高一数学解三角形知识点总结及习题练习

高一数学解三角形知识点总结及习题练习

相信自己，你行的！

解三角形

一、基础知识梳理1正弦定理：asinAsinBsinCb2Rc2R=

b=

c=2R（R为△ABC外接圆半径），了解正弦定理以

下变形：

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCsinAa2RbsinB,sinB,sinC

a:b:csinA:sinB:sinCa

sinAcsinCabcsinAsinBsinC最常用三角形面积公式：SABC12aha12absinC12acsinB12bcsinA

2正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；（唯一解）

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）了解：已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:

3．余弦定理：a2bc2bccosAcosA2222bca22222

2bca2accosBcab2abcosC4．余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

2222cosBcosC2bccab2caabc22

2

2ab（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）：

（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解

可能不唯一）

自己决定自己的未来相信自己，你行的！

2[课前热身]

1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°2．在△ABC中，a2b2c2bc，则A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°

3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是()A.

4．(201*年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝________.5．

5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝2，a＝6，则△ABC的形状是________．3[考点突破]

33153153153B.C.D.4248

考点一正弦定理的应用

利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．

例1、(1)(201*年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a

＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．(2)满足A＝45°，a＝2，c＝6的△ABC的个数为________．

考点二余弦定理的应用

利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．π

例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

3

(1)若△ABC的面积等于3，求a，b的值；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．

考点三三角形形状的判定

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

自己决定自己的未来相信自己，你行的！

例3、(201*年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

互动探究

1若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．

方法感悟:方法技巧

解三角形常见题型及求解方法

abc

(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，

sinAsinBsinC

c.

(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦定理，求出角B，C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

ab

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C

sinAsinBacab

＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，

sinAsinCsinAsinB两解或无解的情况，其判断方法如下表：

失误防范

1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．

2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝

B＋CA

sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)

22

自己决定自己的未来相信自己，你行的！

等．

3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．

五、规范解答

(本题满分12分)(201*年高考大纲全国卷Ⅱ)在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝53

，cos∠ADC＝，求AD的长．135

3π

【解】由cos∠ADC＝>0知∠B相信自己，你行的！

π

∵0相信自己，你行的！

6△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.

1（Ⅰ）若b2c2a2bc，求cosA的值；

2BC2（Ⅱ）若A∈[，]，求sin2cos2A的取值范围.

232

7在△ABC中，求证：

8在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC.

abbac(cosBbcosAa)

自己决定自己的未来

扩展阅读：高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章解三角形

1、正弦定理：

在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有：

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：

①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc，sin，sinC；2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．sinsinsinCsinsinsinC②sin注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：C当无交点则B无解、

当有一个交点则B有一解、

a当有两个交点则B有两个解。b法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：bsinA当a

6、如何判断三角形的形状：

设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,

但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，

并测得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,

OC∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.

练习题

一、选择题

1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（B）

A．103

B．10O

OO

222222222BAD31

C．31D．103

2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为

A．52

B．213C．16

D．4

3、在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A（C）

A90B60C120D150

00004、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D）A．b=10，A=45°，B=70°B．a=60，c=48，B=100°C．a=7，b=5，A=80°D．a=14，b=16，A=45°5、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于(A)A．1∶2∶3

C．1：3：2

B．2∶3∶1D．3：1：2

6、若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是（C）A．5B．6二、填空题（每题5分,共25分）

C．7

D．8

7、在ABC中，已知sinA:sinB:sinC6:5:4，则cosA___________

abc8、在△ABC中，A=60°,b=1,面积为3，则=

sinAsinBsinC9、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD7，那么BC=27，且C60，又△ABC的210、在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c面积为33，则ab________________2三．解答题（2小题，共40分）13、在ABC中，sin(CA)1,sinB=

1.（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积.3

知识点巩固练习（一）

一、选择题

1．在△ABC中，若C90,a6,B30，则cb等于（）A．1B．1C．23D．23

2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．tanAD．

001tanA3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,

则△ABC的形状是（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

04．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60，

则底边长为（）A．2B．

3C．3D．2325．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）

A．30或60B．45或60C．120或60D．30或1506．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）

3

000000

A．90B．120C．135D．150二、填空题

1．在Rt△ABC中，C90，则sinAsinB的最大值是_______________。2．在△ABC中，若abbcc,则A_________。3．在△ABC中，若b2,B30,C135,则a_________。

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。三、解答题

1．在△ABC中，若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么？

2．在△ABC中，求证：

0022201*00abcosBcosAc()baba

3．在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

知识点巩固练习（二）

一、选择题

1．在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:12．在△ABC中，若角B为钝角，则sinBsinA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．在△ABC中，若A2B，则a等于（）

A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB

4．在△ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形5．在△ABC中，若(abc)(bca)3bc,则A()A．90B．60C．135D．1506．在△ABC中，若a7,b8,cosC000013，则最大角的余弦是（）141111A．B．C．D．

56780二、填空题

1．若在△ABC中，A60,b1,SABC3,则

abc=_______。

sinAsinBsinC2．若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB_____1（填>或

2．在锐角△ABC中，求证：tanAtanBtanC1。

3．在△ABC中，求证：sinAsinBsinC4cos

4．在△ABC中，若AB120，则求证：

5．在△ABC中，若acos

6

2ABCcoscos。2220ab1。bcacCA3b，则求证：ac2bccos22

知识点巩固练习（三）

一、选择题

1．A为△ABC的内角，则sinAcosA的取值范围是（）A．(2,2)B．(2,2)C．(1,2]D．[2,2]

ab等于（）cABABABABA．2cosB．2cosC．2sinD．2sin

22222．在△ABC中，若C90,则三边的比

03．在△ABC中，若a7,b3,c8，则其面积等于（）A．12B．

21C．28D．63204．在△ABC中，C90，0A45，则下列各式中正确的是（）

00A．sinAcosAB．sinBcosAC．sinAcosBD．sinBcosB

5．在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A（）A．90B．60C．120D．150

0000tanAa26．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）tanBb2A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形

二、填空题

1．在△ABC中，若sinAsinB,则A一定大于B，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC中，若cosAcosBcosC1,则△ABC的形状是______________。3．在△ABC中，∠C是钝角，设xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,则x,y,z的大小关系是___________________________。4．在△ABC中，若ac2b，则cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC______。35．在△ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,则B的取值范围是_______________。6．在△ABC中，若bac，则cos(AC)cosBcos2B的值是_________。

2三、解答题

22221．在△ABC中，若(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，请判断三角形的形状。

2．如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sinAsinC)(2ab)sinB,

求△ABC的面积的最大值。

3．已知△ABC的三边abc且ac2b,AC

222，求a:b:c

334．在△ABC中，若(abc)(abc)3ac，且tanAtanC为43，求角A,B,C的大小与边a,b,c的长

，AB边上的高

答案

知识点巩固练习（一）一、选择题1.C

btan300,batan30023,c2b44,cb23a2.A0A,sinA03.CcosAsin(4.D作出图形

5.Db2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是锐角，则

2AB,AB2,C2

1,A300或1500252827216.B设中间角为，则cos,600,18006001200为所求

2582二、填空题1.

111sinAsinBsinAcosAsin2A2220b2c2a212.120cosA,A1200

2bc23.62A15,00abbsinA62,a4sinA4sin1504sinAsinBsinB44.120a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，

a2b2c21,C1200令a7k,b8k,c13kcosC2ab2三、解答题

1.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosCcos(AB)cos(AB),2cosAcosB0

cosA0或cosB0，得A所以△ABC是直角三角形。

2或B2

a2c2b2b2c2a22.证明：将cosB，cosA代入右边

2ac2bca2c2b2b2c2a22a22b2)得右边c(

2abc2abc2ab

a2b2ab左边，

abba∴

abcosBcosAc()baba3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB∴sinAsin(2,即

2A2B0

B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

2∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC

知识点巩固练习（二）一、选择题1.CA6,B3,C2,a:b:csinA:sinB:sinC132::1:3:22222.AAB,AB，且A,B都是锐角，sinAsin(B)sinB3.DsinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB4.DlgsinAsinAlg2,2,sinA2cosBsinC

cosBsinCcosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,sin(BC)0,BC，等腰三角形

5.B(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,

22b2c2a21,A600bca3bc,cosA2bc22226.Ccab2abcosC9,c3，B为最大角，cosB二、填空题1.

222172391133,c4,a213,a13SABCbcsinAc3222

abca13239sinAsinBsinCsinA332

sin(B)22.AB,AB，即tanAtan(B)

222cos(B)2cosB11，tanA,tanAtanB1

sinBtanBtanBsinBsinC3.2tanBtanCcosBcosCsinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinA1cosBcosCsinAsinA24.锐角三角形C为最大角，cosC0,C为锐角

8433bca311045.60cosA

2bc6222(31)22222222三、解答题1.解：SABC221bcsinA3,bc4,22abc2bccosA,bc5，而cb

所以b1,c4

2.证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB∴sinAsin(2,即

2A2B0

2B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC,∴tanAtanBtanC1

sinAsinBsinC1

cosAcosBcosCABABcossin(AB)22ABABABAB2sincos2sincos2222ABABAB2sin(coscos)

222CAB2cos2coscos

222ABC4coscoscos

222ABC∴sinAsinBsinC4coscoscos

2223.证明：∵sinAsinBsinC2sin

a2acb2bcab4．证明：要证1，1，只要证2abbcaccbcac即abcab而∵AB120,∴C60

02220a2b2c22cosC,ab2c22abcos600ab

2ab∴原式成立。

CA3bccos22221cosC1cosA3sinB∴sinAsinC222即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB

5．证明：∵acos2∴sinAsinCsin(AC)3sinB即sinAsinC2sinB，∴ac2b

知识点巩固练习（三）

一、选择题

1.CsinAcosA2sin(A),

4而0A,2.B

4A452sin(A)1424absinAsinBsinAsinBcsinCABABAB2sincos2cos2221103.DcosA,A60,SABCbcsinA63224.DAB90则sinAcosB,sinBcosA，0A45,sinAcosA，45B90,sinBcosB

5.Cacbbc,bcabc,cosA,A120

22222201*00120sinAcosBsin2AcosBsinA,,sinAcosAsinBcosB6.B2cosAsinBsinBcosAsinBsin2Asin2B,2A2B或2A2B二、填空题

1.对sinAsinB,则2.直角三角形

ababAB2R2R1(1cos2A1cos2B)cos2(AB)1,21(cos2Acos2B)cos2(AB)0,2cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0

cosAcosBcosC0

3.xyzAB2,A2B,sinAcosB,sinBcosA,yz

cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

ACACACACcos4sincos2222ACACACACcos2cos,coscos3sinsin

2222221C2A则sinAsinC4sinsin23221cosAcosCcosAcosCsinAsinC

3AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin2

22ACAC2sin22sin24sin2sin211

2222tanAtanC25.[,)tanBtanAtanC,tanBtan(AC)

32tanAtanC1tanAtanCtanBtan(AC)

tan2B14．1sinAsinC2sinB,2sintan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanB

tan3B3tanB,tanB0tanB3B223

6．1bac,sinBsinAsinC,cos(AC)cosBcos2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sin2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinCcosAcosCsinAsinCcosB1cos(AC)cosB11

三、解答题

a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A,21.解：222absin(AB)bcosAsinBsinB

cosBsinA,sin2Asin2B,2A2B或2A2BcosAsinB∴等腰或直角三角形

2.解：2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,

asinAcsinC(2ab)sinB,a2c22abb2,

a2b2c22abc2ab,cosC,C4502ab2222

c2R,c2RsinC2R,a2b22R22ab,sinC2R22R2abab2ab,ab222221222R2SabsinCab,Smax24422另法：S212R2122absinCab2RsinA2RsinB24422RsinA2RsinB2R2sinAsinB412R2[cos(AB)cos(AB)]

2122R2[cos(AB)]22

22R2(1)22Smax212R此时AB取得等号23.解：sinAsinC2sinB,2sinACACACACcos4sincos2222sinB1AC2B14BB7cos,cos,sinB2sincos222424224AC2,ACB,A3BB,C4242sinAsin(33371B)sincosBcossinB4444

sinCsin(B)sincosBcossinB444714a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)

4.解：(abc)(abc)3ac,a2c2b2ac,cosB1,B6002tan(AC)tanAtanC33,3,

1tanAtanC1tanAtanCtanAtanC23，联合tanAtanC3300tanA23tanA1A75A45或或得，即00tanC1tanC23C45C75当A75,C45时，b00434(326),c8(31),a8sinA4346,c4(31),a8sinA当A45,C75时，b00000∴当A75,B60,C45时，a8,b4(326),c8(31),当A45,B60,C75时，a8,b46,c4(31)。

解三角形单元测试题

一、选择题：

1、在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，那么B等于（）

A．30°B．45°C．60°D．120°2、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（）

A．103

B．1000031

C．31D．103

）

3、在△ABC中，a＝23，b＝22，B＝45°，则A等于（

A．30°B．60°C．30°或120°D．30°或150°4、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（）

A．无解B．一解C．二解D．不能确定5、在△ABC中，已知abcbc，则角A为（）

A．

2223B．

6C．

23D．

2或33

6、在△ABC中，若acosAbcosB，则△ABC的形状是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（）

A．8,10

B．

8,10

C．

8,10

D．

10,8

8、在△ABC中，已知2sinAcosBsinC,那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形9、△ABC中，已知ax,b2,B60°，如果△ABC两组解，则x的取值范围()

43310、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：①a:b:c4:5:6

A．x2

B．x2

C．2xD．2x②a:b:c2:5:6③a2cm,b2.5cm,c3cm④A:B:C4:5:6其中成立的个数是()

A．0个B．1个C．2个D．3个11、在△ABC中，AB4333,AC1,∠A＝30°，则△ABC面积为（）

34

C．

A．

32B．

3或32D．

33或4212、已知△ABC的面积为

A．30°

3，且b2,c3，则∠A等于（）2

D．60°或120°

B．30°或150°C．60°

13、已知△ABC的三边长a3,b5,c6，则△ABC的面积为（）

A．14

B．214

C．15

D．215

A

14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空

20米150030米地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则

购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元BC15、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小

时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）

A．

150分钟7B．

15分钟7C．21.5分钟D．2.15分钟

16、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000

米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（）

A．5000米

B．50002米C．4000米

D．40002米

17、在△ABC中，asin10°，bsin50°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为（）

A．

164B．

132C．

116D．

18

18、若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是（）A．5B．6C．7D．8

19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）

A．1x5B．5x13C．0x20、在△ABC中，若

5D．13x5

cosAcosBsinC，则△ABC是（）abcB．等腰直角三角形

D．等边三角形

A．有一内角为30°的直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形

二、填空题

21、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c22、在△ABC中，a33,c2,B150°，则b＝

23、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，ab12，则a＝；b＝24、已知△ABC中，a181,b209,A121°，则此三角形解的情况是25、已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为.

26、在△ABC中，bc:ca:ab4:5:6，则△ABC的最大内角的度数是三、解答题

27、在△ABC中，已知AB102，A＝45°，在BC边的长分别为20，下，求相应角C。

28、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x23x20的两个根，且2cosAB1。

2203，5的情况3求：(1)角C的度数；(2)AB的长度。

29、在△ABC中，证明：

cos2Acos2B11。a2b2a2b230、在△ABC中，ab10，cosC是方程2x3x20的一个根，求△ABC周长的最小值。

解三角形单元测试答案

一、选择题

1-5.CBCBC6-10.DBBCC11-15.BDBDA16-20.ACCBB二、填空题

21、1:3:222、723、36126,1262424、无解25、126、120°三、解答题

2ABsinA10BCBC1（1）当BC＝20时，sinC＝；BCABACC30°

227、解：由正弦定理得sinC（2）当BC＝

3203时，sinC＝；

23ABsin45BCABC有两解C60或120°

（3）当BC＝5时，sinC＝2>1；C不存在

128、解：（1）cosCcosABcosABC＝120°

2

（2）由题设：

ab2ab2223

ABACBC2ACBCcosCab2abcos120

222a2b2ababab2322210

sin2Asin2Bcos2Acos2B12sin2A12sin2B1122229、证明：222222abababbasin2Asin2B由正弦定理得：22abcos2Acos2B112222abab230、解：2x3x20x12,x221212又cosC是方程2x3x20的一个根cosC由余弦定理可得：cab2ab则：c100a10aa575

2222212abab2当a5时，c最小且c7553此时abc1053

△ABC周长的最小值为105331、解：（1）由sinAsinBsinCcosAcosB可得2sin2C1cosC0即C＝90°21abc1sinAsinB12221sinA242212△ABC是以C为直角顶点得直角三角形（2）内切圆半径r212内切圆半径的取值范围是0,

1．常见三角不等式

（1）若x(0,(2)若x(0,2)，则sinxxtanx.)，则1sinxcosx2.2(3)|sinx||cosx|1.2.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

3.正弦、余弦的诱导公式

nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,sin，tancot1.cos(n为偶数)(n为奇数)

nn(1)2cos,cos()n12(1)2sin,(n为偶数)(n为奇数)4.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tan()tantan.

1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

定,tanb).a45.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

tan22tan.

1tan2

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