高中数学知识点总结_三角函数公式大全

高中数学知识点总结_三角函数公式大全

要点重温之三角函数的图象、性质

1．研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。[注意]：函数y=|Asin(ωx+φ)|的周期是函数y=Asin(ωx+φ)周期的一半。

[举例]函数ysin(x)cos(x)在x2时有最大值，则的一个值是,

22A、

4B、

2C、

1223D、

34

2解析：原函数可变为：y=（k-1）+

4sin(x2)，它在x2时有最大值，即22=2k+

，k∈Z，选A。（万不可分别去研究sin(2x)和cos(2。x)的最大值）

[巩固]①函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是；②函数y=tanx—cotx的周期为；③函数y=|

12+sim

x2|的周期为。

2．在解决函数y=Asin(ωx+φ)的相关问题时，一般对ωx+φ作“整体化”处理。如：用“五

3点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，应取ωx+φ=0、、、、2等，而不是取

22x等于它们；求函数y=Asin(ωx+φ)的取值范围时，应由x的范围确定ωx+φ的范围，再观察三角函数的图象（或单位圆上的三角函数线），注意：只需作出y=sin(把ωx+φ视为一个整体，即)的草图，而无需画y=Asin(ωx+φ)的图象；求函数y=Asin(ωx+φ)（ω>0）的单调区间时，也是视ωx+φ为一个整体，先指出ωx+φ的范围，再求x的范围；研究函数

y=Asin(ωx+φ)的图象对称性时，则分别令ωx+φ=k+和ωx+φ=k（k∈Z）,从而得

2到函数y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x，0）对

2称（k∈Z），（正、余弦函数图象的对称轴平行于Y轴且过函数图象的最高点或最低点，而对

k对称，关于点（

k称中心是图象与“平衡轴”的交点）;对函数y=Acos(ωx+φ)也作完全类似的处理。

[举例1]画出函数ysin(2x)在[0，]内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。

6解析：作函数ysin(2x6)的图象不是先作函数ysinx的图象，再由它伸宿、平移得

3]内取x=0、、、、这五点，到，而是直接描点作图。但不是在[0，而是视2x4246为一个角，2x6∈[

6，

136]，取2x6=

6、

2、、

32、2、

136六个点，

具体列表如下：

2x626512322321112136xy012601210-描点、作图略。不难看出直线x6、x23都不是函数的对称轴，点（

512，0）、（

1112，

0）也都不是函数图象的对称中心，因为定义域不关于它们对称，所以无对称轴、对称中心。[举例2]已知函数ysinxcosx3sin2（1）指出函数的对称轴、对称中心；x，

23,（2）指出函数的单调递增区间；（3）函数在(最大、最小值时的x的值。解析：y2sin(2x3)-

12]上的最大、最小值，并指出取得

32，（1）对称轴：由2x3=k+

2得xk2k212，kZ；

对称中心：由2x3=k得x3k26，∴函数图象的对称中心为（

25126，-

32）

kZ。（2）由2x∈[2k-

2，2k+]得x∈[k3，k123]，kZ，

,∴[k512，k612]，kZ。（3）将2x视为一个角，∵x(6212]12∴∈(,]，画函数ysin的草图，观察∈(,]时函数值的范围为[-1，

12]，

当且仅当=2时sin取得最小值-1，=

126时sin取得最大值

32；即x=512时原函

数最小值-2-

32，x=时原函数最大值1-。

5121112[巩固][巩固]有以下四个命题：①函数f(x)=sin(

3－2x)的一个增区间是[，]；②若3函数f(x)=sin(x+)为奇函数，则为的整数倍；③对于函数f(x)=tg(2x+f(x1)=f(x2)，则x1－x2必是的整数倍；④函数y=2sin(2x+其中正确的命题是（填上正确命题的序号）[迁移]函数f(x)=2sin2x+3sin2x-1（>0）

①若对任意x∈R恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2),求|x1-x2|的最小值；②若对任意x∈R恒f(x)≤f(1)，试判断f(x+1)的奇偶性；

③若f(x)在[0,]上是单调函数,求整数的值；

4)，若

3)的图像关于点（

3，0）对称。

3．已知函数y=Asin(ωx+φ)+B（A>0，ω>0）的图象求表达式，一般先根据函数的最大值

M、最小值m（最高、最低点的纵坐标），确定A、B（A+B=M,-A+B=m）；根据相邻的最大、最

小值点间的距离d（最高、最低点的横坐标之差的绝对值）确定ω(d)，最后用最高

（或最低）点的坐标代入表达式确定φ。[举例]已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00,0(Ⅱ)f(x)=sin(2x+x+123)=cos(

6-2x)=cos(2x-

6)=cos[2(x-

12)],方案一：先左移

x212(x变成

)得到函数y=cos2x,再纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x变成

x2）得到函数y=cosx；

6方案二：先纵坐标不变横坐标变为原来的2倍（x变成6）得到函数y=cos(x-)，再左移

(x变成x+

6)得到函数y=cosx。注：（）图象变换的问题要特别注意题目要求由谁变到

谁，不要搞错了方向；（）变换的源头和结果需化为同名的三角函数且角变量的系数同号（用诱导公式）才能实施；（）如果已知变换的结果探究变换的源头，可以“倒行逆施”。[巩固1]把函数y=cosx-3sinx的图象向左平移m个单位（m＞0）所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是

25A.B.C.D.

6336[巩固2]将函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|BsinA>sinB；sin(B+C)=sinA、cos(B+C)=-cosA、cos

BC20

=sin

A2、sin

BC2=cos

A2；△ABC中

cosA+cosB>0,cosB+cosC>0,cosA+cosC>0；在锐角三角形△ABC中sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA等；若A、B是钝角三角形两锐角，则sinA

简答

1．[巩固]①

2②

2③4；2．[巩固]①②④，[迁移]f(x)=2sin(2x-

6)，①由f(x1)

≤f(x)≤f(x2)知：x1、x2分别是函数y=f(x)的最小值、最大值点，最小、最大值点间最近的距离为半个周期，得函数y2sin在[-∴62，②偶，③视2x-262为一个角，则∈[--6643，

2-

6]，

，-

6]上单调，则

≤

2，得0

扩展阅读：高中数学知识点总结大全

高中数学知识点总结大全一一．三角函数基本知识

一、基本概念、定义：

1.角的概念推广终边角：2.弧度制：

3.任意角的三角函数：②三角函数线：

③同角三角函数关系式：

④诱导公式：

二、基本三角公式：1．和、差角公式

2．二倍角公式

倍角公式变形：降幂公式3．半角公式(书P45～46)

4．万能公式：．．

应用公式解题的基本题型：基本技巧：

三、三角函数性质

四、y＝Asin(ωx＋ψ)的图像和性质：

五、反三角定义：；

六、数学思想方法：（1）数形结合思想，（2）整体思想，

1．三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。（2）三角函数

①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像，了解三角函数的周期性。

③借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）。

④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sinx/cosx=tanx。⑤结合具体实例，了解y=Asin（wx+f）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（wx+f）的图像，观察参数A，w，f对函数图像变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

二．函数与常见初等函数

（1）函数

①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如，图像法、列表法、解析法）表示函数。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。

⑤学会运用函数图像理解和研究函数的性质（参见例1）。（2）指数函数

①通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。

②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。（3）对数函数

①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

③知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数。（a>0,a≠1）（4）幂函数

通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的图像，了解它们的变化情况。（5）函数与方程

①结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

②根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。（6）函数模型及其应用

①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。（7）实习作业根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，1、函数的概念与基本性质，主要有函数的概念与运算、单调性、奇偶性与对称性、周期性、最值与值域、图像等。

2、一些简单函数的研究，主要是二次函数、幂、指、对函数等。

3、函数综合与实际应用问题，如函数-方程-不等式的关系与应用，用函数思想解决的实际应用问题等

三．集合与简易逻辑（1）集合的含义与表示

①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系。

②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。（2）集合间的基本关系

①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。②在具体情境中，了解全集与空集的含义。（3）集合的基本运算

①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。高中数学知识要点总结概述大全二

一．平面向量基本知识

一、向量知识：（1）向量的运算：

（2）平面向量的基本定理：（3）夹角、模、距离等计算：夹角：

（4）线段的定比分点坐标公式：（5）平移公式

二、解斜三角形（1）正弦定理：

（2）余弦定理：（3）解三角形的几种类型及步骤：

解三角形（约8课时）

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

2．数列（约12课时）（1）数列的概念和简单表示法

通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数。（2）等差数列、等比数列①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题（参见例1）。④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

二．直线和圆的方程

直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。（2）圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。（4）空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

三．不等式

1.不等式的性质

2.算术平均数与几何平均数3.不等式的证明4.不等式的解法

5.含绝对值不等式的解法6.求最值的问题

1．不等式（约16课时）（1）不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

（2）一元二次不等式①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。（参见例2）③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。（参见例3）（4）基本不等式：（a,b≥0）①探索并了解基本不等式的证明过程。②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题（参见例4）。说明与建议

1．解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。

2．等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

3．在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和复杂程度。

4．一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图像求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

5．不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。

6．线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。

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