九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结 人教新课标版

九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结 人教新课标版

人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结

相关概念及定义

二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，

叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二次函数各种形式之间的变换

二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

2hb2a，k4acb4a2.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax2；②yax2k；

③yaxh；④yaxhk；⑤yax2bxc.

22二次函数解析式的表示方法

一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数

都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，

确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交

点.

二次函数yax的性质

a的符号a02开口方向顶点坐标对称轴向上性质x00，00，0y轴时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0．时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下yx0轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．1

二次函数yax2c的性质

a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质x00，c0，c2y轴时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c．时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x0x的增大而增大；x0时，y有最大值c．二次函数yaxh的性质：

a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质xhh，0h，02时，y随x的增大而增大；xh时，yX=h随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．xha0向下X=h时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．二次函数yaxhk的性质

a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质xhh，kh，k时，y随x的增大而增大；xh时，yX=h随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，ya0向下X=h随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．抛物线yax2bxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

b2aa相等，抛物线的开口大小、形状相同.

对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x4acb（，）顶点坐标：

2a4ab2.特别地，y轴记作直线x0.

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物

线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

抛物线yaxbxc中，a,b,c与函数图像的关系

二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

一次项系数b

2在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在y轴左侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在y轴右侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：

常数项c

⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法

公式法：

b2yax22b4acbbxcax2a4a2，∴顶点是

b4acb，对称轴是直线x.（，）2a2a4a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得

2到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的

连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式

一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

yaxx1xx2.

直线与抛物线的交点

y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).

与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点

(h,ah2bhc).

抛物线与x轴的交点:二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐

标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.

平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵

坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.

一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像

ykxnG的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同2yaxbxc的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为

Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程axbxc0的两个根，故

2x1x2ba,x1x22ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaab4aca2a

二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表

达

关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk2关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

2关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk2关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

2关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；

关于顶点对称

yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxcyaxhk222222b22a；

关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

4

关于点m，n对称

yaxhk2关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

2总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变

化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数图象的平移

平移步骤：

2⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k定点Q，直线y(a2)x2经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。平移式。

1，把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线

y=a(x-h)+k,求此抛物线解析式。

2，抛物线yx2x3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.距离式。

1，抛物线y=ax+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。对称轴式。

1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

2、已知抛物线y=-x+ax+4,交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且

OB-OA=

342

22

OC，求此抛物线的解析式。

对称式。

1，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y轴于

E，将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2，求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。切点式。

1，已知直线y=ax-a2(a≠0)与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。2，直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。判别式式。

1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。

2、已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

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人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结

相关概念及定义

二次函数的概念：一般地，形如yaxbxc（a，b，c2是常数，a0）的函数，

叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二次函数各种形式之间的变换

二次函数yaxhb2a，k2bxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

224acb4a.

22二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax；②yax③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.

二次函数解析式的表示方法

一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

2k；

22顶点式：ya(xh)k2（a，h，k为常数，a0）；

两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数

都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，

确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称

的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交

点.二次函数yax的性质

a2的符号开口方向顶点坐标对称轴a0性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．向上0，0y轴a0向下axc20，0的性质

y轴二次函数y

a的符号开口方向顶点坐标对称轴a0性质x0向上0，cy轴时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c．时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c．a0向下axh0，c2y轴x0二次函数ya的性质：

性质时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上h，0X=ha0向下h，02X=h时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．xh二次函数yaaxhk的性质

性质时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh的符号开口方向顶点坐标对称轴a0向上h，kX=ha0向下2h，kX=h时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．xh抛物线yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x

4acb（，）顶点坐标：

2a4ab2b2a.特别地，y轴记作直线x0.

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物

线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线yaxbxc中，a,b,c与函数图像的关系二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，

当b当b002时，时，b2ab2a00，即抛物线的对称轴在y轴左侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；

当b⑵在a当b当b当b0000时，b2ab2ab2ab2a0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

的前提下，结论刚好与上述相反，即时，时，时，000，即抛物线的对称轴在y轴右侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

0总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：

常数项c

⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法

公式法：

byax22b4acbbxcax2a4a22，∴顶点是

4acbb（，），对称轴是直线x.

2a4a2a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得

2到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的

连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式

一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

2顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

yaxx1xx2.

直线与抛物线的交点

y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c).

2与y轴平行的直线xh与抛物线yax(h,ah2bxc有且只有一个交点

bhc).

2抛物线与x轴的交点:二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐

标x1、x2，是对应一元二次方程axbxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.

平行于x轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵

坐标为k，则横坐标是ax

2bxck的两个实数根.

一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像

ykxnG的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同2yaxbxc的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③

方程组无解时l与G没有交点.

抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yaxAx1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程axx1x2ba,x1x2222bxc与x轴两交点为

bxc0的两个根，故

ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaab24acaa

二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表

达

关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk2关于x轴对称后，得到的解析式是y轴对称后，得到的解析式是yaxhk2；

关于y轴对称yaxbxc关于y22axbxc22；；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk2关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yyaxhk2axbxc2；；

2关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk关于顶点对称yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc222b2a；

yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk2．

2关于点m，n对称

yaxhk2关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变

化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数图象的平移

平移步骤：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式y⑵保持抛物线yax2axhk2，确定其顶点坐标h，k；

的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

2，求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。切点式。

22

1，已知直线y=ax-a(a≠0)与抛物线y=mx有唯一公共点，求抛物线的解析式。

2

2，直线y=x+a与抛物线y=ax+k的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。判别式式。

2

1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线

2

y=-x+(m+1)x+3解析式。

2

2、已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。

2

3、已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

2

一、平行线分线段成比例定理及其推论：

1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。二、相似预备定理：

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。三、相似三角形：

1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；②要注意两个图形元素的对应。3.判定定理：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。四、三角形相似的证题思路：

五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：一“定”：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；二“找”：再找出两个三角形相似所需的条件；三“证”：根据分析，写出证明过程。

如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。六、相似与全等：

全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系：

1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。

2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。

常见考法

（1）利用判定定理证明三角形相似；（2）利用三角形相似解决圆、函数的有关问题。

锐角三角比

tanA=角A的对边/邻边cotA=角A的邻边/对边sinA=角A的对边/斜边cosA=角A的邻边/斜边

三角比值

tan30=√3/3cot30=√3sin30=1/2cos30=√3/2tan60=√3cot60=√3/3sin60=√3/2cos60=1/2tan45=1cot45=1sin45=√2/2cos45=√2/2(√为根号)

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