期末考试总结之数学篇,举一反三,题型归类学习

期末考试总结之数学篇,举一反三,题型归类学习

期末考试总结之数学篇举一反三，题型归类学习学生：周同学老师：平盟于老师记录人：贾某科目：高一数学

于老师针对平时试卷、作业、本次期末考试试卷以及学生和家长反映的情况，总结分析了孩子在学习数学中遇到的瓶颈，以及造成的原因。在此基础上，介绍了为周同学量身定做的辅导规划方案，并征得了家长和学生的认可和肯定。此外，于老师针对孩子的期末考试试卷，重点讲解了孩子通过考试所反映出的孩子数学学习中重大的知识疏漏，并对问题进行归类，讲解了整类问题的解题方法和思路。在孩子理解和总结之后，于老师提供给孩子自己精选的该类型的题以及相关的变型题目，供孩子练习。最后老师总结了本次课讲解的归类提醒的解题方法和思路，以及相关知识点的梳理。同时给孩子留了相关的习题作业，帮助孩子巩固所学知识。

扩展阅读：考研数学201*高分必看：各种题型经典归类总结考试点

空间曲面的表面积的题型与解法

一、计算曲面面积的系统解题方法1．

如果曲面由显示函数zfx,y给出

SDxyzz1dxdyxy222．如果曲面有参数函数xxu,v;yyu,v;zzu,v给出

SEGF2dudvDExuuyuuzuu;Gxvvyvvzvv;Fxuvyuvzuv222222222特别地：●对

xRsincos22球面坐标系yRsinsinEGFdudvRsindd

zRcos●若所求曲面S由极坐标方程rr,决定，则引入球体坐标系

xr,sincosyr,sinsinzr,cosEGF2dudvr2r2sin2r2rdd

zz1dxdyxy223．对于柱面上的曲面面积一般不使用公式SDxy而使用第一类曲线积分。

设S为柱面fx,y0上介于曲线弧l1和l2之间的曲面片，且

zz1x,yzz2x,yl1:;l2:;z2x,yz1x,yfx,y0fx,y

又设柱面fx,y0在xoy平面的准线l的方程可写成如下参数式

l:xxt,yyt,t

Sz2x,ydlz1x,ydlzxt,ytz1xt,ytxtytll2

二、曲面面积的题型与解法

【例1】求包括在圆柱面x2y22a2xy之内的曲面x2y22az的侧面

222面积。

yyxy1解：对于曲面x2y22az，1xzaa2222圆柱面x2y22a2xyr2a2sin2

2SDxzyyxy1dxdz1dxdyxzaaDxy22221222axydxdyaDxyasin244da2r2rdr0a0343432aa1sin2d03a24a2a34cossind0334a22a2a22033539

【例2】柱面x2y22x被锥面zx2y2割下部分的曲面面积。解：

由于对称性，本题所求锥面所围的柱面面积为第一象限的4倍，对于右半平面，柱面方程为y1x12xx2，故有（在xoz平

面投影，不能在xoy平面投影）

x111yy1102yxz2xxy222所以所求的曲面面积为

S4Dxz1yy1dxdz4dxdz2xz2xxz22x1222441012xxdx2x0dz412x2xx20dx

0122t2xdx42tdt822t2x21

另外，还可以求出柱面围的锥面面积如下：由于对称性，所求锥面面积为上半平面的2倍，

对于上半平面，锥面方程为zx2y2，故有（在xoy平面投影）

xzz11x2y2xy22yx2y2222所以所求的曲面面积为

S2x1y212zz1dxdy22dxdy22xyx12y2122

【例3】求曲面x2y2a2被平面xz0,xz0x0,y0切除的那部分的面积。

解：对于准线平行于xoy平面的柱面，不能在xoy平面上投影，因为投影面积为零，故需要转化到其他坐标平面上如xoz的投影。

SDxzaxyy1dxdz10dxdzxzyDxzx222dx0aa2x2xdza2axa2x2

0dx2a2

xrcos【例4】求螺旋面yrsin0ra,02的侧面面积。

zh解：因为

xyzE1rrrxyz22GrhxxyyzzF0rrrSEGFdudvD2Dr222222

rhdrd切忌写成rdrd222

d022a0r2hr2h2dr2rh2lnrr2h2220aaa2h2aahhlnh22

【例5】计算空间曲线x2y2z22a2xya0所包围的面积。

2解：

xr,sincos引入球体坐标系yr,sinsin

zr,cos

x2y2z222a2xya0r2a2sin2sin2r222sin2,r222cos22acosasin

sin2SEGF2dudvr2r2sin2r2

rddDD24a22220dsinda04

【例6】求柱面22x3y31被球面x2y2z21割下部分的曲面面积。

解：按照第一类曲线积分解法如下

22x3y31xcos3sindlxt2yt2dt3sincosdy3,zl:xcos310,ysin3xcos3z321cos6sin632:ysinz2sin22x2y2z214S82302sin23sincosd63210sin22d332cos402d332

2

ra1cos【例7】求以极坐标曲线L:为准线，母线平行于z轴

z0的柱面被平面

xyz2a0及z0截下的有限部分的面积。

解：对于本题，就可以按照第一类曲线积分解法如下

ra1cosdlrrdt2acos2d,02z10,l:ra1cosra1cosz2:z2a1coscosa1cossin2azrcosrsin2aSa1coscosa1cossin2a2acos2d02a2222202coscoscoscos+sincoscossincos2cosd222222t4a4a4a4a4a202cos2tcostcos2tcost+sin2tcostcos2tsin2tcost2costdt2cos2tcostcos2tcost+sin2tcostcos2tsin2tcostdt20202cos2t1cost2cos2t12cost+sin2tcostcos2tsin2tcostdt2sin2tcostcos2tsin2tcostdt0202sint1sin2t212sin2t1sin2tsintdt354a24sint8sint4sintdt08a220354sint8sint4sintdt242328a2484a23535

考研数学中向量组相关性的8大必须掌握的系统定理及其证明

智轩

定理1一般称A:1,2,,m为B:1,2,,m,m1的部分组，如果一

个向量组线性无关，则其部分组必无关；如果部分组相关，则向量组必相关。但如果向量组相关，则部分组可能相关也可能无关，同理，部分组无关，则向量组可能无关也可能相关。

证明：

记A1,2,,m,B1,2,,m,m1RBRA1

A线性相关RAmRBRA1m故1,2,,m,m1线性相关。

B线性无关RBm1RARB1=m

故1,2,,m线性无关。形象记忆法：大无小无，小关大关。（部分相关全部相关；全部无

关部分相关。）

评注对此类定理的掌握不能只局限于理论证明，更重要的是需要找

到直观解析或几何图案。上述定理从坐标空间的维度很容易直观理解。

定理2m个n维向量向量组成的向量组，如果坐标维数n小于向量

维数m时一定线性相关。特别地：n1个n维向量一定线性相关。

证明：m个n维向量1,2,,m构成矩阵

Anm1,2,,m

Anm1,2,,mnmRAnRAmm个向量1,2,,m线性相关。

上述定理可以这样形象理解：相当于方程组中有多余一个合理方程。或者可以这样理解：单个向量的维数相当于坐标空间的维度，向量组的维数（即向量组所含单个向量的个数）相当于任

意矢量r的分量个数，如果r具有三个分量，它又怎能在2维空

间中表示呢，除非三个分量不独立，即线性相关。

形象记忆法：坐标数大于维数总相关。（坐标数指单个向量的维数）

x1ix定理3设n维向量组A1,2,,r，i2i为n维坐标；n维

xni向量组

B1,2,,r为增加i的坐标维数得到的（称为导出组或延伸

x1x2组），即ixn，则

xn1xns（1）A1,2,,r无关导出组B1,2,,r无关；（2）导出组B1,2,,r相关A1,2,,r相关。形象记忆法：高维相关低维相关；低维无关高维无关。定理4设RAmnr，则n元齐次方程AX0的解空间S的秩为

RSnr。

定理5若AB0，当A为非零矩阵时B不可逆；当A,B为非零矩阵时，则A列不满秩，B行不满秩。

定理6向量组A能由向量组B线性表示AB，若B不能由A线性表示，则A0。

证明：向量组A能由向量组B线性表示AB，则矩阵方程ABC有解

向量组B不能由向量组A线性表示，则矩阵方程BAC无解若A0，则方程AXB有解XA1B，AXB成立意味

BA，与条件矛盾。

故A0。

定理7若AB0，当A为列满矩阵时，则B0。

证明：设AmnBnlC，依题意，RAn，知A的标准型为

En，并有：0mnm阶可逆矩阵P，使

EEBPAnPCPABnB000

B令C0RCRPCRRBRB00定理8若ABE，则B的列向量线性无关。

证明：考虑BX0，则

BX0ABX0EXX0为BX0的解。

故BX0只有零解B0，故B的列向量线性无关。评注第一，对向量组相关性的理解，首先把向量组转化为对应矩阵A，因为秩是它们的公共量，从而等价于讨论矩阵的秩。

第二，要明白秩是用子式（方阵）是否为零来定义的，所以矩阵A的秩等于矩阵的行秩也等于列秩，要明白单个向量的维数（坐标空间的

维度）和向量组的维数（任意矢量r的分量个数）是两个不同的概念。A给矩阵A增加几行后得矩阵BC，就相当于增加每一个向量的维

A数，这时满秩=maxRAmaxR，就是说A1,2,,n无CA关B1,2,,n无关；但反之不成立，因为RCRA；如果

AARCrRARCr，就是

B1,2,,r相关

AA1,2,,n相关，反之也不成立，也是因为RCRA。

第19专题讲座---二重积分的系统题型与题法201*

智轩

一、二重积分的六大对称性

如果积分区域D具有轴或点对称（令D表示D的一半区域，即D中

12对应y0部分，余类推），被积函数fx,y同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列6类对称性定理。①D关于X轴对称（D关于Y轴对称类推）

D2f(x,y)dxdy,f是关于y的偶函数，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdyD120,f(x,y)f(x,y)②D关于X,Y都对称

D4f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdyD140,f(x,y)f(x,y)或f(x,y)f(x,y)③D关于原点对称

0,f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,y)D12

D④当D1和D2关于某一直线对称，对同一被积函数，则

f(x,y)dxdyf(x,y)dxdyD1D2⑤D关于Xa轴对称

xadxdy0D⑥万能轮换对称性●轮换对称性描述

如果将x与y及z交换，即xy,yz，zx后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。●轮换对称性实例

I1xy1axbydxdyab2xy1xydxdy4ab2xy1xydxdy4abxdxdyx0,y0xy1x0,y0I2xy1x2y21dxdy2xy3x2y2y2x2dxdy0yx3xy3xy1二、二重积分次序选择原则与积分次序的更换方法陈氏穿线法【原创】后积先定常数限，先积方向正直穿；相交必须同一线，否则域内要分拆；隐含边界须周全，6类对称挂耳边；极坐标逆弧线，多种边界同园拆。

①先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量；■题型一关于积分交换次序题法【例1】计算IDx2dxdy,D由xy=2,y=1x2,x2所围。2y解：x幂次高，所以先积yD:1x2,y1x2

ID221x2xx27dxdydxdy=+arctan2-12xy2y2842x②若被积函数只有一个变量，就后积此变量；【例2】IDsinydxdy，D由yx,xy2所围。y解：被积函数只有一个变量y，先积x

1sinyysinydxdydy2dx1sin1I0yyyD③积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。【例3】更换积分次序I0dx12xx20fx,ydydx122x0fx,ydy

1x20x1D:解：D1:及220y2x0y2xx作D1和D2图形，得：I0dy11yfx,ydx

212y【例4】交换积分次序I1dxxfx,ydy2dxxfx,ydy

1x22x8D解：D122xy8xyx2x288画出D1,D2图形，得：

I1dyyfx,ydx4dy2fx,ydx

4y8y

【例5】更换积分次序I0dx0解：I0dyarcsiny12sxinfx,ydy

2arcsinyarcsinyfx,ydxdy10arcsinyfx,ydx

【例6】更换积分次序Id0242acosf,d

解：如改为先后则有下列两点技巧①D的边界曲线全都用极坐标表示

②若以原点o为圆心的一系列同心圆与y区域D的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处用逆时针园弧线2a把的区间分为两个正规区域：

arccosarccosarccos2aD22a2aD1202a2a2aI2a0darccos2a4f,d2a2adarccos2aarccosf,d

2a三、换元法技巧

以尽可能简便D为出发点，再参考fx,y,z的特征。如球对称用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。

Dfx,ydxdyf[xu,v,yu,v]Dx,yu,vdudv

fx,y,zdxdgdzf[xu,v,w,u,v,w]x,y,zu,v,wdudvdw

xx,yu其中雅可比矩阵

u,vyux1vyu,vvx,y■题型二关于对称性题法

【例7】D1:1x1,2y2,I1(x2y2)dxdy

D1D2:0x1,0y2,I2(x2y2)dxdy

D2解：f为偶函数数，D1关于x,y都对称，D2正好是D1的，故

222I14I2(x2y2)dxdyxdxdyydxdydyxdx2ydydx4

D2D2142121D00002【例8】计算Ixydxdy

D1D1:x2y222x2y22D2:x2y22xy

2解：（1）D关于x,y对称

fx,yxy关于x,y都是奇数Ixydxdy0

D（2）D关于原点对称，fx,yxyfx,yxy,fx,y为偶函数，故

Dfx,yd2xyd22dD0sin20r3sincosdr=

16

【例9】设区域D由yx3,y1,x1所围，试计算

Ix[1yf(x2y2)]d

D解：作辅助线yx3，则D分为D1和D2。显然，D1关于X轴对称，D2关于Y轴对称。

Ix[1yf(x2y2)]dx[1yf(x2y2)]dD1D2xdxdx3D11x0x32dy5

x2y222【例10】计算I(2sinx4y4)dD:xypqD2a解：由于D关于X，Y轮换对称性，故

x2y2I(2sinx4y4)d中被积函数又可以轮换，积分值不变

Dpq又由于D关于X，Y轴均对称，故

2sinxd04yd0

DD1x2y2y2I2(x2pq)d4dDpqD1(11)(x2y22pq)d4a2D

12a2(1p1q)00r2dr4a2(11)a44a24pqx2,xy【例11】设二元函数fx,y11,1xy，x2y22fx,yd，其中Dx,y|xy2。

D解：记D1x,y|xy1，D2DD1

fx,ydfx,ydfx,ydDD1D2x2d1D1D2x2y2d411ydy422x111x10x2dx00dx0x2y2dy0dx0x2y2dy1342ln21

计算二重积分

【例12】计算Iafx,ydxdy，其中：

DD:x2y2axa0,fx,yx,0xa,ya0,other，求

a0limeIa121cosaln1a。

解：D关于x轴对称，fx,y关于y是偶函数，则

aacosaIa2xdxdy2xdxdy2drcosrdr0000D12a3a33332a31a302cosda3422a843Ia

a0lime11cosaln1a2lima0Ia1aln1a22a3a82lima014aa223

■题型三关于极坐标题法陈氏第14技能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；使用极坐标方式有两种：1原位法：

xx0rcosxrcos2平移法：，选择的原则是使被积函数或yysinyy0ysin容易积出，一般来说，被积函数具有fx2y2或fxmyn形式时，使用极坐标会大大简化计算。如果选择不当会使积分求解复杂。●常用结论

4amn2mn2cossind当m和n没有一个为奇数mn0xymn20当m和n至少有一个为奇数x2y2a2

【例13】计算aI10dx1

12xx21x2x2y2dy

bI22dxx04x2x2ydydx2024x22xx2x2y2dy

c设fx,y在单位圆上有连续的偏导数，且在边界

上为零，试证明：

1f0,0lim022x2yxfxyfy21x2y2dxdy

0x1解：a积分区域为：D:2211xy2xx显然本题适合用原点极坐标，

2xrcosy11xr2sin交点坐标2,24yrsiny2xxr2cos由对称性⑤知：

I12rrdr24dD10222sin0rdr84sin4d

30

1cos41cos2484d212cos201*2213d8480x22x0b积分区域为：D:222xy4x2xxy4xI20234dx4x2x22x2ydydx2024x22xx2x2xrcosy2dyyrsind2044rr2222rrdrdrrdr|0|d

02cos042cos4422319421cos4d4024224c使用原点极坐标，xrcos，yrsin

ffcosfxsinfyrrcosfxrsinfyxfxyfyrrfrxfxyfy11rrdrdlimdxdylim220222202xyr2r1xy10211f1212limddrlimfrcos,rsindr0201*01*limfcos,sinf0,00,20fcos,sindlim0200

【例14】计算IR2x2y2dxdyD:x2y2Rx,R0。

DRR2xy解：D:x2y2Rx为偏心圆域，由于被积函数的2222特点，故可使用极坐标，而这里有两种取法。如使用原位法，即

xrcosD1:0,0rRcos2yysin2I2Rxydxdy22dD102222Rcos0R2r2rdr2201*2322Rr302Rcos

1141d22R3R3sin3dR303333RxrcosD1:02,0rR，如使用平移法，即2本质上是把

2yysin圆心平移到原点，则

I2Rxydxdy2dD102222R0R2R1Rrcosrdr

42显然上述积分十分繁琐，本题不能使用平移法。但在别的场合，必须使用平移法以简便计算，因为平移法有个优点就是能使积分上下限常数化。参见下例。

22111xy222【例15】求积分Ixyx2y2dxdyD:。Dxy01xrcos12解：方法一：平移法D:02,0r2y1ysin22Ixyx2y2dxdyrrdrd28DD1方法二：原位法xrcos3D:,0rcossin

yysin442srsinrrdrdIxyx2y2dxdyrcoDD8

读者可以尝试计算上述积分，其中的计算过程要必平移法复杂得多！

被平面z和z所夹【例16】求球面x2y2z2a2a0a4a2部分的表面积解：

23x2y2x2y2z2a22aaza2z2215x2y2x2y2z2a24aaza4z4

上半球za2x2y2zxxaxy222zyyaxy222

由于对称性

S41zxzydxdy2Dxy4Dxyaaxy15a23a2222dxdyd2a4

4d20aa2222|15a23a21a22【例17】IDxyxy在第一象限所围成的区xydyD由623域。

xyxy解：由解出x,y相当困难，为此采取极坐标，令2362sx2co为广义极坐标，则2y3sin4

xyxy42sin2cos22sin2cos262340,所研究的曲线在第一象限，于是sincos

2解出,上下限，sincos00,;

2Jx,y,2cos23sin24cossin6sincos12sincos

I62sin2cos212sincosddD12d0sincos01262sin2cos2d

6

x2y2z2【例18】求椭球体的体积2221（广义极坐标）

abc解：作广义极坐标变换xarcoszc1r2Jabr

ybrsin1c1r再采用穿线法，有V802d0dr054abrdzabc

3x2y2xy【例19】求曲线4包围的面积S。

cabx2y2xarcos2xy解：4yarsin2caba2b2c45

SdxdydS20cos4sin40552abrcossindab1410c2550sin9dab1c42920sin9dab1260c455

【例20】求曲线4x4y1;x0;y0包围的面积S。abx4yxarcos81解：yarsin8ab4

ucos7Sdxdy8abrcossindrd4ab2cossin7d77SS04abu71u2du301ab70

■题型四关于换元题法【例21】计算IcosDxyxy1dxdyD所围区域。xyx0,y0解：令uxy,vxy

Jx,yu,v111u,v112x,y11vu111u111Icosdudvdvcosdu2sin1vdvsin

vv220v202Duv

【例22】求

y2pxyqx20pq和

xyaxyb0ab所围D的面积。

y2解：作变换，令u,xyv，由此把原有的曲线区域变成矩形区域

xJx,yu,v111122u,u3y3uy2y2xx,yxxyxSdxdyDD1bq111qdudvdvdubaln

ap3u3u3p【

y2例

2a2,23

a】

2计

2算

b由曲线

mxy22围成b,的x积。y所面

（y0,ba0,nm0）解：令y22uxu2,y22vxv2xx雅克比行列式Juyu1x2vy1vv2uuv,yuv，2121uv()

u1u4v2v故

SdxdyDaub,mvnJdudv1uv()dudv4aubvu,mvn3113311131uv22222222dudvdudv(ba)(nm)(nm)(ba)34vuaub,mvnaub,mvn

【例24】I0yx3xy14xyln11xyyxdxdy

0yxx,yy1u3解：设uxy;v；xy124xu,vuu1vxyvvxy0v13u14I0yx3xy14yxyln111ln1vu2203xdxdy3dudv1ln2204801xy1v41u■题型五关于隐含边界题法【例25】计算I0dyy11y1xy22dx

解：用隐含边界圆弧r1将区间分为D1和D2两部分，使用原点极坐标，得

Idr400122r2sinrsin4ddrd1221arccos1rr1r21r221dr01r222r22dr01r2211212r2rdr11r2dr1r2202r2rdrdr2211r1r

121dr2021r202112d1rdr12211r21r213arctan2ln2422x1yxdxdyD

0y22【例26】I0解：题中yx2为隐含边界

Iyx2dxdyx2ydxdy

D1D2

52xydy21032【例27】Isin(xy)dxdyD:0x,0y

1dxx12yxdydx21x2D解：Isin(xy)dxdysin(xy)dxdy

D1D2(,)dx0x0sin(xy)dydx0xsin(xy)dy2xy评注如果本题改为D:0x,0y2，则

Isin(xy)dxdydxD0x0sin(xy)dydx02xxsin(xy)dydx022xsin(xy)dy1cosxdx2xdx1cosxdx4000

【例28】Isgn(xy)exydxdyD:x2y1x2D22y解：IexD12y2dxdyexD22y2dxdyexD32y2dxdyD1,D3关于Y轴对称（二个区域），而被积函数相等，x故D1D3Iex2y2D2dxdy2e1D22x2y240dxdy2drerdr0124(e1)【例29】I3x4ydxdyD:x2y21

D

解：I0d03rcos4rsinrdr50sin()d0r2drarctan52521020sin()dsindsind0003333TaT212134（利用0f(xa)dxa同步练习：

f(x)dxf(x)dx)）

0TDxy9x2y2dxdyD:x2y21答案：。

162【例30】计算Ix2y21xydxdy

解：隐含边界为xy0，令

3D1,|,014437,|,01D2

44D3,|,0144

Ix2y21xydxdyxydxdyxydxdyxydxdyDD1D22xydxdyD1D1D2Dxydxdy2xydxdy0因为D关于x,y都对称，所以xydxdy=0

D1D1D2D=4xdxdy因为D关于x,y具有轮换对称性D344cosd2d401423xy2dxdy。

【例31】计算I0x22x2解：使用xy0yx和xy2xy2或xy2共3条隐含边界把积分区间从上到下划分为D1;D2;D3，故

xy2;D1yx2xy22xy;D2xyx2

xy2;D3x2yxI0x22x2xy2dxdyxy2dxdy2xydxdyxy2dxdyD1D2D3D1D2D3xydxdy2xydxdy2dxdy2dxdy2dxdyD2D1D2D3xydxdy2xydxdy2dxdyDD2D2

xdxdy2x1ydxdyDD2x11dxdy2x1ydxdy0808DD2【例32】Icosxyd，D:由yx,y0,xD2所围。

解：隐含放边界cosxy0xy

2在图上画出此辅助线。用D1表示积分区域的下半部分，则：

2I2cosxyd2dy2y

0D140ycosxydx2

y224cosxyydy241sin2ydy021【例33】计算I1x2y2dxdyD:Maxx,y1。

D解：隐含边界1x2y20x2y21把区域D的第一象限部分分为左右两子域D1和D2

I1x2y2dxdyD=41x2y2dxdy41x2y2dxdyD1D281x2y2dxdy4D1D2D11x2y2dxdy

28d12d4201*D2D112xdxdy8111134dy12x2dx002244【例34】计算积分Ix2y24sgnx2y22dxdy。

D:x2y24y2x221D2:x2y24y2x22x12222解：将区间分为5个部分D3:xy4x1的左部yx2

2222D4:xy4x1的右部yx22222D5:xy4yx2Ix2y24D1sgnx2y22dxdydxdydxdydxdydxdydxdyD5D2D3D440dx2xdy40dx0214x212x2dy4dx11024x20dy

8102xdx42214xdx24x2dx4138ln32【例35】计算积分I0x20y2xydxdy。

解：将区域分为由下到上的4个积分区间D1;D2;D3;D4。

0;D1xy1x0y01;D11xy2x0y0xy2;D12xy3x2y23;D3xyx2y21

I0x20y2xydxdydxdy2dxdy3dxdyD1D2D3dxdydxdy2dxdydxdyDDD3D3121133D2DD462222

【例36】求Iminx,yeDx2y2x,dDy,Iyxyxex2y2dyexyx2y2dx2y2dyxex2y2xdxdxyedy2

32222【例37】计算Iminxy,2xydxdy

163x2y216解：

I32222minxy,2xydxdy316x2y216

0r13r2rdrd16122r2r2rdrd34733224

22【例38】计算IMaxxy,1dxdy，其中Dx,y|0x2,0y2。

DD1:xy1,x,yD解：用双曲线的上支将D分成两块：DD1D2

D2:xy1,x,yD而D1为非正规区域，过点,2作平行于y轴的直线，把D1分为左右21两个正规区域D11和D12

IMaxxy,1dxdy1dxdy1dxdyxydxdyDD112D12D211dxdy1xdx1ydy22x21x0219ln24

■题型六关于含参积分题法【例39】已知Ix0du02x2uxu2ln1xxcostu2dt；求limIx。

x0解：当x0时，记D:0u2x,0t2uxu2IxcostududtD2ln1xx2

当x0时，记D:2xu0,0t2uxu2IxcostududtDln1xx

根据积分中值定理：

costududtcosSDcosD2222x2

x0limIxlimx0cosxx22x22x0limIxlimx0cosxx22x22

limIxx022【例40】设函数fx,y0x,yD0，

x,yD0x0,1，求D0y0,1Ftxytfx,ydxdy。

解：含参数的积分问题采用平移法决定参数的取值范围是作者的精妙秘诀。

平移法的思想是：先画出D0的区域图，再令xy0为基准直线，然后把该基准直线分别平移到D0的全部边界点上，如本题，把基准直线xy0平移到边界点x1，得分界直线xy1，再把基准直线得分界直线xy2，于是得出所求xy0平移到边界点x1,y1，

积分关于参数t的三个分段点t0,1,2，所以有

12

t0fx,y0Ft0把基准直线平移到该区域任意位置，得直线xyt，0t1，

该直线与x轴的交点为t，于是

FtxytD0fx,ydxdy2dx0ttx0dyt2

31t2，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线xyt，

该直线与x轴的交点在区域D0外，不可作为积分限，但该直线与y1交于t1,1，为于是

FtxytD0fx,ydxdy2dydx2dx00t11t11tx0dy2t12txdxt24t2t11

4t2，Ft【例41】Ft2xytD0fx,ydxdy2dxdy2

0011xtyt21x2y2dxdy，求Ft。

解：利用区间变换将参量t转移到被积函数中，令xtu;ytv

FtFtu2v21utvtutvt222dudvdudvu2v21utvt2xt2yt21xyxy22

dxdy【例42】Ftx2y2t2fx,ydxdyt0，求Ft。

解：利用极坐标等将参量t转移到积分变限中，令

xrcos;yrsin

Ftdr0t20frcos,rsindFt220frcos,rsind

D2【例43】D:x2y22x2y2r22cos2,求xydxdy

解：

这是标准的伯努利双纽线（参见同济版上册附录2）由于伯努利双纽线关于x轴对称，根据对称性,则22xydxdyxydxdy2DD

44d02cos201r3dr444cos22d042【例44】计算I2xxy22,y2xy241dxdyxyxy1111xrcos,4cosrcos;sinrsinyrsinx2y2x2y22424111cossinarctan4221sin1rdr42Idxdy2d11arctancosrcosrsinxyxy24D:22x2y2,x2y241sin11241ln2d241ln2tandtanarctancossinarctantan122cos4241arctan22ln2lntandlntanln2■题型七二重积分应用题法

【例45】设fx,y为恒大于零的连续函数，求证：

bafxdxab12dxba。fx证明：采用二重积分的逆向思想。设D:axb,ayb，

bIabbbfx11fxdxdxfxdxdydxdyfxfyfyaaaDbbbfy11fxdxdxfydydxdxdyfxfxfxaaaDbIaIfy1fxdxdydxdy2fyfxDD1fxfy1fxfy12dxdy2dxdy2dxdyba2fyfx2fyfx2DDD

【例46】设fx是区间0,上具有连续导数的单调增加函数，且

f01。对任意t0,，直线x0,xt，曲线yfx以及x轴所

围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求fx。解：依题意得

220fx1fxdx2f0xdx（也可使用古尔金第二定理）

t2tt0时，上述等式显然成立。现在上式两边对t求导得

2ft1ftftftf01ft0ft单增ft02f2t1dydy22dxy12lnyy1xcyfxdxy1y01y01y01

lnyy21xyy21ex又lnyy21xlnfxy1xxee21yy21xyy21ex

行列式的题型题法大全专题讲座

一、行列式的基础题型与题法【例1】求极限

x1sinx11x22x10x33211Llimx0

1sinxcosx1解：应用罗毕达法则

11Llimlimx0x02x3x22x00201xsinx11x20x10x30211x1cosx10x221x3301010100123002411110010130sinx011sinxcosx1cosxsinx01sinxcosx1

x0x22x36x●同步练习：Fx12x3x2Fx6x2【例2】行列式的分解方法和重要结论

设n阶同型矩阵，Aaij;BbijABaijbij，而行列式只是就某一列分解，所以，AB应当是2n个行列式之和，即

ABAB。

以我们经常遇到三阶行列式的特征值问题举例如下：

a11EAa21a31a12a13a110a310a120a130a23a22a32a230a21a220a3200a33a13a23a33(112)0000a12a22a32a33a11a3100000a11a21a31a12a22a32a13a23a332220a11a3100000000a12a22a3200a13a23a33212a21a12a22a3201*1121a110211a11a21a31a21a21a31221221

aEA3a11a22a33211a21a12a22a22a32a23a33a11a31a11a13a21a33a31a12a22a32a13a23a33123a11a22a33TrAa11a12a13根据韦达定理，马上可以得到两个重要公式：naaa1A123212223a31a32a33

其中，111表示取被展开的行列式中的各列的第一子列，余类推。特别地，如特征值行列式中，有两行或两列对应成比例，上述公式可以简化为：

3EAa11a22a33aii23trA2i13231trA,230

评注韦达定理的一般形式为：

anxan1x

nn1an2xn2nan1an2nnaa00xi;xixj;xi10ananani1ij1i1n

【例3】代数余子式的计算技巧

元素的代数余子式与该元素无关，行列式按某一行元素的代数余子式展开形式中，代数余子式前面乘以不同的系数就可以得到不同的行列式。

a11a21a12a22an2a1na2n=ai1Ai1ai2Ai2ainA1n

第i行an1ai1ai2ainann如果把上述等式两边的中括号里的元素换成不同的值，就变成不同的行列式了。

【例4】拉普拉斯行列式中逆序数的计算

a11a12c12cn2a1mc1mcnm00b1100b1200a11aam1c11cn1am2amma11a1mb11b1nb1n11am1ammbn1bnnbn1bn2bnna1mb11b1nam1ammbn1bnn

112m12mmm1111mm11

c11bb11bn1c12b12bn2c1nb1nbnna11am100a1200a1mcm1cm2cmnam2amm00a11a1mb11b1n12am1ammbn1bnna11a1m1mnb11b1nam1ammbn1bnn

212mn1n2nmmm12m2nm12mnmm1121mn1mm11mn1D3x1x121D4x1xx21311x22x21x32x31ji3xxxij3x1x3x2x2x11x2xx22321x3xx23331x4xx24341ji4xxxij4x1x4x2x4x3x3x1x3x2x2x1D4x4x1x4x2x4x3D31ji3xxxiji134xi

二、行列式定义与余子式的应用2.1．行列式定义的应用

【例5】求逆序数（1）1352n12462n）

（2）已知x1x2xn1xnk，求xnxn1x2x1

解：（1）1352n12462nn1n210（2）解法一

nn12

对n个数的排列x1x2xn1xn，如果关于第i个元素xi有mi个元素比

xi大，并且都放在xi的前面，我们说第i个元素xi有mi个逆序数，如果

关于第i个元素xi有mi个元素比xi大，但都放在xi的后面，我们说于第

i个元素xi有mi个顺序数。

x1x2xn1xn中关于第1个元素x1有m10个逆序数，关于第1个

元素x1有n1m1个顺序数，即在排列xnxn1x2x1中关于第n个元素x1的逆序数为n1m1；

x1x2xn1xn中关于第2个元素x2有m2个逆序数，则关于第2个元

素x2有n2m2个顺序数，即在排列xnxn1x2x1中关于第n1个元素x2的逆序数为n2m2；

依此类推，可得：

xnxn1x2x1nnmnn2m2n1m1nnn2n1m1m2mnnn12k

解法二（推荐解法）

在排列x1x2xn1xn任取两个数xk和xlkl，则数对xk,xl要么为逆序数，要么为顺序数，而该排列共有Cn2个数对，已知x1x2xn1xn的逆序数为k,故x1x2xn1xn的顺序数为Cn2k，它正好就是xnxn1x2x1的逆序数，故xnxn1x2x1Cn2k

nn12k。

【例6】（1）已知四阶行列式中a3ja12a41a2k的符号为负，求j,k；（2）在五阶行列式中，确定项a12a31a54a43a25的符号；

（3）如果n阶行列式中等于零的元素大于n2n个，求Dn。解：（1）由于列号2，1固定，故j,k只能取3或者4，而

a3ja12a41a2ka12a2ka3ja41

j3,k424313141j4,k32341331j4,k32431123411

（2）a12a31a54a43a25a12a25a31a43a54

2513411241251341，取正号。

（3）n阶行列式展开共有n2项，等于零的元素大于n2n个，则不为零的元素小于n个，而行列式展开的每一项都是n个不同元素的乘积，故Dn0。

陈氏第21技--（1）使用〖排列法〗求参数行列式某幂次前的系数。

排列法：先固定行号顺序排列：12n，再根据定义排列可能的列标。

xx10x23x2x1【例7】在fx23求x3项。

112解：排列法：先固定行号顺序排列：12n，再根据定义排列可能的列标。

由定义知，行列式展开的每一项来源于原行列式每行每列只能取

一个而且必须取一个元素的法则。

如取a11x，则其余项为相应取a2ja3ja4j形式，下面就是看j2j3j4234可能的排列中哪些符合要求。

j22,j33,j44则为x4项不合题意所求；其他取法均为x2不合

题意所求；

故取a11x不成立。

同样的分析知，只有取a12x，相应取a21a33a44才合题意，于是

1

1133(2134)a12a21a33a44x3

221335【例8】求D412x222

19x2解：x1时前两行相等D0，故D展开式必含该两因式，x2时后两行相等D0，故D展开式必含该两因式，由于是四阶行列式，最高次幂不大于x4，故

D4kx1x1x2x2

而x4前的系数可由定义求出：

含x4幂的项的形式为：a1ja22a22=2x2a3ja44a44=9x2

13由于已经固定顺序行标1234，列标有两个也被固定，即：

j12j34

根据行列式各项取自不同行不同列的规则：j11或3；j23或1●当j11时，必有j33，即存在含x4幂

11234a11a22a222x2a33a44a449x222222a112xa339x12x19x2x9x2

●当j13时，必有j31，即存在含x4幂

13214a13a22a22=2x2a31a44a44=9x222222a132xa319x22x29x42x9x2

故x4前的系数k143

陈氏第21技--（2）常数行列式法。

像【例8】类型题有一个绝妙的方法：即划去2x2和9x2所在的行和列，剩下的数（不能含未知数x，否则，只能用排列法。）组成行列式

12213，就是x4前的系数。

x1023xxx又如：已知fx2171043，求fx。易知fx最高次幂为x2，

71故只要求出x2的系数即可，而x2的系数

a1123104a44a11a2410231042x216xfx16。71104714

a10a2b300b2a30b100a400b4【例9】求D

解：方法一：

a1D00b40a2b30a2b3b2a30b2a30b100a4a2b3a2a1b30b2a300a40b4a2b30b2a300b10

a1a4b1b4b2a3a2a3b2b3a1a4b1b4

方法二：利用拉普拉斯展开：

a10a2b300b2a30b100a412+3+2+3D00b4a2b3b2a1a3b4b1a4a2a3b2b3a1a4b1b4

x2x1x2x32x24x2x12x22x34x35x74x3【例10】设行列式fx3x33x24x53x5，则fx0有

多少个根？解：

x2f(x)2x23x34x拉普拉斯展开1110011c2c4x22x23x34x1110000x223x73x213x76

1x215x(x1),所以有2个根。2x21x76x2

【例11】设n阶行列式Daijm，而行列式D1aijbij,b0，求D1。解：

D11a1j1b1j1a2j2b2j2anjnbnjn1a1ja2janjb12njjj

12n12n1a1j1a2j2anjnb0mabadccdabdcbabcd【例12】求行列式D4

解：

abcdbadccdabdacbbcad2badccdab

D42dc4a2b2c2d2baD4a2b2c2d2a11a31a12a32a13a33【例13】已知a21a22a23a,Aij3a，求

i1j133a111a121a131Da211a221a231。

a311a321a331解：设行列式D的第一列中的第一子列用“11”表示，第一列中的第二子列用“12”表示，其余符号类推。则：

a111a121a131Da211a221a231a311a321a331112131112132112231112232122131122132122231122232脚标组合含两个2的说明有两列全为1，行列式等于0112131112132112231122131

a11=aa21a31a121a321a111a13a311a331a121a32a13a23a3333a221a211a231a22Aij3ai1j1a3a4a后面三个行列式按全1列展开后为全部元素的代数余子式之和，正好等于

2.2．余子式与代数余子式的计算方法

1230【例14】已知D111，求：

11（1）代数余子式A132A23A33(2)余子式

M132M23M33

解：（1）代数余子式A132A23A331A132A231A33用各代数余子式的系数1,2,1替代D的第三列，则

1A132A23A33121125

111(2)Aij1MijMijAij余子式

ij11ijAij1ij

M132M23M33113A132123A23133A33A132A23A33

用各代数余子式的系数1,-2,1替代D的第三列，则

1M132M23M33A132A23A33121127111【例15】设4阶行列式的第2列元素依次为2,m,k,3，第二列元素的余子式依次为1,1,1,1，第四列元素的代数余子式依次为3,1,4,2。且行列式的值为1，求m,k。解：

122232421a12A121a22A221a32A321a42A421a12A14a22A24a32A34a42A440

m4121m11k1311mk51m4k120k223m1k4320

三、行列式计算方法和技巧

陈氏第22技7种定势全面解决行列式计算问题。

行列式从元素特征上分为：数字字母型（五种定势），抽象分块型（一种定势），参数型（一种定势）三类。共7种定势囊括考研中所有可能的行列式计算方法。望读者系统掌握。3．1行和相等型行列式的计算方法

当行列式中每一行的元素之和相等（称为行和相等型）时，计算时把各列全部加到第一列，从第一列中提出公因式，然后，各行都减

去第一行就可以降阶，对列和相等型也有类似的结论，这是一类极其普遍的题型。

abbbabbba【例16】计算Dn

解：

abbDnbabbba1an1b0an1bbban1babb0b0ab211n11111nnn11211Dnn，求limn1。nn21bban1b1ab1ba

an1bba

0aban1babn1【例17】已知行列式Dn11111111nnn解：

2Dn111n111111111n1111nnnnnn1111211n1211nnnn11111112n11121nnn111n11n11n1n112111n1nn10111n11n20nlimDn1n111nnnlimnne读者同步练习：

0111110111110111n1n1;1110111110x1mx2xnx1x2mxnnn1ximm;i1x1x2xnmnn11n111n1n11n00n111nn0011na1xa2a3a4xx0030xx0x4xaii100xx12n231nn1nn1nn1122n1n1

●

x1xxxxxxa1a2a3a4xa4a4a44aixx3i11xx2xxa1a2a3x1nn1x1;a1a2xa3n!2a1xa2a31xn3.2爪型行列式的计算方法

除第一行、第一列和主对角上的元素外，其他全部为零的行列式，其形状像个爪形。爪形行列式Dn的计算一般方法是分三种情况分别讨论。假设主对角上的元素分别为a1a2an。

●如a1a2an中有两个或两个以上的元素为零，则必有两行成比例，故Dn0；

●如a1a2an中只有一个元素为零，例如ak0，则先按第k行展开，

再按k1列展开，便得到一个主对角行列式了；

●如a1a2an中没有零元素，则从a22开始逐一提出主对角元素，然后上三角化，便得到一个上三角行列式了。

a011a1a2an2n【例18】计算Dn12n

解：情况一：a0a1a2an至少有两个元素为零，则Dn10；情况二：a0a1a2an有一个元素为零，如ak0（akak1k1），则先按k1行元素展开，再按k列展开。（为清楚细节，请读者以D6为例具体推算以下过程）

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