高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)

高一数学上册 第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)

〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，

N叫做真数．

②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．

N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中

0,N0，那么

MlogaNloga(MN)

M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)

④

alogaNN

nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)

logba【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数a1yx10a1yx1ylogaxylogax图象O(1,0)O(1,0)xx定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念

设函数果对于

yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如

y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子

x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯

上改写成

yf1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数②函数

yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．

③若P(a,b)在原函数④一般地，函数

yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

一、选择题：1．

log89的值是log23A．

（）

23B．1C．

32D．2

2．已知x=2+1,则log4(x3－x－6)等于

A.

（）C.0

D.

32B.

54123．已知lg2=a，lg3=b，则

lg12等于lg15（）

A．

2ab

1abB．

a2b

1abC．

2ab

1abD．

a2b

1ab4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则x的值为

yA．1

B．4

（）C．1或4C．(C．ln5

D．4或-1（）

5.函数y=log1(2x1)的定义域为

2A．(

1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e

1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）

y6.已知f(ex)=x，则f(5)等于

A．e5

7．若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,则f(x)的图像是

yyyABCD

8．设集合A{x|x10},B{x|log2x0|},则AB等于

A．{x|x1}C．{x|x1}

B．{x|x0}D．{x|x1或x1}

2OxOxOxOx（）

9．函数ylnx1,x(1,)的反函数为（）x1ex1,x(0,)B．yxe1ex1,x(,0)D．yxe1ex1,x(0,)A．yxe1ex1,x(,0)C．yxe1二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg

11log23＋lne＋2=10011．函数y=log4(x－1)2(x＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1x)2－log1x2＋5在2≤x≤4时的值域为______．

44三、解答题：

13．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．

14．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

15．已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？

一、选择题：ABBCBCDCBAAB13.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.

25y84

13，14.y=1－2x(x∈R)，217.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1

a>0所以2-ax为减函数，要是Y=loga(2-ax)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a*0>02-a*1>0即得a

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〖2.2〗对数函数

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其

中a叫做底数，N叫做真数．

②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logbaab．

（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．

（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN)

②减法：logaMlogaNlogMaN

③数乘：nlogaMlogaMn(nR)

log④

aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)

⑥换底公式：logbNaNloglog(b0,且b1)

ba【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数函数名称对数函数定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数a10a1yx1ylogx1axyylogax图象(1,0)OO(1,0)xx定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(0x1)a变化对在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴④一般地，函数

yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

图象的影响(6)反函数的概念

设函数

yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子

x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一

确定的值和它对应，那么式子

x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数

yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式

yf(x)中反解出

xf1(y)；

③将xf1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数②函数

yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(x)的图象

"1③若P(a,b)在原函数上．一、选择题：1．log89log的值是

23A．

23B．1

2．已知x=2+1,则log4(x3

－x－6)等于

A.3B.5243．已知lg2=a，lg3=b，则lg12lg15等于A．

2ab1ab

B．

a2b1ab

D．a2b1ab

4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则xy的值为A．1

B．4

5.函数y=log1(2x1)的定义域为

2A．(12，＋∞)B．［1，＋∞)1)

6.已知f(ex)=x，则f(5)等于

C．

32（）C.0

（）

C．

（）C．1或4C．(

12，1]（）

D．2

D.122ab1abD．4或-1）

D．(－∞，

（）

A．e5B．5e

C．ln5D．log5e7．若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,则f(x)的图像是（）

yyyyABCD

OxOxxOOx

8．设集合A{x|x210},B{x|lo2xg0|}则,AB等于

（）A．{x|x1}B．{x|x0}

C．{x|x1}

D．{x|x1或x1}

9．函数ylnx1x1,x(1,)的反函数为（）A．yex1ex1,x(0,)B．yex1ex1,x(0,)C．yex1ex1ex1,x(,0)D．yex1,x(,0)二、填空题：

10．计算：log2.56.25＋lg

1100＋lne＋21log23=

（11．函数y=log4(x－1)2(x＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1x)2－log1x2＋5在2≤x≤4时的值域为______．

44三、解答题：

13．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．

14．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

15．已知f(x)=x2

＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求

实数a的值，并求此时f(x)的最小值？

一、选择题：ABBCBCDCBAAB13.132，14.y=1－2x(x∈R)，

15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.254y8

17.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1

a>0所以2-ax为减函数，要是Y=loga(2-ax)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1

又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a*0>02-a*1>0即得a

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