高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结

高中数学人教版_必修五_不等式_知识点最完全精炼总结

1.两实数大小的比较

abab0abab0abab0

2.基本不等式定理

a2b22ab1a2b2(ab)222ab整式形式ab22ab2ab2abab2根式形式2(a2b2)abba2(a,b同号）分式形式ab1a0a2a倒数形式1a0a2a

4.公式：5.解不等式

a121babab2a2b22(1)一元一次不等式(2)一元二次不等式：

△=b2-4acbxa(a0)axb(a0)bx(a0)a△>0△=0△0)yx1Oxx2Ox1yyxOx

ax2+bx+c=0有两相异实根有两相等实根b没有实根(a>0)的根x1,x2(x10(y>0)的解集{x|xx2}{x|x1

注:解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：

1、讨论a与0的大小；2、讨论与0的大小；3、讨论两根的大小；二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题：

22例1．已知关于x的不等式x(3a)x2a10在(2，0)上恒成立，求实数a的取值范围．

例2．关于x的不等式ylog2(ax2ax1)对所有实数x∈R都成

立，求a的取值范围.例3.若对任意x0,

、函数1、分离参数后用最值23、用图象x则a的取值范围.a恒成立，2x3x12

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、

函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.二次方程根的分布问题的讨论：

1．x1

f(k)0bk2a0yx1kOx2x

y2．k

y3．x1

f(k)0kx1Oxx3

4．k1

yOk1x1k2x2xf(k1)0f(k2)0f(k1)00f(k)02kbk122a

6．k1

练习：1.求满足|x|+|y|≤4的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

2.求函f(x)2log12xlog(0x1)的最大值；2x34.f(x)=x+1x1（x4）的最小值4.求函数f(x)(x1)24x1(x1)的最小值.

5.已知两个正数a,b满足ab4,求使2a8bm恒成立的

m的取值范围.61.已知x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

扩展阅读：高中数学人教版 必修五 不等式 知识点最完全精炼总结

一.不等式知识要点

1.两实数大小的比较

abab0abab0abab02.不等式的性质：8条性质.

a2b22aba2b21(ab)22ab23.基整式形式ab2本不a2b2ab2等式ab定理

根式形式ab2ab2(22ab)分式形式ba2(a,b同号）ab1a0a倒数形式a2a0a1a2

4.公式：2aba2b2a1b1ab22

1

3.解不等式

x(1)一元一次不等式axb(a0)x(2)一元二次不等式：

判别式△=b2-4acb(a0)ab(a0)a△0△=0y=ax2+bx+c的图象(a>0)yx1Oxx2yyOx1xOx没有实根ax2+bx+c=0有两相异实根(a>0)的根有两相等实根x1,x2(x10{x|xx2}{x|x≠(y>0)的解集2aRax2+bx+c

一元二次不等式的求解流程：

一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.(3)解分式不等式：

高次不等式：

f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)f(x)g(x)00g(x)0g(x)(xa1)(xa2)(xan)0

(4)解含参数的不等式：（1）

(x2)(ax2)>0

（2）x2(a+a2)x+a3>0；

（3）2x2+ax+2>0；

注:解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：

1、讨论a与0的大小；2、讨论与0的大小；3、讨论两根的大小；

二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想

(4)含参不等式恒成立的问题：

22x(3a例1．已知关于x的不等式)x2a10

在(2，0)上恒成立，求实数a的取值范围．例2．关于x的不等式

、函数12、分离参数后用最值3、用图象ylog2(ax2ax1)对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.

例3.若对任意

xx0,2a恒成立，x3x1则的取值范围.

a

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.

二次方程根的分布问题的讨论f(k)y1．x01

bk2ax1k0Oxx2yf(k)02．k

f(k)0kx1Oxx

：5

4．k1

yOk1x1k2x2xf(k1)0f(k2)0f(k1)00f(k)02kbk122a

6．k1

练习：1.求满足|x|+|y|≤4的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

2.求函f(x)2log12xlogx(0x1)的最大值；234.f(x)=x+1x1（x4）的最小值4.求函数f(x)(x1)x214(x1)

的最小值.

5.已知两个正数a,b满足ab4,求使28abm恒成立的m的取值范围.

61.已知x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

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