高数知识点总结(1)[1]

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专接本高数知识点总结（上册）

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函数：绝对值得性质：(1)|a+b||a|+|b|（1）表格法(2)|a-b||a|-|b|(3)|ab|=|a||b|（2）图示法(4)|ab|=|a||b|(b0)函数的表示方法：（3）公式法（解析法）函数的几种性质：（1）函数的有界性（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性定理：如果函数（1）幂函数（3）对数函数（5）反三角函数反函数：yf(x)在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数yf（2）指数函数（4）三角函数1(x)存在，且是单值、单调的。基本初等函数：复合函数的应用极限与连续性：数列的极限：xnxn是一个数列，a是一个定数。x（不管它多么小）如果对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得对于n>N的一切n，不等式limxaxn的极限，或称数列xn收敛于a，记做nnxan都成立，则称数a是数列，或n（）定义：设收敛数列的有界性：定理：如果数列axn收敛，则数列xn一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛定义及几何定义（略见书37页）。（1）同号性定理：如果函数的极限：函数极限的性质：。f(x)0）（2）如果limf(x)A，且在x0的某一邻域内（xx0），恒有f(x)0（或f(x)0），则A0xx0（3）如果limf(x)存在，则极限值是唯一的xx（4）如果lim0f(x)存在，则在f(x)在点x0的某一邻域内（xx0）是有界的。无穷小与无穷大：xx0xx0limf(x)A，而且A>0(或A北雁高数知识点总结QQ:760722085E_mail:heblyd@163.com

重要极限：limg(x)A，limh(x)Axx0则limf(x)A（2）xx0准则二0xx单调有界数列必有极限定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在sinx111xx0xx（3）lim(1)e或lim(1x)exx0x无穷小阶的定义：（1）lim设、为同一过程的两个无穷小。（1）如果lim（2）lim1cosxx2x0120，则称是比高阶的无穷小，记做o()（2）如果lim，则称是比低阶的无穷小（3）如果limc(c0,c1)，则称与是同阶无穷小（4）如果lim1，则称与是等阶无穷小，记做~几种等价无穷小：对数函数中常用的等价无穷小：x0时，ln(1x)~x(x0)x0时，sinx~xtanx~xloga(1x)~1lnax(x0)三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：1cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x指数函数中常用的等价无穷小：x0时，ex1~xax1exlna1~lnaxn1x1~二项式中常用的等价无穷小：ax0时，(1x)1~axn函数在某一点处连续的条件：limf(x)f(x0)可知，函数f(x)在点x0（1）f(x)在点x0处有定义（2）当xx0时，f(x)的极限limf(x)存在xx0f(x0)（3）极限值等于函数f(x)在点x0处的函数值由连续定义xx0处连续必须同时满足下列三个条件：极限与连续的关系：如果函数f(x)在点x0处连续，由连续定义可知，当xx0时，f(x)的极限一定存在，反之，则不一定成立第二类间断点(有一个极限不存在)也连续函数的间断点：分类：第一类间断点(左右极限都存在)定理：如果函数定理：如果函数定理：设函数连续函数的和、差、积、商的连续性：f(x)、g(x)在点x0处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x0反函数的连续性：yf(x)在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数x(y)也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数最大值与最小值定理：f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有界定理：设函数介值定理：f(x)在闭区间a,b上连续，两端点处的函数值分别为f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A与B之间的任一值，则在开区间(a,b)内至少有一点，使得f()(ab)(两端点的函数值异号)，则在(a,b)的内部，至少存在一点，使推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值推论（2）：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0f()0导数与微分导数：定义：x导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率x0ylim"f(xx)f(x)函数可导性与连续性之间的表示：如果函数在x处可导，则在点x处连续，也即函数在点x处连续一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导

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据导数的定义求导：（1）f(x0x)f(x0)yy"|xx0limf(xlim)f(x)x0x00x（2）y"|xxlimxf(xx)f(x)0xxxx0（3）y"|xxlim00x0x基本初等函数的导数公式：(c)"0n（2）幂函数的导数公式(x)"nx（1）常数导数为零（3）三角函数的导数公式n1(sinx)"cosx(cosx)"sinx12(cotx)"cscx2sinx(cscx)"cscxcotx11（4）对数函数的导数公式：(logax)"logaexxxxlna（5）指数函数的导数公式：(a)"alnaxx（6）(e)"e（7）反三角函数的导数公式：1(tanx)"sec2(secx)"secxcostanxx2x(arcsinx)"(arctanx)"函数和、差、积、商的求导法则：法则一（具体内容见书106）法则二（具体内容见书108）法则三（具体内容见书109）11212x1x""(uv)"uv(uv)"uvuv""1(arccosx)"12(arccotx)"1x21x""(uv)"uv函数乘积的求导法则：函数商的求导法则：复合函数的求导法则：（定理见书113页）反函数的求导法则：()"vuuvuvv22""反函数的导数等于直接函数导数的倒数基本初等函数的导数公式：（见书121页）高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数求n阶导数：（不完全归纳法）dydx2ddxdx(dy)(n)(sinx)(n)sin(xn2）(cosx)cos(xndydx2）"隐函数的导数：（见书126页）对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y是x的函数，它的导数用记号x(t)y(t)"1(t)"dxdxdtdxdt(t)微分概念：由参数方程所确定的函数的导数：(对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）t)（或y表示）dydydtdy函数可微的条件（见书133页）如果函数dtf(x)在点x0可微，则f(x)在点x0一定可导函数f(x)在点x0可微的必要充分条件是函数f(x)在点x0可导"dyf(x0)x函数的微分dy是函数的增量y的线性主部（当x0），从而，当x很小时，有ydydy""f(x)通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记做dx。即于是函数的微分可记为dyf(x)dx，从而有dx基本初等函数的微分公式：（见书136页）几个常用的近似公式：f(x)f(0)f(0)xsinxx（x用弧度）2e1x"n1x11nxtanxx（x用弧度）ln(1x)x中值定理与导数应用罗尔定理：如果函数

f(x)a,b上连续

（2）在开区间a,b内具有导数

（1）在闭区间

（3）在端点处函数值相等，即

满足下列条件

拉格朗日中值定理：如果函数

（1）在闭区间

f(x)f(a)f(b)，则在a,b内至少有一点，使

f()0

""a,b上连续

（2）在开区间a,b内具有导数，则在a,b内至少有一点，使得f(b)满足下列条件

f(a)f()(ba)

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于弧定理几何意义是：如果连续曲线yf(x)上的弧AB除端点处外处处具有不垂直于x轴的切线，那么，在这弧上至少有一点c，使曲线在点c的切线平行f(x)在区间a,b内的导数恒为零，那么f(x)在a,b内是一个常数f(x)与F(x)满足下列条件柯西中值定理：如果函数推论：如果函数（1）在闭区间ABa,b上连续（2）在开区间a,b内具有导数‘（3）F(x)在a,b内的每一点处均不为零，则在a,b内至少有一点使得f(b)f(a)F(b)F(a)f()F()""罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广罗比达法则：（理论根据是柯西中值定理）00未定式1、xa情形定理：如果(1)当xa时，f(x)与(x)都趋于零"（2）在点a的某领域（点a可除外）内，"f(x)与f(x))都存在且(x)0f(x)f(x)f(x)(x（3）lim存在（或为），则极限lim存在（或为），且lim=limxa"(x)xa"(x)xa(x)xa(x)在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为罗比达法则2、x情形"""推论：如果（1）当x未定式时，f(x)与(x)都趋于零""""f(x)与(x)都存在且(x)0"（2）当|x|>N时，f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或为），则极限lim存在（或为），且lim=limx"(x)x"(x)x(x)x(x)1、xa情形如果（1）xa时，f(x)与(x)都趋于无穷大"""""（2）在点a的某领域（点a可除外）内，f(x)与(x)都存在且(x)0f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或为），则则极限lim存在（或为），且lim=limxa"(x)xa"(x)xa(x)xa(x)x2、情形推论：如果（1）x时，f(x)与(x)都趋于无穷大""""f(x)与(x)都存在且(x)0"（2）当|x|>N时，f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或为），则则极限lim存在（或为），且lim=lim0xa"(x)xa"(x)xa(x)xa(x)"注意：1、罗比达法则仅适用于型及型未定式f(x0)f(x)lim2、当lim不存在时，不能断定不存在，此时不能应用罗比达法则"xaxa(x)(x)泰勒公式（略）(x)(x)迈克劳林公式（略）函数单调性的判别法：（"必要条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，如果f(x)在"，则在a,b内，f(x)0a,b上单调增加（减少）f(x)0）充分条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，"（1）如果在a,b内，f(x)0，则f(x)在a,b上单调增加"（2）如果在a,b内，f(x)0，则f(x)在a,b上单调减少函数的极值及其求法极值定义（见书176页）必要条件：设函数极值存在的充分必要条件f(x)在点x0处具有导数，且在点x0"处取得极值，则f(x)0"函数的极值点一定是驻点导数不存在也可能成为极值点f(x)0的点，称为函数f(x)的驻点充分条件（第一）：设连续函数f(x)在点x0的一个邻域（x0点可除外）内具有导数，当x由小增大经过x0"（1）f(x)由正变负，则x0是极大点"（2）f(x)由负变正，则x0是极小点"（3）f(x)不变号，则x0不是极值点";;充分条件（第二）：设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f(x0)0，f(x0)0;;（1）如果f(x0)0，则f(x)在x0点处取得极大值;;（2）如果f(x0)0，则f(x)在x0点处取得极小值驻点：使时，如果函数的最大值和最小值（略）曲线的凹凸性与拐点：定义：设f(x)在a,b上连续，如果对于a,b上的任意两点x1、x2恒有f(x1x22)f(x1f(x2)2，则称f(x)在a,b上

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的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）凸的。

判别法：定理：设函数

f(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数

;;（1）如果在(a,b)内f(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凹的

;;（2）如果在(a,b)内f(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凸的

拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。

不定积分原函数：如果在某一区间上，函数F(x)与"f(x)满足关系式：F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，则称在这个区间上，函数F(x)是函数f(x)的一个原函数结论：如果函数f(x)在某区间上连续，则在这个区间上f(x)必有原函数定理：如果函数F(x)是f(x)的原函数，则F(x)C（C为任意常数）也是f(x)的原函数，且f(x)的任一个原函数与F(x)相差为一个常数不定积分的定义：定义：函数性质一：(不定积分的性质：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记做f(x)dx"性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即12nf(x)dx)f(x)或d(f(x)dx)f(x)dx"及f(x)dxf(x)C或df(x)f(x)C[f(x)f(x)f(x)]dx性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即kf(x)dxaf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dxkf(x)dx基本积分表：（同课本211页）（1）xx（k为常数，且k0（2）xdxC(a1)kdx1kxC（k是常数）1edxeC（3）（4）xdxlna|x|Ca（5）adx（6）sinxdxcosxCC(a0,a1)1dxsecxdxtanxCaxC（7）cosxdxln（8）sin1dxcscxdxcotxC（cosxxtanxdxsecxC（9）10）sec1dxarcsinxCxcotxdxcscxC（11）sin（12）cscx1dxarctanxC1x（13）xx2222xa121x第一类换元法（凑微分法）2第二类换元法：变量代换F[(x)]Cf[(x)](x)dxtanxdxln|cosx|C"cotxdxln|sinx|C被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式基本积分表添加公式：结论：如果被积函数含有如果被积函数含有如果被积函数含有分部积分法：对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法---------分部积分法1、如果被积函数是幂函数与ax22xa22xa22，则进行变量代换xasint化去根式，则进行变量代换xatant化去根式，则进行变量代换xasect化去根式udvuv三角函数vdu分部积分公式的积，可以利用分部积分法令u等于幂函数指数函数对数函数令u=2、如果被积函数是幂函数与对数函数反三角函数反三角函数3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。定积分的定义（见课本251页）

的积，可使用分部积分法定积分

f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积

定理：如果函数在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积

定理：如果函数定积分的几何意义：

1、在[a,b]上

f(x)0，这时f(x)dx的值在几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积

a2、在[a,b]上f(x)0，其表示曲边梯形面积的负值3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得负值

b

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几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二直线x=a、x=b所围成平面图形位于x轴上方部分的面积减去x轴下方部分的面积定积分的性质：性质一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即bb[f(x)g(x)]dx性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即kf(x)dxkf(x)dx（k是常数）a性质三、如果将区间[a,b]分成两部分[ac,c]和[c,b]，那么bf(x)dxf(x)bdxf(x)bdx、aac性质四、如果在[a,b]上，f(x)1，那么bf(x)dxdxbaaa性质五、如果在[a,b]上，f(x)0，那么f(x)bdx0ba性质六、如果在[a,b]上，f(x)g(x)，那么f(x)dxg(x)dxaa性质七、设M及m，分别是函数f在区间[a,b]上的最大值及最小值，则b(x)m(b-a)f(x)dxM(b-a)(aa，如果极限limbf(x)dx即f(x)dxlimf(x)dxababaf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)在区间[a,]上的广义积分，在极坐标系中的计算法（见书291页）

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扩展阅读：高数知识点总结(1)

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函数：

绝对值得性质：(1)|a+b||a|+|b|(2)|a-b||a|-|b|(3)|ab|=|a||b|(4)||=ba|a||b|(b0)函数的表示方法：（1）表格法（2）图示法（3）公式法（解析法）函数的几种性质：（1）函数的有界性（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性反函数：定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数yf1(x)存在，且是单值、单调的。基本初等函数：（1）幂函数（3）对数函数（5）反三角函数（2）指数函数（4）三角函数复合函数的应用极限与连续性：

数列的极限：

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定义：设xn是一个数列，a是一个定数。如果对于任意给定的正数（不管它多么小），xnaa总存在正整数N，使得对于n>N的一切xn，不等式的极限，或称数列xn收敛于a，记做n收敛数列的有界性：limxna都成立，则称数a是数列xn（n），或xn定理：如果数列xn收敛，则数列xn一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛函数的极限：定义及几何定义（略见书37页）。函数极限的性质：（1）同号性定理：如果limxx0f(x)A，而且A>0(或A北雁高数知识点总结QQ:760722085E_mail:heblyd@163.com

（2）如果函数f(x)为无穷小，且f(x)0，则1f(x)为无穷大具有极限的函数与无穷小的关系：（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限关于无穷小的几个性质：定理：（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小（2）有界函数f(x)与无穷小a的乘积是无穷小推论：（1）常数与无穷小的乘积是无穷小（2）有限个无穷小的乘积是无穷小极限的四则运算法则：定理：两个函数f(x)、g(x)的代数和的极限等于它们的极限的代数和两个函数f(x)、g(x)乘积的极限等于它们的极限的乘积极限存在准则与两个重要极限：准则一（夹挤定理）设函数f(x)、g(x)、h(x)在x（1）g(x)（2）limxx0xx0x0的某个邻域内（点x0可除外）满足条件：f(x)h(x)g(x)A，limh(x)Axx0则limf(x)A准则二单调有界数列必有极限梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵！

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重要极限：（1）limsinxx(11xx0定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在11（2）lim1cosxx2x012（3）limx)xe或lim(1x)xex0无穷小阶的定义：设、为同一过程的两个无穷小。（1）如果lim（2）如果lim（3）如果lim（4）如果lim0，则称是比高阶的无穷小，记做o()，则称是比低阶的无穷小与是同阶无穷小~c(c0,c1)，则称1，则称与是等阶无穷小，记做几种等价无穷小：对数函数中常用的等价无穷小：loga(1x)~1lnax(x0)x0时，ln(1x)~x(x0)三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：1cosx~12x2x0时，sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x指数函数中常用的等价无穷小：x0时，ex1~xax1exlna1~lna二项式中常用的等价无穷小：

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nx0时，(1x)1~axa1x1~xn函数在某一点处连续的条件：由连续定义limxx0f(x)f(x0)可知，函数f(x)在点x0处连续必须同时满足下列三个条件：（1）f(x)在点x0处有定义（2）当xx0时，f(x)的极限limf(x)存在xx0（3）极限值等于函数f(x)在点x0处的函数值f(x0)极限与连续的关系：如果函数f(x)在点x0处连续，由连续定义可知，当xx0时，f(x)的极限一定存在，反之，则不一定成立函数的间断点：分类：第一类间断点(左右极限都存在)第二类间断点(有一个极限不存在)连续函数的和、差、积、商的连续性：定理：如果函数f(x)、g(x)在点x0处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x0也连续反函数的连续性：定理：如果函数yf(x)在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数x(y)也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数最大值与最小值定理：定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵！

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推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有界

介值定理：

定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，两端点处的函数值分别为

f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A与B之间的任一值，则在开区间(a,b)内至少有

一点，使得

f()(ab)

推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值推论（2）：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0(两端点的函数值异号)，

则在(a,b)的内部，至少存在一点，使f()0

导数与微分

导数：定义：y"limf(xx)f(x)xx0导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率函数可导性与连续性之间的表示：如果函数在x处可导，则在点x处连续，也即函数在点x处连续一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导据导数的定义求导：（1）y"|xx（2）y"|xx（3）y"|xxlimyxlimf(x0x)f(x0)x0x0x00limf(x)f(x0)xx0xx00limf(xx)f(x)xx0梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵！

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基本初等函数的导数公式：（1）常数导数为零(c)"0(x)"nxnn1（2）幂函数的导数公式（3）三角函数的导数公式(sinx)"cosx(cotx)"1sin2x(cosx)"sinx2(tanx)"1cos2xsec2xcscx(secx)"secxtanx(cscx)"cscxcotx(logx（4）对数函数的导数公式：（5）指数函数的导数公式：（6）(ex)"exax)"x1xlogae1xlna(a)"alna（7）反三角函数的导数公式：(arcsinx)"11x(arctanx)"11x22(arccosx)"11x2(arccotx)"11x2函数和、差、积、商的求导法则：法则一（具体内容见书106）(uv)"uv""(uv)"uv""函数乘积的求导法则：法则二（具体内容见书108）(uv)"uvuv""函数商的求导法则：法则三（具体内容见书109）()"vuuvuvv2""复合函数的求导法则：（定理见书113页）

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反函数的求导法则：反函数的导数等于直接函数导数的倒数基本初等函数的导数公式：（见书121页）dy2高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数求n阶导数：（不完全归纳法）(sinx)(n)dx2ddxdx(dy)sin(xn2）(cosx)(n)cos(xn2）隐函数的导数：（见书126页）对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y是x的函数，它dydx的导数用记号（或y"表示）对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）x(t)(t)y(t)由参数方程所确定的函数的导数：dydxdydtdtdxdydt1dxdt(t)(t)""微分概念：函数可微的条件（见书133页）如果函数f(x)在点x0可微，则f(x)在点x0一定可导函数f(x)在点x0可微的必要充分条件是函数f(x)在点x0可导dyf(x0)x"函数的微分dy是函数的增量y的线性主部（当x0），从而，当x很小时，有ydy

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通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记做dx。即于是函数的微分可记为"dyf(x)dx，从而有dydxf(x)"基本初等函数的微分公式：（见书136页）几个常用的近似公式：f(x)f(0)f(0)x"n1x11nxsinxx2（x用弧度）tanxx（x用弧度）e1xln(1x)x中值定理与导数应用

罗尔定理：如果函数f(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续（2）在开区间a,b内具有导数（3）在端点处函数值相等，即f(a)则在a,b内至少有一点f(b)，

，使f"()0

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续

（2）在开区间a,b内具有导数，则在a,b内至少有一点，使得

"f(b)f(a)f()(ba)

f(x)上的弧AB定理几何意义是：如果连续曲线y除端点处外处处具有不垂直于x

轴的切线，那么，在这弧上至少有一点c，使曲线在点c的切线平行于弧AB

推论：如果函数f(x)在区间a,b内的导数恒为零，那么f(x)在a,b内是一个常数

柯西中值定理：如果函数f(x)与F(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续

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（2）在开区间a,b内具有导数‘（3）F(x)在a,b内的每一点处均不为零，则在a,b内至少有一点使得f(b)f(a)F(b)F(a)f()F()""罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广罗比达法则：（理论根据是柯西中值定理）00未定式1、xa情形定理：如果(1)当xa时，f(x)与(x)都趋于零"f(x)（2）在点a的某领域（点a可除外）内，f（3）limf(x)""(x)与(x)都存在且(x)0""xa(x)"存在（或为），则极限limf(x)xa(x)存在（或为），且limf(x)xa(x)=limxa(x)"在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为罗比达法则2、x情形推论：如果（1）当x时，f(x)"f(x)与(x)都趋于零(x)与(x)都存在且(x)0""（2）当|x|>N时，f（3）limf(x)""x(x)"存在（或为），则极限limf(x)x(x)存在（或为），且limf(x)x(x)=limx(x)"

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未定式1、xa情形如果（1）xa时，f(x)与(x)都趋于无穷大"（2）在点a的某领域（点a可除外）内，f（3）limf(x)"(x)与(x)都存在且(x)0""f(x)"xa(x)"存在（或为），则则极限limf(x)xa(x)存在（或为），且limf(x)xa(x)=limxa(x)"2、x情形推论：如果（1）x时，f(x)与(x)都趋于无穷大f(x)"（2）当|x|>N时，f（3）limf(x)f(x)""(x)与(x)都存在且(x)0""xa(x)"存在（或为），则则极限limf(x)xa(x)存在（或为），且lim则xa(x)=limxa(x)"00注意：1、罗比达法则仅适用于型及2、当limf(x)"型未定式limf(x)xa(x)(x)"不存在时，不能断定xa(x)(x)不存在，此时不能应用罗比达法泰勒公式（略）迈克劳林公式（略）函数单调性的判别法：必要条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，如果f(x)在a,b上单调

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增加（减少），则在a,b内，f

"(x)0（

f(x)0"）

充分条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，

（1）如果在a,b内，f（2）如果在a,b内，f"(x)0，则f(x)在a,b上单调增加(x)0"，则f(x)在a,b上单调减少

函数的极值及其求法

极值定义（见书176页）

极值存在的充分必要条件

必要条件：设函数

f(x)在点x0处具有导数，且在点

x0处取得极值，则

f(x)0"

函数的极值点一定是驻点导数不存在也可能成为极值点驻点：使f

"(x)0的点，称为函数f(x)的驻点

充分条件（第一）：设连续函数f(x)在点x0的一个邻域（x0点可除外）内具有导数，

当x由小增大经过x0时，如果

（1）f（2）f（3）f"(x)由正变负，则x0(x)由负变正，则x0(x)不变号，则x0是极大点是极小点

""不是极值点

"充分条件（第二）：设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f

（1）如果f（2）如果f;;(x0)0，f;;(x0)0

(x0)0，则f(x)在x0(x0)0点处取得极大值

;;，则f(x)在x0点处取得极小值

函数的最大值和最小值（略）曲线的凹凸性与拐点：

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f(定义：设x1x22)f(x)在a,b上连续，如果对于a,b上的任意两点x1、x2恒有f(x1f(x2)2，则称f(x)在a,b上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）凸的。判别法：定理：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数（1）如果在(a,b)内f（2）如果在(a,b)内f;;(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凹的;;(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凸的拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。不定积分

原函数：如果在某一区间上，函数F(x)与

F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx"f(x)满足关系式：

，则称在这个区间上，函数F(x)是函数f(x)的一个

原函数

结论：如果函数f(x)在某区间上连续，则在这个区间上f(x)必有原函数

f(x)的原函数，则F(x)C（C

定理：如果函数F(x)是为任意常数）也是f(x)的原函

数，且f(x)的任一个原函数与F(x)相差为一个常数不定积分的定义：

定义：函数f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记做f(x)dx

不定积分的性质：

性质一：(

及f(x)dx)f(x)或d(f(x)dx)f(x)dx"

f(x)dxf(x)C"或df(x)f(x)C性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即

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[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即kf(x)dxkf(x)dx（k为常数，且k0基本积分表：（同课本211页）（1）kdx（3）1xkxC（k是常数）（2）xadxxa1a1xC(a1)dxln|x|C（4）exdx（6）sin（8）coseC（5）axdxaxlnaC(a0,a1)xdxcosxC12（7）cos（9）1sinxdxsinxCdxxdxsec2xdxtanxC2xcsc2xdxcotxC（10）sec（12）xtanxdxsecxC（11）cscxcot（13）11x2xdxcscxC11x2dxarcsinxCdxarctanxC第一类换元法（凑微分法）f[(x)](x)dxF[(x)]C"tanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|C第二类换元法：变量代换被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式基本积分表添加公式：结论：如果被积函数含有a2x2，则进行变量代换xasint化去根式

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如果被积函数含有x2a2，则进行变量代换x如果被积函数含有x2a2，则进行变量代换x分部积分法：对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法---------分部积分法atant化去根式化去根式asectudvuvvdu分部积分公式三角函数指数函数1、如果被积函数是幂函数与令u等于幂函数的积，可以利用分部积分法2、如果被积函数是幂函数与对数函数反三角函数对数函数反三角函数的积，可使用分部积分法令u=3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。定积分

定积分的定义（见课本251页）

定理：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积

定理：如果函数在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积定积分的几何意义：

1、在[a,b]上

f(x)0，这时f(x)dxab的值在几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二

直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积

2、在[a,b]上f(x)0，其表示曲边梯形面积的负值3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得负值

几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二直线x=a、x=b所围成平面图形位于

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x轴上方部分的面积减去x轴下方部分的面积定积分的性质：性质一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即ba[f(x)g(x)]dxbaf(x)dxbag(x)dx性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即bakf(x)dxkf(x)dxab（k是常数）性质三、如果将区间[a,b]分成两部分[a,c]和[c,b]，那么baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx、ba性质四、如果在[a,b]上，f(x)1，那么f(x)dxbabadxba性质五、如果在[a,b]上，f(x)0，那么f(x)dx0性质六、如果在[a,b]上，f(x)g(x)，那么baf(x)dxbag(x)dx性质七、设M及m，分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则m(b-a)baf(x)dxM(b-a)(a北雁高数知识点总结QQ:760722085E_mail:heblyd@163.com

牛顿莱布尼茨公式如果函数baf(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么f(x)dxF(b)F(a)定积分的换元法假设（1）函数f(x)在区间[a,b]上连续；（2）函数x(t)在区间[,]上单值，且具有连续导数；（3）当t在区间[,]上变化时，x(t)的值在[a,b]上变化，且（）baa，（）b，则有定积分的换元公式f(x)dxf[(t)](t)dt"设f(x)在区间[a,a]上连续，则（1）如果函数f(x)为奇函数，则f(x)dx0aaa（2）如果函数f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dxa0a20sinnxdx20cosnxdx定积分的分部积分法设u(x)、v(x)在[a,b]上具有连续导数u"(x)、v"(x)，那么(uv)"bababuvvu""，在等式的两边分别求a到b的定积分得(uv)buvdx"bavudx"……定积分的分部积分公式即auv"dx(uv)babavudx"或audv(uv)babavdu无穷区间上的广义积分定义：设函数f(x)在区间[a,]上连续，取b>a，如果极限limabf(x)bf(x)dx存在，则称此极限为函数在区间[a,]上的广义积分，记做af(x)dx即af(x)dxlimbbaf(x)dx

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无界函数的广义积分（见书279页）定积分的应用（见书286页）

元素法

在极坐标系中的计算法（见书291页）

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