高二数学圆锥曲线：抛物线知识点整理和总结

高二数学圆锥曲线：抛物线知识点整理和总结

专题九抛物线

一.基本概念

1.抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。2.抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0

标准方程l焦点在x轴上，开口向右y2焦点在x轴上，开口向左y2px2焦点在y轴上，开口向上x2焦点在y轴上，开口向下x22px2py2pyyPxOFPylxFOlyPFOy轴lyOFx图形xPO(0,0)顶点对称轴焦点离心率准线

二．例题分析

【例1】（河西区201*高考一模）已知双曲

xa22x轴F(p2,0)F(p2,0)F(0,p2)F(0,p2)e1xp2xp2yp2yp2yb221a0,b0的一个顶点与抛物线

y20x的焦点重合，该双曲线的离心率为

252，则该双曲线的渐近线斜率为（）

A2B43C12D34

【例2】（南开区201*年高三一模）若抛物线y2px的焦点与双曲线焦重合，则p的值为（）

A3B-3C6D-6

2x26y231的左

【变式1】（河北区201*年高三三模）已知抛物线y245x的焦点和双曲线xa22yb221(a0,b0)的一个焦点重合，且双曲线的离心率e52，则双曲线的方程为

（）A

【变式2】（201*年第三次六校联考）.已知双曲线

xa22x216y291B

x29y2161Cx2y241D

x24y291

yb221的离心率为2，它的一个焦

点与抛物线y28x的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为--------------------------------

【例3】.（201*年天津一中高三第五次月考）已知抛物线y22pxp0的焦点F为双

xa22曲线yb221a0,b0的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过点F，则该双曲

线的离心率为（）A2B

【例4】（201*年天津文）已知双曲线

xa2221C3D

31

yb221(a0,b0)的左顶点与抛物线

y2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点

2坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（）

A．23B．25C．43D．45【例5】（201*年天津文）已知双曲线

xa22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y3x，

它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同。则双曲线的方程为。

【变式1】（201*年天津理）已知双曲线

xa22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y=

3x,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为（）

（A

x236y21081（B

x29y2271（C）

x2108y2361（D）

x227y291

【变式2】（201*陕西理）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是。

【例6】（201*年福建）已知双曲线

x24yb221的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，

则该双曲线的焦点到渐近线的距离为_________.

【变式1】（201*年安徽）过抛物线y4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若AF3，则三角形AOB的面积为________.

【例7】（201*辽宁理）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．

34B．1C．

54D．

74

【变式1】（201*年天津理）已知抛物线的参数方程为

x2pty2pt2（t为参数，p>0）,焦点

为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=_________.

【变式2】（201*山东文）设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A．(0，2)

【变式3】（201*年四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点

M2,y0，若点M到抛物线焦点距离为3，则OM长度________.

B．[0，2]C．(2，+∞)D．[2，+∞)

扩展阅读：抛物线题及知识点总结

一、抛物线的定义及其应用

[例1]设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

例2、．(201*山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()

A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)．

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、

2

B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8

[悟一法]

1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．

2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征．

例4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为()39

A．y2＝xB．y2＝9xC．y2＝xD．y2＝3x

22

三、抛物线的综合问题

[例5](201*江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M点到抛物线C的焦点F的1

距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点．

2(1)求抛物线C的方程；

(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

练习题

1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于()

A．1B．4C．8

D．16

2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()

A．－

1716

157B．－C.

1616

2D.1516

3．(201*辽宁高考)已知F是物线y＝x的焦点，A，B是该物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()3

A.425

B．1C.

4

7D.4

4．已知抛物线y＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()

A．相离

B．相交C．相切

D．不确定

5．(201*宜宾检测)已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于()A．42

A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于

D．16

B．8C．82

6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点

P的坐标是()

A．(－2,1)C．(2,1)

B．(1,2)D．(－1,2)

7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．16

8．(201*陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()

A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x

9．(201*永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．

11．已知抛物线y＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为

F，那么|FA|＋|FB|＝________.

2

12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．

14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点

A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OMπ

与OP的夹角为，求△POM的面积．

4

一、抛物线的定义及其应用

[例1]设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到

F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为5.

(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.例2、．(201*山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()

A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)

解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、

B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8

设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有|BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝ππCBB1＝.即直线AB与x轴的夹角为.

335

|BB1|1

＝，∠|BC|pπ

又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝23，

2311

因此△AKF的面积等于|AK|y1＝423＝43.22[悟一法]

1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．

2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征．

例4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为()3

A．y2＝xB．y2＝9x

29

C．y2＝xD．y2＝3x

2

解析：分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，

∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故13

点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.

22三、抛物线的综合问题

[例5](201*江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；

设OC＝(x，y)＝(1，－2

33

2)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．

又y22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．3＝8x3，即[2即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2.

例6、(201*湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，

B，l与轨迹C相交于点D，E，求ADEB的最小值

2

妙解](1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－12

＋y2－|x|＝1.化简得

y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x例7．已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的1

距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点．

2(1)求抛物线C的方程；

(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

解：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，由抛物线定义和已知条件可知

2

|MF|＝1－(－)＝1＋＝2，解得p＝2,故所求抛物线C的方程为y＝4x.

22

ppp2

y＝－1x＋b，2(2)联立y＝4x2

消去x并化简整理得y＋8y－8b＝0.

2

依题意应有Δ＝64＋32b>0，解得b>－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2

＝－8，y1y2＝－8b，设圆心Q(x0，y0)，则应用x0＝

x1＋x2

2

，y0＝

y1＋y2

2

＝－4.

因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r＝|y0|＝4.又|AB|＝5[x1－x22

2

＋y1－y22

＝1＋4

y1－y22

＝

y1＋y2－4y1y2]＝564＋32b64＋32b所以|AB|＝2r＝58

＝8，解得b＝－.5

48，5

所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝则圆心Q的坐标为(

2424

，－4)．故所求圆的方程为(x－)2＋(y＋4)2＝16.55

1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于()

A．1B．4C．8

D．16

解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，

4依题意则有＝2解得a＝8.

4

aa2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()

A．－

1716

157B．－C.

1616

D.15

16

y12

解析：抛物线方程可化为x＝－，其准线方程为y＝.设M(x0，y0)，则由

416115

抛物线的定义，可知－y0＝1y0＝－.1616

3．(201*辽宁高考)已知F是物线y2＝x的焦点，A，B是该物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()3

A.45

B．1C.

4

7D.4

解析：根据物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：11315(|AF|＋|BF|)－＝－＝.24244

4．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()

A．相离

B．相交C．相切

D．不确定

解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线

l上的射影，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)11

＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径，故相切．22

5．(201*宜宾检测)已知F为抛物线y＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于()

A．42

B．8C．82

D．16

212

A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于

y＝x－2，

解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为y＝x－2由2

y＝8x

，消去y得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝144－16＝82.6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点

2

P的坐标是()

A．(－2,1)C．(2,1)

B．(1,2)D．(－1,2)

2

解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取

等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D.答案：B7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．16

8．(201*陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()

A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x

解析：由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x9．(201*永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．

解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，则圆心为(0,4)，半径r＝8.所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝64.

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．

解析：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，则准线为y＝－.∵Q(－3，m)在抛

4物线上，∴9＝am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，

aa99a∴|m－(－)|＝5.将m＝代入，得|＋|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18，

4aa4∴所求抛物线的方程为x＝±2y，或x＝±18y.

11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为

F，那么|FA|＋|FB|＝________.

22

y2＝4x解析：由

2x＋y－4＝0

，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的两根

为A、B两点的横坐标，故x1＋x2＝5，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所

以|FA|＋|FB|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7

12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于________

解析：因线段AB过焦点F，则|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，故|AB|＝x1＋x2＋2＝8.

13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x2

－9y＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．

解：双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为

916

2

x2y2

py2＝－2px(p>0)，则－＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x.

2

(2)由于P(2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.

14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点

A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OMπ

与OP的夹角为，求△POM的面积．

4

解：设点M(，y1)，P(，y2)，

44

∵P，M，A三点共线，∴kAM＝kPM，即

y21y22

y1y2

1

＝4

＋1

y1－y2y11

＝，∴y1y2＝4.22，即2

y1y2y1＋4y1＋y24－4

444

y2y2π12

∴OMOP＝＋y1y2＝5.∵向量OM与OP的夹角为，π1π5∴|OM||OP|cos＝5.∴S△POM＝|OM||OP|sin＝.

4242

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