高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)

高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)

解题技巧

技巧一：凑项

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：

技巧三：分离

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均值不等式归纳总结

1.(1)若a,bR，则a时取“=”）

2.(1)若a,bR*，则ab2ab2b2ab2(2)若a,bR，则abab222（当且仅当ab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）

ab(3)若a,bR，则ab2*2(当且仅当ab时取“=”）

3.若x0，则x若x0，则x1x1x）2(当且仅当x1时取“=”

2

(当且仅当x1时取“=”）

1x2或x1x-2若x0，则x14.若abx2即x(当且仅当a时取“=”）

ba-2b时取“=”）

0，则ab2

ba(当且仅当aab2bab若ab0，则5.若a,bR，则(

abba22即2ba2或(当且仅当a时取“=”）

b时取“=”）

ab2)ab2（当且仅当ab『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和

为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x1

2＋2x2

2）y＝x＋1

x（解：(1)y＝3x2＋≥2

22x1

(2)当x＞0时，y＝x＋≥2

x1

3x2＝6∴值域为[6，+∞）

22x1

x＝2；x

1

x=－2x

111

当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2

xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x5，求函数y4x2414x5的最大值。

14x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)4x2要进行拆、凑项，

54不是常数，所以对

x,54x0，y4x21154x4x554x12313

1。

当且仅当54x54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1.当解析：由

时，求yx(82x)的最大值。知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为

定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

当评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0解：∵0x3232，求函数y4x(32x)的最大值。∴32x0∴

92x32xy4x(32x)22x(32x)2222x

当且仅当2x32x,即x

技巧三：分离例3.求yx7x10x12330,时等号成立。42(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当

,即

时,y2（x1)4x159（当且仅当x＝1

时取“＝”号）。

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

y(t1)7(t1）+10t2=t5t4t2tt4t4t5

当,即t=时,y259（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)的单调性。例：求函数yx5x422Ag(x)B(A0,B0)，g(x)恒正

xax的值域。解：令因t0,t22x4t(t2)，则yx5x421x42t1t(t2)

x421t1，但t1t1t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故

y52。

5所以，所求函数的值域为,。2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）yx3x1x2,(x0)（2）y2x1x3,x3(3)y2sinxx231sinx,x(0,)

2．已知0的最大值.

x1，求函数yx(1x)的最大值.；3．0，求函数yx(23x)条件求最值

1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是.

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

解：当3a3和3bab都是正数，3a3b≥233ab23bab6

3时等号成立，由ab2及3a3得ab1即当ab1时，3a3b的

最小值是6．变式：若log4xlog4

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

y2，求

1x1y的最小值.并求x,y的值2：已知x0,y0，且1x9y1，求xy1x9y的最小值。

xy1x9xy2y9xy2xy12错．解．：

xyminx0,y0，且

1，故

12。

xy错因：解法中两次连用均值不等式，在xy21x9y29xy等号成立条件是xy，在

等号成立条件是1

x9y

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因

此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：x0,y0,19x19y9x10610161，xyxyxyxyy

16。

当且仅当

yx9xy时，上式等号成立，又

1x9y1，可得x4,y12时，xymin变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

xy(2)已知a,b,x,yR且abxy1，求xy的最小值

技巧七

已知x，y为正实数，且x2＋

y22

＝1，求x1＋y2的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

1

a2＋b2

2。

同时还应化简

1＋y2中y2前面的系数为，x2

1y2＋22

1＋y2＝x

1＋y2

2＝2x

下面将x，1y2

＋分别看成两个因式：22x2＋(

y2y21

＋)2x2＋＋22223

＝＝即x1＋y2＝

22421

x

1y2

＋≤222x

1y23

＋≤224

技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

1

的最小值.

ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－2b2＋30b法一：a＝，ab＝b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥

ttt2

16

t＝8

t∴ab≤18∴y≥

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。18

2ab∴30－ab≥

1

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥222ab

令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤3∴ab≤3

2，ab≤18，∴y≥

18

ab22

1

点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；ab（a,bR）②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab2ab（a,bR），这样将已知条件转

换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，简单

3x＋25

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

3x

2y＝10＋2

3x

2y≤10＋

2y≤

2

（3x）2＋（2y）2＝

2

3x＋2y＝

a＋b2

≤

a2＋b2

2

，本题很

(3x)2(2y)2＝10＋(3x＋2y)＝∴W≤20＝25变式:求函数y2x152x(12x52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y(2x1252x)42(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8y222

又y0，所以032当且仅当2x1=52x，即x时取等号。故ymax22。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2bc22abbcca

1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、cR，且abc1。求证：111118abc1分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111abc2aaabca，可由此变形入手。

bca2bca11aabc1。解：b、cR，a、1aa。同理11b2acb1，1c2abc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

11112bc2ac2ababc。当且仅当11183abcabc时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知x0,y0且

1x9y1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

9xky1

解：令xyk,x0,y0,110k23k1x9y1，xykx9x9yky1.10kykx。k16，m,应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若ab1,Plgalgb,Q12(lgalgb),Rlg(ab2)，则P,Q,R的大小关系

是.

分析：∵ab1∴lga0,lgb0

Q12（lgalgb)lgalgbp

Rlg(ab2)lgab12lgabQ

∴R>Q>P。

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