高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)

高中数学选修2-1知识点总结(考前复习必备)

高二数学选修2－1知识点

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真真假假真假真真真假假假假

四种命题的真假性之间的关系：

全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．

10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．

11、平面内与两个定点F）的点的轨迹称为椭圆．这1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程

x2y21ab0a2b2axa且byby2x21ab0a2b2bxb且aya

1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．

1a,0、2a,010,b、20,b

10,a、20,a1b,0、2b,0

短轴的长2b长轴的长2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22cc2a2b2

关于x轴、y轴、原点对称

cb2e120e1aaa2x

ca2y

c13、设是椭圆上任一点，点到F点到F2对应准线的距离为d2，1对应准线的距离为d1，

第1页共5页则

F1d1F2d2e．

渐近线方程

ybxayaxb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

17、设是双曲线上任一点，点到F点到F2对应准线的距离为d2，1对应准线的距离为d1，则

14、平面内与两个定点F）的点的轨迹称为1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

15、双曲线的几何性质：

焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上

F1d1F2d2e．

18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛

物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．20、焦半径公式：

图形

标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程

x2y221a0,b02abxa或xa，yRy2x221a0,b02abya或ya，xR

p；2p若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx0；

2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0；

2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0．

2若点x0,y0在抛物线y22pxp0上，焦点为F，则Fx0

21、抛物线的几何性质：标准方程

1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0

10,a、20,aF10,c、F20,c

y22pxy22pxx22py

虚轴的长2b实轴的长2a

p0p0p0

x22pyp0

F1F22cc2a2b2

关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

图形

cb2e12e1aaa2x

ca2y

c顶点

0,0

x轴

y轴

对称轴

第2页共5页焦点

pF,02xp2pF,02xp2pF0,

2yp2pF0,

2yp22求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角

形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．

24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方

准线方程

离心率

e1

向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是ay0

y0

的长度的

范围

x0x0

倍．

22、空间向量的概念：

25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量

的方向．

分配律：abab；结合律：aa．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

，记作．3向量的大小称为向量的模（或长度）

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实

4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

23、空间向量的加法和减法：

它遵循平行1求两个向量和的运算称为向量的加法，

四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已

数，使ab．

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

29、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使

或对空间任一定点，有或若四点，，，xyC；xyC；

C共面，则xyzCxyz1．

30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向

量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．

知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起

点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方

法，称为向量加法的平行四边形法则．

aa31、对于两个非零向量和b，若a,b，则向量，b互相垂直，记作ab．

2第3页共5页a,b称为a，b的数量积，记作ab．即32、已知两个非零向量a和b，则abcosababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0．

33、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；

39、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空

间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重

合，得到向量p．存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作px,y,z．此时，向量p的坐标是点

2aba与b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa与b反向ab4cosa,b；5abab．

ab在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．

40、设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，则1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．

35、向量数乘积的运算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．

36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，

使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．

37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组

6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．

aaax12y12z12．7x1x2y1y2z1z2abcosa,b．8222222abx1y1z1x2y2z2x,y,z，使得pxaybzc．

38、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，

9x1,y1,z1，x2,y2,z2，则d量称为点的位置向量．

x2x1y2y1z2z1222．

aa,b,c称为空间的一个基底，，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构

41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向

成空间的一个基底．

第4页共5页42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l上

一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和

向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点．

43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，

它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对x,y，使得

xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置．

44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．

45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//ba//b

51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

52、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为

ndcos,n．

n53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面

n的距离为dcos,n．

n

abR，ababab0．

46、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则a//a//

anan0，aaa//nan．

47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则//a//b

ab，abab0．

48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有

abcoscos．

ab49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，

ln则有sincos．

ln50、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）

n1n2就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则cos．

n1n2第5页共5页

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高二数学选修2－1知识点

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真真假假真假真真真假假假假

四种命题的真假性之间的关系：

全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．

特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．

10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px．全称命题的否定是特称命题．

11、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程

x2y21ab0a2b2axa且byb1a,0、2a,010,b、20,b

y2x21ab0a2b2bxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0

1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题．

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题．

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．

若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．

短轴的长2b长轴的长2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22cc2a2b2

关于x轴、y轴、原点对称

cb2e120e1aaa2x

ca2y

c13、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，

第1页共5页

则

F1d1F2d2e．

渐近线方程

ybxayaxb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

17、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则

14、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

15、双曲线的几何性质：

焦点在y轴上焦点的位置焦点在x轴上

F1d1F2d2e．

18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛

物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．20、焦半径公式：

图形

标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程

x2y221a0,b02abxa或xa，yR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0

y2x221a0,b02abya或ya，xR10,a、20,aF10,c、F20,c

p；2p2若点x0,y0在抛物线y2pxp0上，焦点为F，则Fx0；

2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0；

2p2若点x0,y0在抛物线x2pyp0上，焦点为F，则Fy0．

2若点x0,y0在抛物线y2pxp0上，焦点为F，则Fx02

21、抛物线的几何性质：标准方程

y22pxy22pxx22pyx22py

虚轴的长2b实轴的长2a

p0

p0p0

p0

F1F22cc2a2b2

关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

图形

cb2e12e1aa顶点

0,0

x轴

y轴

a2x

ca2y

c对称轴

第2页共5页

焦点

pF,02pF,02pF0,2pF0,

22求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角

形法则．即：在空间任取一点，作a，b，则ab．

24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方

准线方程

xp2xp2yp2yp2离心率e1

向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是ay0

y0

的长度的倍．

范围x0x0

22、空间向量的概念：

25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：abab；结合律：aa．

1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量

的方向．

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

，记作．3向量的大小称为向量的模（或长度）

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实

4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．6方向相同且模相等的向量称为相等向量．

23、空间向量的加法和减法：

它遵循平行1求两个向量和的运算称为向量的加法，

四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已

数，使ab．

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

29、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使

xyC；xyC；或对空间任一定点，有或若四点，，，C共面，则xyzCxyz1．

30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．

知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起

点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方

法，称为向量加法的平行四边形法则．

31、对于两个非零向量a和b，若a,b，则向量a，b互相垂直，记作ab．

2第3页共5页

称为a，b的数量积，记作ab．即32、已知两个非零向量a和b，则abcosa,bababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0．

33、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．

39、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空

间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重

34、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1eaaeacosa,e；

合，得到向量p．存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作px,y,z．此时，向量p的坐标是点

2aba与b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa与b反向ab4cosa,b；5abab．

ab在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,z．

bx,y,za40、设ax1,y1,z1，222，则1bx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．

35、向量数乘积的运算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b为非零向量，则abab0x1x2y1y2z1z20．6若b0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．aaax12y12z12．

x1x2y1y2z1z2ab8．cosa,b222222abx1y1z1x2y2z236、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量．

37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组x,y,z，使得pxaybzc．

738、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，

9x1,y1,z1，x2,y2,z2，则d量称为点的位置向量．

x2x1y2y1z2z1222．

a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构

41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向

成空间的一个基底．

第4页共5页

42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l上

一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和

向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点．

43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，

它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对x,y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置．

44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量．

45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//ba//babR，ababab0．

46、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则a//a//

anan0，aaa//nan．

47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则//a//b

51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

52、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为

ndcos,n．

n53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面

n的距离为dcos,n．

n

ab，abab0．

48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有

abcoscos．

ab49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，

ln则有sincos．

ln50、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）

n1n2就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则cos．

n1n2第5页共5页

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