高中数学公式总结全面版

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高中数学公式总结

一、

集合与函数

1、若集合A中有n(nN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n，所有非空真子集的个数是

2n2。ABABAABB;

b24acb22、二次函数yaxbxca(x)的图象的对称轴方程是

2a4a2xb2a，顶点坐标是

b4acb22a，4a。3、（1）loga10,logaa1(a>0,a≠1,);(2)logaM-logaNloga(3)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);二、三角函数

1、以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r，则sin=2、

MlogaM+logaNlogaMN;Nxyy，cos=，tan=，

rrx22同角三角函数的关系中，平方关系是：sincos1，倒数关系是：tgctg1，相除

sin，cos关系是：tg3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。

（其中A0，0）4、函数yAsin(的最大值是AB，最小值是BA，周期是x)BT2，频率是f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线xk(kZ)，22凡是该图象与直线yB的交点都是该图象的对称中心。5、

三角函数的单调区间：

223(kZ)；ycosx(kZ)，ysin递减区间是2k，x的递增区间是2k，2k2k22的递增区间是2k，2k(kZ)，递减区间是2k，2k(kZ)，

6、和角、差角公式：sin()sincoscossincos()coscossinsin

tan()tantan

1tantan22227、二倍角公式是：sin2=2sincoscos2=cossin=2cos1=12sin

2tan2=2tan。9、升幂公式是：1cos2cos1cos2sin2。

1tan22210、降幂公式是：sin2sincostan001612323301cos21cos22cos。11．特殊角的三角函数值：222353346243212233101222221122300122222不不3110存存333在在abc2RsinAsinBsinC22214、余弦定理：第一形式，b=ac2accosB

a2c2b2第二形式，cosB=

2ac1115、△ABC的面积用S表示，①Saha；②SbcsinA；

2213、正弦定理（其中R为三角形的外接圆半径）：三、不等式

1、两个正数的均值不等式是：

abab2abab112ab2a2b222、两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

四、数列

n(a1an)1=na1n(n1)d。22na1(q1)nn12、等比数列的通项公式是ana1q，前n项和公式是：Sna1(1q)

(q1)1q1、等差数列的通项公式是ana1(n1)d，前n项和公式是：Sn3、若m、n、p、q∈N，且mnpqr2，那么：当数列an是等差数列时，有amanapaq2ar；当数列an是等比数列时，有amanapaqar

2五、解析几何1、2、3、4、5、

λ=

同一坐标轴上两点距离公式：ABxBxA数轴上两点间距离公式：ABxBxA直角坐标平面内的两点间距离公式：P1P2若点P分有向线段P1P2成定比λ，则λ=

(x1x2)2(y1y2)2

P1PPP2若点P1P2成定比λ，则：1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，点P分有向线段Pxx1yy1xx2yy2=；x=1，y=1x2xy2y1133xx2x3y1y2y3。若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心G的坐标是，1y2y1。

x2x17、直线方程的几种形式：点斜式：yy0k(xx0)，斜截式：ykxb

6、求直线斜率的定义式为k=tan，两点式为k=

yy1xx1xy，截距式：1，一般式：AxByC0

y2y1x2x1ab经过两条直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0

两点式：8、

ABC1C210、两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20距离d

22AB点P(x0,y0)到直线l：AxByC0的距离：dAx0By0C11、圆的标准方程：(xa)(yb)r

圆的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0)

2222222D2E24FED其中，半径是r，圆心坐标是，222xarcos(是参数)。圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程是：ybrsin222213、圆xyr的以P(x0,y0)为切点的切线方程是：x0xy0yr

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种：

①代数法（判别式法）：Δ>0，=0，11chS(cc)h22正棱锥侧面积：，正棱台侧面积：；圆柱侧面积：Sch2rh，圆锥侧面

11SclrlS(cc)l(Rr)l2S4r22积：，圆台侧面积：，球的表面积：。

5、几个基本公式：弧长公式：lr（是圆心角的弧度数，>0）；

1Slr2扇形面积公式：；

S

七、平面向量

１．运算性质：abba,abcabc,a00aa２．坐标运算：设

ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

ABx2x1,y2y1.

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则

3．实数与向量的积的运算律:

aa,aaa,ababax,y，则λax,yx,y，设

4．平面向量的数量积：

0ababcosa0,b0,01800，0a0.定义：

abba,ababab，运算律:

1122,则坐标运算:设

5.重要定理、公式:平面向量的基本定理

abcacbc

ax,y,bx,yabx1x2y1y2

如果

e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数

1,2,使a1e12e2两个向量平行的充要条件a//bab(R)

ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10

设

ax1,y1,bx2,y2，则

两个非零向量垂直的充要条件abab0abx1x2y1y20八、导数

1、2.函数函数

在

的导数：在点在点

处的导数的几何意义

在

处的切线的斜率

，相应的切线方程

.

处的导数是曲线

.是

3.几种常见函数的导数(1)(5)

C为常数.(2)

；

.(3)

.(6).2

;.3

.(4).

..

4.导数的运算法则

扩展阅读：高中数学公式总结大全【201*版】

高中数学公式总结大全【201*版】

1.元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空的真子集有2n2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)顶点式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

|f(x)MN2|MN2f(x)NMf(x)0

1f(x)N1MN.

8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k12b2ak1k22,或f(k2)0且

k1k2k2.

22a9.闭区间上的二次函数的最值

b2ab2二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x处及区

间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若xxb2ab2ap,q，()则fxnmibf(,)(f)x2axmaxma(f,)p()fq；

p,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minmininf(p),minff(q).p()f,，q(若)(2)当

xb2aa10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根.设f(x)x2pxq，则

p24q0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)02（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p4q0mpn2f(m)0f(n)0或或；

af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p.

m211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).

a0a0(3)f(x)ax4bx2c0恒成立的充要条件是b0或2.

b4ac0c012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n1）个小于不小于至多有n个至少有（n1）个对所有x，存在某x，p或qp且q成立不成立对任何x，不成立存在某x，p且q成立p或q

14.四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)x1x2f(x1)f(x2)x1x20f(x)在a,b上是增函数；0f(x)在a,b上是减函数.

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果

f(x)0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数

yf[g(x)]是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xab2;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线xaab2对称.

21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若

2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

nn122．多项式函数P(x)anxan1xa0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab2对称f(amx)f(bmx)f(abmx)f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线xab2m对称.

(3)函数yf(x)和yf1(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

1k[f127.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为yy[f1(x)b],并不是

(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1k[f(x)b]的反函数.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limg(x)xx01.

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，或f(xa)或f(xa)或

121f(x)1f(x)2(f(x)0)，

(f(x)0),

f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；

(3)f(x)11f(xa)(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；

(4)f(x1x2)f(x)的周期T=4a；

f(x1)f(x2)1f(x1)f(x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.30.分数指数幂

m(1)an1nam（a0,m,nN，且n1）.(2)amn1m（a0,m,nN，且n1）.

an31．根式的性质

（1）(na)na.

（2）当n为奇数时，aa；当n为偶数时，annnna,a0.|a|a,a032．有理指数幂的运算性质

(1)arasars(a0,r,sQ).(2)(ar)sars(a0,r,sQ).

(3)(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

bNbaN(a0,a1,N0).loga34.对数的换底公式

logaNlogmNlogmanm(a0,且a1,m0,且m1,N0).

nmlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

推论logab35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)logaMNnlogaMlogaN;nlogaM(nR).

m(3)logaM36.设函数f(x)log(ax2bxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为

2R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要

单独检验.

37.对数换底不等式及其推广若a0,b0,x0,x(1)当ab时,在(0,)和(，

1a1a1a,则函数ylogax(bx)

,)上ylogax(bx)为增函数.,)上ylogax(bx)为减函数.

1a1a(2)当ab时,在(0,)和(推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn2.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有xyN(1p).

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,(数列{an}的前n项的和为sna1a2an).anss,n2n1n40.等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN)；

*其前n项和公式为

snd2n(a1an)2n(a12na1d)n.

n(n1)2d

1241.等比数列的通项公式

an1n*ana1q1q(nN)；

q其前n项的和公式为a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)nsn.d1qd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭贷款)

每次还款xab(1b)nn(1b)1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

44．常见三角不等式

（1）若x(0,)，则sinxxtanx.

2)，则1sinxcosx2(3)|sinx||cosx|1.

(2)若x(0,2.45.同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=

sincos，tancot1.

46.正弦、余弦的诱导公式

n2n(1)sin,sin()

n122(1)cos,

(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)2s,n(1)cocos()n122sin,(1)n47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tan()tantan1tantan2.

2sin()sin()sinsin(平方正弦公式);cos()cos()cossin.asinbcos=

22absin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

22定,tanba).

48.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cossin2cos112sin.

2tantan2.21tan222249.三倍角公式

sin33sin4sin4sinsin(333)sin(3).

cos34cos3cos4coscos(3)cos(3).

tan33tantan13tan23tantan(3)tan(3).

50.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函数ytan(x)，xkcsinC2,kZ(A,ω,为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T51.正弦定理

asinAbsinB.

2R.

52.余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB;

222cab2abcosC.22222253.面积定理（1）S（2）S1212aha12bhb112chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

1casinB.

absinC12(3)SOAB2222(|OA||OB|)(OAOB).bcsinA54.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

C22AB22C22(AB).

55.简单的三角方程的通解

sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特别地,有

sinsink(1)(kZ).

kcoscos2k(kZ).

tantank(kZ).56.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.tanxa(aR)x(karctana,ktanxa(aR)x(k2),kZ.

2,karctana),kZ.

57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10.53.a与b的数量积(或内积)ab=|a||b|cosθ．61.ab的几何意义

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=(x1x2y1y2).63.两向量的夹角公式

x1x2y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).cos2222x1y1x2y264.平面两点间的距离公式dA,B=|AB|2ABAB2(x2x1)(y2y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.线段的定比分公式

设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,是实数，且P1PPP2，则x1x2xOP1OP21OP1yy1y211OPtOP1(1t)OP2（t）.

167.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x33,y1y2y33).

68.点的平移公式

""xxhxxh""OPOPPP.""yykyyk"注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的

""""坐标为(h,k).

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为yf(xh)k.

"""(3)图象C"按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C"的函数解析式为yf(xh)k.

(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C",则C"的方程为

.f(xh,yk)0(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则（1）O为ABC（2）O为ABC（3）O为ABC（4）O为ABC222的外心OAOBOC.

的重心OAOBOC0.

的垂心OAOBOBOCOCOA.

的内心aOAbOBcOC0.

的A的旁心aOAbOBcOC.

（5）O为ABC71.常用不等式：

（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）柯西不等式

(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.

22222（5）ababab.72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值

22p；

s.

214推广已知x,yR，则有(xy)(xy)2xy（1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy|最小；当|xy|最小时,|xy|最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b22224ac0，)如果a与

axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与axbxc异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

xaxa222axa.

xaxaxa或xa.

275.无理不等式f(x)0（1）f(x)g(x)g(x)0.

f(x)g(x)f(x)0f(x)0（2）f(x)g(x)g(x)0.或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0（3）f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]276.指数不等式与对数不等式(1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1x2x1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

78.直线的五种方程

（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式(4)截距式

yy1y2y1xyxx1x2x1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).

1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1||l2A1A2B1B2C1C2；

②l1l2A1A2B1B20；80.夹角公式(1)tan|k2k11k2k1|.

(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tan|A1B2A2B1A1A2B1B2|.

(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是81.l1到l2的角公式(1)tank2k11k2k12.

.

(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)(2)tanA1B2A2B1A1A2B1B2.

(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).直线l1l2时，直线l1到l2的角是

2.

82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线

xx0),其中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0,λ是参变量．

83.点到直线的距离

d|Ax0By0C|22AB84.AxByC0或0所表示的平面区域

(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域

设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分；(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

（1）圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.

（2）圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).

xarcos（3）圆的参数方程.

ybrsin（4）圆的直径式方程(xx1)(xx)(yy)(y2y)(0圆的直径的端点是21A(x1,y1)、B(x2,y2)).

87.圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyAB的方程,λ是待定的系数．

c0是直线

(2)过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

(3)过圆C1:x2y2D1xE1yF10与圆C2:x2y2D2xE2yF20的交

2222(xyDxEyF)0,λ是待定的点的圆系方程是xyD1xE1yF1222系数．

88.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种若d(ax0)(by0)，则

22dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:dr相离0;dr相切0;dr相交0.

AaBbC22其中d.

AB90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2ddr1r2外离4条公切线;dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线;dr1r2内切1条公切线;0dr1r2内含无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆xyDxEyF0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

x0xy0yD(x0x)2E(y0y)2F0.

E(y0y)2F0表示过两个切点

当(x0,y0)圆外时,x0xy0yD(x0x)2的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆x2y2r2．

①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr2;②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2.92.椭圆93.椭圆

xaxa2222ybyba2222xacos.1(ab0)的参数方程是ybsin1(ab0)焦半径公式)，PF2e(22222c94．椭圆的的内外部

PF1e(xa2cybyb2222x).

（1）点P(x0,y0)在椭圆（2）点P(x0,y0)在椭圆95.椭圆的切线方程(1)椭圆

xa22xaxa1(ab0)的内部1(ab0)的外部x0aax02222y0bby02221.1.

2xayb22221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是yb22x0xa2y0yb21.

（2）过椭圆

x0xa21(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

y0yb21.

（3）椭圆

A2xa22yb221(ab0)与直线AxBy0C相切的条件是

a2Bb22.c2296.双曲线

xaayb2221(a0,b0)的焦半径公式

a2)|，PF2|e(x)|.

cc97.双曲线的内外部PF1|e(x(1)点P(x0,y0)在双曲线(2)点P(x0,y0)在双曲线

xax222yby2221(a0,b0)的内部x0ax0222y0by02221.

21(a0,b0)的外部221.2abab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为

xa22bayb221渐近线方程：

xaybxa22yb220yxa22bax.

(2)若渐近线方程为y(3)若双曲线与

x22x0双曲线可设为yb22.

ab轴上，0，焦点在y轴上）.

99.双曲线的切线方程

y221有公共渐近线，可设为

xa22yb22（0，焦点在x

(1)双曲线

xa22xayb22221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是yb22x0xa2y0yb21.

（2）过双曲线

x0xa21(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

y0yb21.

（3）双曲线

Aa22xa22yb221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是

Bb22.c

p2100.抛物线y22px的焦半径公式抛物线y22px(p0)焦半径CFx0过焦点弦长CDx12.

p2x2p2x1x2p.

101.抛物线y2px上的动点可设为P(y2px.

2y22p,y)或P(2pt,2pt)或P(x,y)，其中

2102.二次函数yaxbxca(x点坐标为(22b2a)24acb4ab2a2（1）顶(a0)的图象是抛物线：4acb14a2b2a,4acb4a2（2）焦点的坐标为()；,（3）准线方程是)；

y4acb14a103.抛物线的内外部

.

(1)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0).点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0).(2)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0).点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0).(3)点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0).点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0).点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0).104.抛物线的切线方程

22222222222222

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