，201*南宁题）

图形性质法（利用图形的性质或判定，如一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形等来转化问题为方程问题），坐标表示点线段法、解析式法或相似法。12，当四边形为等腰梯形时求在抛物线上点的坐标，（201*山东临沂题）当四边形为直角梯形时求在抛物线上存在的点的坐标(201*年云南昭通题，201*襄阳题）当四边形为正方形时，求抛物线上存在的点的坐标（201*成都卷）图形性质法，解析式法，平行法13，求不规则四边形面积的最值。（201*十堰题）

图形面积间接表示法（通常是把一个不规则的四边形的面积表示成两个或两个以上的三角形的面积之和，或用梯形减去两个或两个以上三角形的面积来表示，之后可以得出四边形面积为一个二次函数解析式，从而取其最值，当然求最值时应考虑自变量的取值范围。）而间接表示三角形的面积也为此法。

14，当直线平分平行四边形的面积时，求抛物线上存在的点的坐标（201*徐州题）

解题方法：平分平行四边形的面积的直线必过对角线的交点，接着可用解析式法解决问题。

总之，二次函数综合题实际上是由很多知识的组合或综合而成的，方法多样而新颖，难度大，应用心体会。

扩展阅读：初中数学13

201*年临沂市中考数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至12页，满分120分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共42分）

注意事项：

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．3.考试结束，将本试卷和答题卡一并收回．

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．9的相反数是（）A．

19B．19C．9D．9

2．某种流感病毒的直径是0.00000008m，这个数据用科学记数法表示为（）A．810mC．810m

86

B．810mD．810m

45

3．下列各式计算正确的是（）A．xxxC．(x)x

42834

xxB．x2242510

D．xxx(x0)

4．下列图形中，由AB∥CD，能得到12的是（）

AA1BBBA

1122CCCDDD2A．B．C．

5．计算27A．1

131812的结果是（）

AC

1B2D．

DB．1

b2C．32D．23

6．化简

2ab4a2b2a的结果是（）

C．2ab

D．b2a

A．2abB．b2a

7．已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的直径为9Cm，⊙O2的直径为4cm．则O1O2的长是（）

A．5cm或13cmB．2.5cm

AC．6.5cmD．2.5cm或6.5cm

P8．如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，

垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）

OBA．PAPBB．PO平分APB

（第8题图）

C．OAOBD．AB垂直平分OP

9．对于数据：80，88，85，85，83，83，84．下列说法中错误的有（）A．这组数据的平均数是84B．这组数据的众数是85C．这组数据的中位数是84D．这组数据的方差是36A．1个B．2个C．3个D．4个

10．若xy，则下列式子错误的是（）A．x3y3C．x3y2

B．3x3yD．

x3y3

AOB

CEF

（第11题图）

D

11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线ACBD于

点O，AEBC，DFBC，垂足分别为E、F，设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（）A．3ab

B．2(ab)

C．2baD．4ab

12．如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是（）

12cm

4cm

（第12题图）A．192πcm

3B．1152πcmC．2883cmD．3843cm

33313．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（）A．

13B．

14C．

16D．

112

DHF

14．矩形ABCD中，AD8cm，AB6cm．动点E从点C开始A沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余

BC

E（第14题图）

部分的面积为y(单位：cm)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）

y(cm2)4816

46OA．

y(cm2)4816x(s)O46B．

x(s)4816O46C．

x(s)y(cm2)4816O4D．

6x(s)y(cm2)2第Ⅱ卷（非选择题共78分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目及座号填写清楚．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．15．分解因式：x2xyxy=_________________．

16．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，．则这种药品的成本的年平均下降率为______________．17．若一个圆锥的底面积是侧面积的

132，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是_____度．

18．如图，在菱形ABCD中，ADC72，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则CPB________度．

DE

PCAB

（第18题图）

19．如图，过原点的直线l与反比例函数y1xlMyON（第19题图）x的图象交于M，N两点，根据图象猜想线

段MN的长的最小值是___________．

三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共20分）20．（本小题满分6分）解不等式组3(2x1)≥2102(1x)3(x1)，并把解集在数轴上表示出来．

21．（本小题满分7分）

为了了解全校1800名学生对学校设置的体操、球类、跑步、踢毽子等课外体育活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生．对他们最喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）．

（1）在这次问卷调查中，一共抽查了多少名学生？（2）补全频数分布直方图；

（3）估计该校1800名学生中有多少人最喜爱球类活动？人数

3640其他12.5%3025%体操踢毽子20跑步

1010104球类0

体操球类踢毽子跑步其他项目

22．（本小题满分7分）

如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45方向上．

（1）求出A，B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

北

东ADlC

B

（第22题图）

四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共19分）23．（本小题满分9分）

如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5．求（1）⊙O的半径；（2）sinBAC的值．PBCAO

（第23题图）

24．（本小题满分10分）

在全市中学运动会800m比赛中，甲乙两名运动员同时起跑，刚跑出200m后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，并取得了优异的成绩．图中分别表示甲、乙两名运动员所跑的路程y（m）与比赛时间x（s）之间的关系，根据图像解答下列问题：（1）甲摔倒前，________的速度快（填甲或乙）；（2）甲再次投入比赛后，在距离终点多远处追上乙？

y(m)CD甲800

乙P

200ABO401201*5x(s)（第24题图）

五、相信自己，加油啊！（本大题共2小题，共24分）25．（本小题满分11分）

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，

C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

FDDAADA

FF

BBECECGGBCEG图1图2图3

（第25题图）

26．（本小题满分13分）

0)，B(1，0)，C(0，2)三点．如图，抛物线经过A(4，（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

yxOB14A

2C

（第26题图）

201*年临沂市中考数学试题

参考答案及评分标准

说明：第三、四、五大题给出了一种或两种解法，考生若用其它解法，应参照本评分标准给分．

一、选择题（每小题3分，共42分）题号答案1D2C3C4B5C6A7D8D9B10B11A12C13A14A二、填空题（每小题3分，共15分）

215．x(1y)16．10%17．1201*．7219．22

三、开动脑筋，你一定能做对！（共20分）

20．解：解不等式32x1≥2，得x≤3．（2分）解不等式102(1x)3(x1)，得x1．（4分）所以原不等式组的解集为1x≤3．（5分）把解集在数轴上表示出来为

10123

（6分）

21．解：（1）1012.5%80（人）．一共抽查了80人．（2分）（2）8025%20（人），图形补充正确．（4分）（3）18003680810（人）．

估计全校有810人最喜欢球类活动．（7分）

22．解：（1）方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得AB45°．

（1分）△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．AO2，BO22．

A，B两村的距离为ABAOBO．（4分）22232（km）

方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．

易证四边形CDBE是矩形，（1分）CEBD2．

在Rt△AEB中，由A45°，可得BEEA3．

AB3332（km）

22A，B两村的距离为32km．（4分）

（2）作图正确，痕迹清晰．（5分）作法：①分别以点A，B为圆心，以大于半径作弧，两弧交于两点M，N，

作直线MN；

②直线MN交l于点P，点P即为所求．（7分）四、认真思考，你一定能成功！（共19分）23．解：（1）连接PO，OB．设PO交AB于D．PA，PB是⊙O的切线．

PAOPBO90°，

12AB的长为

ACOPNDl

MB第22题图

PBDAC

PAPB，APOBPO．

O（第23题图）

ADBD3，PO⊥AB．（2分）PD（3分）534．

ADPDAOPAtanAPD．

15422在Rt△PAD和Rt△POA中，

AOADPAPD354154，即⊙O的半径为．（5分）

2（2）在Rt△AOD中，DO9sinBACAOAD2291523．（7分）44OD3（9分）4．

15AO5424．解：（1）甲．（3分）（2）设线段OD的解析式为yk1x．

800)代入yk1x，得k1把(125，线段OD的解析式为y325．

325x（0≤x≤125）．（5分）

设线段BC的解析式为yk2xb．

200)，(120，800)分别代入yk2xb．把(40，15，201*0k2b，k2得解得2800120kb．2b100.线段BC的解析式为y152x100（40≤x≤120）．（7分）

321000yx,x，511解方程组得（9分）

640015y.x100.y112800640011240011．

240011m处追上了乙．（10分）

答：甲再次投入比赛后，在距离终点

五、相信自己，加油啊！（共24分）

25．解：（1）正确．（1分）证明：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME．（2分）BMBE．BME45°，AME135°．

AMBED

FCG

CF是外角平分线，DCF45°，ECF135°．AMEECF．

AEBBAE90°，AEBCEF90°，

BAECEF．

．（5分）△AME≌△BCF（ASA）

AEEF．（6分）

（2）正确．（7分）

证明：在BA的延长线上取一点N．使ANCE，连接NE．（8分）NFBNBE．DANPCE45°．四边形ABCD是正方形，AD∥BE．

BCEGDAEBEA．

NAECEF．

．（10分）△ANE≌△ECF（ASA）

AEEF．（11分）

22)，可设该抛物线的解析式为yaxbx2．26．解：（1）该抛物线过点C(0，0)，B(1，0)代入，将A(4，1a，16a4b20，2得解得

ab20.5b.2此抛物线的解析式为y12x252x2．（3分）

（2）存在．（4分）

如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为当1m4时，AM4m，PM12m212m252m2，

y52m2．

DPAMEC4x又COAPMA90°，

①当

BO12AMPMAOOC21时，

△APM∽△ACO，

（第26题图）5m2．2即4m212m2

解得m12，m24（舍去），P(2，（6分）1)．②当

AMPMOCOA12时，△APM∽△CAO，即2(4m)12m252m2．

解得m14，m25（均不合题意，舍去）

当1m4时，P(2，1)．（7分）

2)．类似地可求出当m4时，P(5，（8分）14)．当m1时，P(3，1)或(5，14)．2)或(3，综上所述，符合条件的点P为(2，（9分）

（3）如图，设D点的横坐标为t(0t4)，则D点的纵坐标为过D作y轴的平行线交AC于E．由题意可求得直线AC的解析式为y1E点的坐标为t，t2．

212212t252t2．

12x2．（10分）

DEt5121t2t2t2t．（11分）222S△DAC11222t2t4t4t(t2)4．22当t2时，△DAC面积最大．

D(2，1)．（13分）

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北京一线教师家教-一线教师一对一辅导老师NO.1:本人性格开朗、乐观，做事耐心仔细，有责任心。初高中时成绩优异，理科生，由以数学、化学家教较好。中考全乡第一，高考数学140分，化学优等。

北京一线教师家教-一线教师一对一辅导老师NO.2:我的数学成绩非常好，高考数学成绩是143，在物理家教方面，我曾获得过全国物理竞赛河南赛区二等奖。我姐姐是教师，我曾在她办的假期补习班中当教员，并且到大学后也带过家教。同时我比较有耐心，讲题思路清晰。

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