椭圆 双曲线 经典结论总结11

椭圆 双曲线 经典结论总结11

椭圆双曲线经典结论总结

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一．切线问题（一）

x0xy0yx2y221.11.若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y22.若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

abx0xy0y21.2ab

二.切线问题（二）

x2y23.若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y24.若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点

abxxyy为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021

ab

三.面积

x2y25.椭圆221(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点

abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.

2x2y26.双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点

abb2F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2tan2

四.焦半径

x2y27.椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0)).x2y28.双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0),F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

五.中点弦

x2y29.AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2kOMkAB2，

ab2x0即KAB2.

ay0x2y210.AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中

abb2x0b2x0点，则KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0

六.离心率

x2y211.设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意

ab一点，在△PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsina

x2y212.设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线

ab上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsina

七.焦半径之积

x2y213.设P点是椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

ab2b2.F1PF2，则(1)|PF1||PF2|1cosx2y214.设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

ab2b2..F1PF2，则(1)|PF1||PF2|1cos

扩展阅读：解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结

A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，

x0y02k02ab（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.

【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________

(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PHPF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）

连PF，当A、P、F三点共线时，HPFAQBr1r22a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第

二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

APPHAPPF最小，此时AF的方程为y420(x1)即y=22(x-1),代入y2=4x得

311,2)，它为直线AF2P(2,22)，（注：另一交点为(

与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（

1,1）4过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQQFBQQR最小，此时Q点的纵坐标为1，

x2y2（1）221(ab0)与直线相交于A、

abB，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有

代入y2=4x得x=

x0y02k0。2ab11，∴Q(,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

x2y2（2）221(a0,b0)与直线l相交于

ab

x2y21的右焦点，A(1,1)为例2、F是椭圆43椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。

（1）PAPF的最小值为（2）PA2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：（1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PFF0′yAFPHx分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MCMD）。

解：如图，MCMD，∴yMDC5xA0BACMAMBDB即6MAMB2∴MAMB8（*）∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15

x2y21轨迹方程为PAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF451615当P是FA的延长线与椭圆的交点时,

点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出

PAPF取得最小值为4-5。

（2）3

作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a=4，b=3，c2=1，a=2，c=1，e=

∴PF2

2

(x1)2y2(x1)2y24，再移项，平

方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

例

4、△ABC

中，B(-5,0),C(5,0),且

1，2sinC-sinB=

1PH,即2PFPH23sinA,求点A的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。

∴PA2PFPAPH

当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为

a2xA413c

例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。

222

解：sinC-sinB=

35sinA

2RsinC-2RsinB=

32RsinA53BC5∴ABAC

即ABAC6（*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵2a=6，2c=10∴a=3，c=5，b=4

≥2915,y054当4x02+1=3即x0时M(52时，(y0)min此

42x2y21（x>3）所求轨迹方程为

916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)

22(x1x2)2(x12x2)9①则②x1x22x0③22x1x22y025,)24yMAA1A20M1M2B1B2xB，2MM2AA2BB2AFBFAB3∴MM2313，即MM1，2425，当AB经过焦点F时取得最小值。454∴MM1∴M到x轴的最短距离为

点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9

即[(x1+x2)2-4x1x2][1+(x1+x2)2]=9④由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入④得[(2x0)

202

而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。、、、

-(8x02-4y0)][1+(2x0)2]=9

9∴4y04x，214x09924y04x2(4x01)21

4x04x0120

x2y21(2m5)过其左焦点例6、已知椭圆

mm1且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=ABCD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防

（2）f(m)22m1112(1)

2m12m1∴当m=5时，f(m)min1029423当m=2时，f(m)max点评：此题因最终需求xBxC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得

x0y0k0，将mm1f(m)(xBxA)2(xDxC)22(xBxA)(xDXC)

y0=x0+1，k=1代入得x0x010，mm12(xBxC)(xAxD)

∴x0m2m，可见xBxC

2m12m12(xBXC)

当然，解本题的关键在于对f(m)ABCD的认识，通过线段在x轴的“投影”发现此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

解：（1）椭圆

2

xy1中，a2=m，b2=m-1，mm122f(m)xBxC是解此题的要点。

c=1，左焦点F1(-1,0)

则2

yCF10F2DBC:y=x+1,

2

代入椭圆方程即

AB(m-1)x+my-m(m-1)=0

得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0∴(2m-1)x+2mx+2m-m=0

22

x设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-

2m(2m5)

2m1

f(m)ABCD2(xBxA)(xDxC)2(x1x2)(xAxC)2x1x22

2m2m1

【同步练习】

x2y21、已知：F1，F2是双曲线221的左、右

ab焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若

x2y21上一点M的横坐标为5、已知双曲线

9164，则点M到左焦点的距离是

6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是

ABm，△ABF2的周长为（）

7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点

A、4aB、4a+mC、4a+2m

p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是

D、4a-m

2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的

8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长

距离小1，则P点的轨迹方程是

为

9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有

（）

一个，则k=

A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y=32x

3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且ABAC，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（）

2

x2y21上的动点，F1，10、设点P是椭圆

259F2是椭圆的两个焦点，求sin∠F1PF2的最大值。

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，AB43，求直线l的方程和椭圆方程。

12、已知直线

l

和双曲线

x2y21B、A、43x2y21(x0)43x2y21(x0)D、C、43x2y21(x0且y0)434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是

（）

1292A、(x)y(x1)B、

24x2y221(a0,b0)及其渐近线的交点从左到2ab右依次为A、B、C、D。求证：ABCD。

5

19(x)2y2(x1)

241292C、x(y)(x1)D、

2419x2(y)2(x1)

【参考答案】

1、C

将x

11

代入y=2x2得y，轨迹方程是22

AF2AF12a,BF2BF12a，

∴x

11(y>)227、y2=x+2(x>2)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则

22y122x1,y22x2,y12y22(x1x2),AF2BF2AB4a,AF2BF2AB4a2m,选C

2、C

点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线

y1y2(y1x1x2p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C

3、D

∵ABAC22，且ABAC

∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故选D。

4、A

设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得

1(2x1)2(2y)24，∴(x1)2y2924①又c

4b22b2∴1+cosθ=∵r1+r22r1r2，2r1r2r1r2∴r1r2的最大值为a2

12、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中点为M(x0，y0)直线l的斜率为k，则

x12y1221①2①-②得ab22x2y21②a2b2182b2∴1+cosθ的最小值为2，即1+cosθ

25acosθ2x02y02k02ab77，0arccos则当2525③

,y1),C(x2,y2),BC中点为M(x0,y0)，设B(x1x12y121④1202则ab122y1x2220⑤2ba12y02x1④-⑤得22k0⑥

ab2时，sinθ取值得最大值1，

即sin∠F1PF2的最大值为1。

x2y211、设椭圆方程为221(ab0)

aba2c成等差数列，由题意：C、2C、ca2c即a22c2，∴4ccc∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2椭圆方程为y2)

22x12y12x2y21②则221①

2bb2b2b222x12x2y12y20①-②得222bb22由③、⑥知M、M均在直线l:上，而M、M又在直线l上，

2x2yk0a2b2若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立若l不过原点且与x轴不垂直，则M与M重合∴ABCD

xy1，设A(x1，y1)，B(x2，2b2b2椭圆与双曲线的对偶性质总结

椭圆

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线

PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线

相离.

，

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

xyk0∴m2m22bb2k0∴k=1即2直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3，代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0

∴

3x2+12x+18-2b2=0

112212(182b2)243x2y25.若P30(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭

ab

x0xy0y2221.圆的切线方程是2xy2ab1，直线解得b=12，∴椭圆方程为

2412x2y26.若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过Po作

l方程为x-y+3=0abABx1x211

椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的

直线方程是

x0xy0ya2b21.椭圆x2y27.a2b21(a＞b＞0)的左右焦点分别为

F1，F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则

椭圆的焦点角形的面积为S2F1PF2btan2.

8.椭圆x2y2a2b21（a＞b＞0）的焦半径公式：

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),

F2(c,0)M(x0,y0)).

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，

A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,

A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

AB是椭圆x2y211.a2b21的不平行于对称轴的弦，

M(x的中点，则kb20,y0)为ABOMkABa2，

b2即Kx0ABa2y。

0若P(xx2y212.00,y0)在椭圆a2b21内，

则被Po所平x2分的中点弦的方程是0xy0yx20y0a2b2a2b2.

13.若Px2y20(x0,y0)在椭圆a2b21内，

则过Po的弦中点的轨迹方程是x2y2x0xy0ay2b2a2b2.

双曲线

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内

角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在

直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直

8

径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

在双曲线x2y25.若P0(x0,y0)a2b21（a＞0,b

＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是x0xa2y0yb21.Px2y26.若0(x0,y0)在双曲线a2b21（a＞0,b

＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

x0xa2y0yb21.双曲线x2y27.a2b21（a＞0,b＞o）的左右焦点

分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点

F1PF2，

则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot2.

8.双曲线x2y2a2b21（a＞0,b＞o）的焦半径公

式：(F1(c,0),F2(c,0)

当

M(x0,y0)在右支上时，

|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、

Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两

点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x211.AB是双曲线y2a2b21（a＞0,b＞0）的不

平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中

2点

，则

KOMKbx0ABa2y，即

02Kbx0ABa2y。

若Px2y212.0(x0,y0)在双曲线a2b21（a＞0,b

＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

x220xa2y0yx0y0b2a2b2.13.若Px2y20(x0,y0)在双曲线a2b21（a＞0,b

＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

x2a2y2x0xy0yb2a2b2.椭圆与双曲线的经典结论

椭圆

椭圆x2y21.a2b21（a＞b＞o）的两个顶点为

A1(a,0),A2(a,0)，

与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是

x2y2a2b21.x22.过椭圆y2a2b21(a＞0,b＞0)上任一点

A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交

椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且

2kbx0BCa2y（常数）.0x2y23.若P为椭圆a2b21（a＞b＞0）上异于

长轴端点的任一点,F1,F

2

是焦点,PF1F2,

PF2F1，

则

acactaco2n2.t设椭圆x2y24.a2b21（a＞b＞0）的两个焦点

为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

PF1F2,

F1F2P，则有

sincsinsinae.

x2y25.若椭圆a2b21（a＞b＞0）的左、右焦

9

点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤

21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1

是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

P为椭圆x2y26.a2b21（a＞b＞0）上任一

点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且

仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

7.椭圆(xx0)2(yy0)2a2b21与直线AxByC0有公共点的充要条件是

A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x28.已知椭圆ay22b21（a＞b＞0），O为坐标

原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.

（1）1|OP|21|OQ|21a21b2;（2）2

2

的最大值为4a2b2|OP|+|OQ|a2b2（;3）SOPQ的最小值是a2b2a2b2.

x29.过椭圆y2a2b21（a＞b＞0）的右焦点F

作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

|PF||MN|e2.

已知椭圆x2ay210.2b21（a＞b＞0）,A、B、

是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x

轴相交于点P(x0,0),则

a2b2a2b2ax0a.

设P点是椭圆x2y211.a2b21（a＞b＞0）上异

于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

F1PF2，则(1)

PF2b2|1||PF2|1cos.(2)

S2PF1F2btan2.

2212.设A、B是椭圆

xa2yb21（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

PAB,PBA,BPA，c、e分别是椭圆的

半焦距离心率，则

有(1)|PA|2ab2|cos|a2c2cos2.(2)tantan1e2.(3)

2a2b2SPABb2a2cot.已知椭圆x2y213.a2b21（a＞b＞0）的右准线

l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直

线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长

轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准

线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以

该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连

线段分成定比e.

10

18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆

中心的比例中项.

双曲线

双曲线x2y21.a2b21（a＞0,b＞0）的两个

顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行

的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2

x2y2交点的轨迹方程是a2b21.

x22.过双曲线y2a2b21（a＞0,b＞o）上任

一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补

的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kb2x0BCa2y（常数）.

03.若P为双曲线x2y2a2b21（a＞0,b＞0）

右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2,PF2F1，则

cacatan2cot2（或

cacatacon22）.t4.设双曲线x2y2a2b21（a＞0,b＞0）的两

个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记

F1PF2,

PF1F2,F1F2P，则有

sin(sinsin)cae.

若双曲线x2y25.a2b21（a＞0,b＞0）的左、

右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d

与PF2的比例中项.

P为双曲线x2y26.a2b21（a＞0,b＞0）上

任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x227.双曲线

a2yb21（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件

是A2a2B2b2C2.

已知双曲线x2y28.a2b21（b＞a＞0），O

为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）

11|OP|2|OQ|21a21b2;（2）2|OP|2

+|OQ|2

的最小值为4ab2b2a2（;3）SOPQ的a2b2最小值是b2a2.

x29.过双曲线y2a2b21（a＞0,b＞0）的右

焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，

则

|PF||MN|e2.2210.已知双曲线

xa2yb21（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直

平分线与x轴相交于点P(x0,0),则

a2b2a2b2x0a或x0a.

设P点是双曲线x2y211.a2b21（a＞0,b＞

0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)

2b2|PF1||PF2|1cos.(2)

SPF1F2b2cot2.

11

设A、B是双曲线x2y212.a2b21（a＞0,b

＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一

点，PAB,

PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有

(1)|PA|2ab2|cos||a2c2cos2|.

(2)tantan1e2.(3)

2a2b2SPABb2a2cot.13.已知双曲线x2y2a2b21（a＞0,b＞0）的

右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切

线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线

交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距

离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心

将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点

到双曲线中心的比例中项.

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