高中数学知识点总结_不等式的性质与证明

高中数学知识点总结_不等式的性质与证明

要点重温之不等式的性质与证明

1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>ban>bn；

2222

当a|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由0b；⑤若a>b,则lg(a21)lg(b21),⑥若ab；⑦若a0,则

acabcbbaab3

322

；⑨若a>b且

1a1b,则a>0,bb>c且a+b+c=0，则：①a>ab，②b>bc，③bc由⑤×9+⑥得：

163≤9a+c≤13⑦，即

163≤f(3)≤13。错误的原因在于：

当且仅当1=－a－c且2=4a+c时⑤式中的1=a成立，此时，a=1，c=－2；当且仅当－4a－4c=8且4a+c=3时⑥式中的可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的正解是待定系数得f(3)=∴7≤f(3)≤

34353163113=c成立，此时，a=

53，c=113；

=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。

53f(1)+

83f(2)，又：≤53f(1)≤

103；

163≤

83f(2)≤8

。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1，

53c=－2时，不等式c=113≤5353f(1)和

103163≤

8383f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=

34353，

时，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=成立；所以这

个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。

注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。

[巩固]设正实数a、b、c、x、y，且a、b、c为常数，x、y为变量，若x+y=c，则的最大值是：A．(ab)cB．

abc2ax+byC．

a2bcD．

(ab)22

3．关注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等号成立的条件；具体的：xy≥0

|x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y||x-y|=|x|-|y|；xy≥0且|x|≤|y||x-y|=|y|-|x|；xy≤0|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y||x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y||x+y|=|y|-|x|。

[举例1]若m>0,则|x-a|其中包含常用不等式：ab≥

ab222(ab)22；(ab)(1a1b)≥4以及基本不等式：

ab2≥ab，基本不等式还有另外两种形式：若a≤0、b≤0，则≤ab；

若：a、b∈R，则a2b2≥2ab；用基本不等式求最值时要关注变量的符号、放缩后是否为定值、等号能否成立（即：一正、二定、三相等，积定和小、和定积大）。[举例1]若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x+y-4x-2y-8=0的周长，则值为。

解析：圆心（2，1），“直线始终平分圆”即圆心在直线上，∴a+b=1,

1a2baba2a2bbba2ab122

2

1a2b的最小

=3322,当且仅当a=b=时等号成立。

[举例2]正数a,b满足a+3=b(a-1),则ab的最小值是，a+b的最大值是。解析：ab=a+b+3≥2ab+3ab-2ab-3≥0等号成立。a+b=ab-3≤(

ab≥3ab≥9，当且仅当a=b=3时

ab2)-3(ab)4(ab)120a+b≥6,当且仅当

22a=b=3时等号成立。

注：该方法的实质是利用基本不等式将等式转化为不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放缩得到最值，因此不存在放缩后是否为定值的问题。[巩固1]在等式119中填上两个自然数，使它们的和最小。

[巩固2]某工厂第一年年产量为A，第二年的年增长率为a，第三年的年增长率为b，这两年的平均增长率为x，则

A．xab2

ab2

ab2（）

ab2B．xC．xD．x

[迁移]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半时间步行、

一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则：

A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．不能确定谁先到教室5．比较大小的方法有：①比差：判断“差”的正负，因式分解往往是关键；②比商：判断“商”与1的大小，两个式子都正才能比商，常用于指数式的比较；③变形：如平方（需为正数）、有理化（根式的和、差）等；④寻求中间变量，常见的有0，1等；⑤数形结合。用定义证明单调性的过程就是已知自变量的大小比较函数值的大小的过程。[举例1]已知ab0且ab1，若0c1,plogp、q的大小关系是（）

abc222,qlogc(1ab),则

2A．pq解析：记x=

ab222B．pqC．pqD．pq,y=(

1ab)2,直接比较x、y的大小将大费周章，但：x>

2ab2=1,y=

1ab2ab1ab2x

12ab2=

14，∴x>y，又0[迁移]已知an=2n-1,数列{an}的前n项和为Sn，bn=对一切自然数n，恒有Tn

扩展阅读：高中数学知识点总结 第六章不等式

高中数学第六章-不等式

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明．

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．

（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

06.不等式知识要点

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.

（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdabcd（异向不等式相除）

(10)ab,ab011（倒数关系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么abab.（当仅当a=b时取等号）

2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；○

2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,则abc3abc（当仅当a=b=c时取等号）ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

211abababa2b2（当仅当

.22a=b时

取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

2222abababab22特别地，ab(（当a=b时，())ab）

2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).

1111111常用不等式的放缩法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解○1f(x)g(x)g(x)0定义域

f(x)g(x)f(x)0○2

f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○

3应用化归思想等价转化○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792类似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③|x1||x||1|(x与1同号，故取等)2

22xxx

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