高中数学不等式经典方法总结

高中数学不等式经典方法总结

次不等式：

一元二

一元一次不等式的解轴表示）例1、已知关于x围．

例2．关于x的不等式

对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.

例3、若关于x的不等式x2axa0的解集为(,)，则实数a的取值范围是

______________；若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是______________。（-4,0）,,62,

几个重要不等式（1）若aR,则|a|0,a2x(3a)x2a1022法：（依据、步骤、注意的问题，利用数

ylog2(ax2ax1)的不等式在(2，0)上恒成立，求实数a的取值范

0

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么

(4)若a、b、cR,则abab（当仅当.2a=b时取等号）一正、二定、三相等.

abc3abc（当仅当3a=b=c时取等号）

ba(5)若ab0,则2（当仅当ab

22a=b时取等号）

2|x|axaxa或xa;|x|ax(6)a0时，（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|

a2axa

常用不等式

22ababab2(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（1）2211ab（2）a、b、cR，a2b2c2abbcca（当且仅当abc时，取等号）；（3）若ab0,m0，则babm（糖水的浓度问题）。如am如果正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_________（答：9,）常用不等式的放缩法：①1n1111112(n2)n1n(n1)nn(n1)n1n②n1n性

1nn112n1nn1nn1(n1)利用函数的单调

简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，

并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式(x1)(x2)20。（答：{x|x1或x2}）；

（2）不等式(x2)x22x30的解集是____（答：{x|x3或x1}）；

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为{x|1x2}，g(x)0的解集为，则不等式f(x)g(x)0的解集为______（答：(,1)[2,)）；

（4）要使满足关于x的不等式2x29xa0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是______.（答：[7,)）分式不等式的解法：先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式

中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式

5x1（答：(1,1)(2,3)）；

x22x3axb0的解x2818（2）关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式集为_____（答：(,1)(2,)）.绝对值不等式的解法：

（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如x1x2＞a在xR上有解,则a的取值范围是（,3）（2）利用绝对值的定义；xa(a0)axa，xa(a0)xa或xa（3）数形结合；如解不等式|x||x1|3（答：(,1)(2,)）

（4）两边平方：如若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。（答：{}）

含参不等式的解法：求解通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.

如（1）若loga1，则a的取值范围是__________（答：a1或0a）；

ax2x(aR)（2）解不等式

ax1

234323（答：a0时，{x|x0}；a0时，{x|x或x0}；a0时，{x|x0}或x0}）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式axb0的解集为(,1)，则不等式含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.

x20的解集为__________（答：（－1,2））axb1a1a如设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)

不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用

函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

如（1）设实数x,y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是______（答：21,）；（2）不等式x4x3a对一切实数x恒成立，a1）求实数a的取值范围_____（答：；

（3）若不等式2x1m(x21)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围_____（答：（

7131,））；22(1)n1（4）若不等式(1)a2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是

nn_____（答：[2,)）；

（5）若不等式x22mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围（.答：

m1）2322).能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmaxA；若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB.如已知不等式（答：a1）

两个重要函数：|x||x1|3函数y=x+练习：

1、已若x1，求23x1x9y145的最小值．已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值

4x5x14x4x3a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____

1x2、知x,yR且1，则xy的最小值是_____________．若x2y1，则2x4y的最小值是______

3、知a，b，c，d均为实数，有下列命题：若ab0，bcad0，则若bcad0，

cacadcd0；若ab0，0，则bcad0babd0，则ab0其中正确命题是（）b

(x1)24f(x)(x1)x14.求函数的最小值.

5、求证：11111123422x(1x)2x(1x)(1x)()2232n222327二元一次不等式组与简单线性规划问题

1.二元一次不等式表示的平面区域：直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线l上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0

（2）直线l一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足ax+by+c>0（3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+cxy30x2y50例3、已知实数x,y满足，则y2x的最大值是_________.x0y01、点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到

坐标原点距离的取值范围是（）A.[0，5]

B.[0，10]C.[5，10]D.[5，15]

xy2≤0，y2．已知变量x，y满足约束条件x≥1，则的取值范围是（）

xy7≤0，xA．B．36，,6，6，C．，5599D．[3，6]

x2y10，2xy3,3.设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距离0x4,y1的最大值是.

x1,4.已知xy10,则x2y2的最小值是.

2xy20例1．C;例2.A;例3、___0_____.1、B;2.A;3.42;4.5;

扩展阅读：高中数学不等式方法总结

几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么abab.（当仅当a=b时取等号）一正、二定、三相等.

2(4)若a、b、cR,则abc3abc（当仅当a=b=c时取等号）3

ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab

|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa(6)a0时，（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|

常用不等式

22ababab2(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（1）2211ab222（2）a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；

（3）若ab0,m0，则

bbm（糖水的浓度问题）。如aam如果正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_________（答：9,）

11111常用不等式的放缩法：①112(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)利用函数的单调性

简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的

系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶

弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式(x1)(x2)0。（答：{x|x1或x2}）；

（2）不等式(x2)x22x30的解集是____（答：{x|x3或x1}）；

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为{x|1x2}，g(x)0的解集为，则不等式f(x)g(x)0的解集为______（答：(,1)[2,)）；

2（4）要使满足关于x的不等式2x9xa0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式

2x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是______.（答：[7,81)）8分式不等式的解法：先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后

用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式

5x1（答：(1,1)(2,3)）；

x22x3axb0的解集为_____（答：x2（2）关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式

(,1)(2,)）.绝对值不等式的解法：

（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如x1x2＞a在xR上有解,则a的取值范围是（,3）（2）利用绝对值的定义；xa(a0)axa，xa(a0)xa或xa

（3）数形结合；如解不等式|x||x1|3（答：(,1)(2,)）

（4）两边平方：如若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。（答：{}）

含参不等式的解法：求解通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若loga43221，则a的取值范围是__________（答：a1或0a）；33ax2x(aR)（2）解不等式

ax1

（答：a0时，{x|x0}；a0时，{x|x11或x0}；a0时，{x|x0}或x0}）aax20的解

axb提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式axb0的解集为(,1)，则不等式集为__________（答：（－1,2））含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.

如设f(x)xx13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)

不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1).恒成立问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

22如（1）设实数x,y满足x(y1)1，当xyc0时，c的取值范围是______（答：21,）；

2（2）不等式x4x3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：a1）；

（3）若不等式2x1m(x1)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围_____（答：（

27131,））；22(1)n13（4）若不等式(1)a2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____（答：[2,)）；

2nn2（5）若不等式x2mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.（答：m1）22).能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmaxA；若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB.如

已知不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____（答：a1）两个重要函数：|x||x1|3函数y=x+练习：

1、已若x1，求23x2、知x,yR且

1x514的最小值．已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值

44x5x1191，则xy的最小值是_____________．若x2y1，则2x4y的最小值是______xy3、知a，b，c，d均为实数，有下列命题：若ab0，bcad0，则若bcad0，cdcd0；若ab0，0，则bcad0ababcd0，则ab0其中正确命题是（）ab

(x1)24f(x)(x1)4.求函数的最小值.x1

5.求证：11111123422x(1x)2x(1x)(1x)()2232n222327

二元一次不等式组与简单线性规划问题

1.二元一次不等式表示的平面区域：直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线l上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0

（2）直线l一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标都满足ax+by+c>0（3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c例题分析：

x0例1．若A为不等式组y0表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部

yx2分区域的面积为()

A．

37B．1C．D．5442xy20例2.如果点P在平面区域xy20上，点O在曲线x2(y2)21上，

2y10那么|PQ|的最小值为（）

(A)

431(C)221(D)21(B)

25xy30x2y50例3、已知实数x,y满足，则y2x的最大值是_________.

x0y01、点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到

坐标原点距离的取值范围是（）A.[0，5]B.[0，10]C.[5，10]D.[5，15]

xy2≤0，y2．已知变量x，y满足约束条件x≥1，则的取值范围是（）

xy7≤0，xA．,6B．，6，36，C．，5599D．[3，6]

x2y10，2xy3,3.设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距离的最大值是.

0x4,y1x1,224.已知xy10,则xy的最小值是.

2xy20例1．C;例2.A;例3、___0_____.1、B;2.A;3.42;4.5;

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