考研高数知识点总结 第一单元 函数

考研高数知识点总结 第一单元 函数

第一单元函数1.1函数

函数是变量与变量的一种对应关系。本书变量均取值于实数。1.1.1实数

实数：有理数（分数）和无理数（无限不循环）的总称。

性质：1、封闭性，实数对四则运算（加减乘除）是封闭的，即任意两个实数进行加减乘除（除法分数不为0）运算后，其结果仍为实数。

2、有序性，即任意两个实数可比较大小（a>b,=,0。δ：此邻域半径该邻域记作O（α，δ）或O（α）3

α的去心邻域：O（α，δ）去掉中心α记作O（α，δ）或O（α）由于α-δ

常量：在某个研究过程保持不变的量变量：可以取不同数值的量

变量y是变量x的一个函数：设在某一问题中有两个变量x和y,变量x的变化范围为D。如果对D中每一个值x，按照某种对应方法f，都有变量y的一个唯一确定值与之对应，则称变量y是变量x的一个函数。记为y=f(x),x∈Dx为自变量，y为因变量或函数，

x的变化范围D为函数的定义域，y的变化范围为函数的值域，记为M

注意：函数主由对应法则和其定义域D确定，与变量所选用的记号无关。5函数定义域：1、分母不为零

2、开偶次方，被开方式的值非负

3、对数式中真数必须>零,底数>0且≠1eg.logaXa底数Eg.1、F(x)=2lgXg(x)=lg

不等。F(x)定义域（-∞,+∞）g(x)定义域(-∞,0)∪(0,+∞)

2、F(x)=xg(x)=

等。定义域均为（-∞,+∞），对应法则相同g(x)=F(x)

函数的表示方法：1、列表法：便于应用

2、图像法：直观性，便于对函数进行定性分析

3、解析法/公式法：用解析表达式表示函数的方法4解析表达式：对于自变量和常数施以四则运算、乘幂logaX、指数

分段函数：需用两个或两个以上的公式表示的函数

注意：

1、分段函数是由几个公式合起来表示的一个函数2、其定义域是各段上x取值范围的并集

3、在求函数值时，首先要根据x所在的区段，再用该区段的函数表达式

、取对数

、三角函数、反三角函数等数学运算所得到的式子

符号函数：f（x）=sgnx=1(x>0);定义域D=（-∞，+∞）0(x=0);值域W={-1,0,1}-1(x<0)

对于任何实数x，x=sgnx|x|

X的最大整数：设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的最大整数，记作【x】Eg.[-3.5]=-4

取整函数：一般有[x]=n,当x∈[n,n+1],n=0,±1,±2…,把x看成变量，则函数f（x）=[x]称为取整函数。定义域D=（-∞，+∞）,值域：整数集Z；图形称为阶梯曲线，在x的整数值处发生跳跃，跃度为1

1.1.3函数的性质

1、奇偶性：设函数y=f（x）的定义域关于原点对称：7偶函数：f（-x）=f（x），任x∈（-a,a）关于y轴对称奇函数：若f（-x）=-f（x），任x∈（-a,a）eg.数

注意：

1、有些函数既不是奇函数，也不是偶函数。eg.f（x）=x+1验x=±1时2、任一函数可为一个偶函数和奇函数的和。3、Y=0，即为奇函数，又为偶函数。2、单调性：单调递增，单减

3、周期性：f（x+TO）=f（x）,最小正数TO，称为f（x）的周期。Eg.tanx图84、有界性：f（x）在D内有界，|f（x）|≤M。Eg.|sinx|≤1,M=1。必须同时有上下界。

所有反△函数都有有界性。

在闭区间[a,b]上的单调函数f（x）是[a,b]上的有界函数。

1.1.4反函数

反函数：函数y=f（x）与反函数x=函数y=f（x）与反函数y=

（y）图形为同一曲线。（x）图形关于y=x对称。

奇次幂在-∞，+∞）为奇函

单调函数定有反函数，并与其函数有相同的单调性。Eg.Y=

y=

图像。

扩展阅读：考研数学之高等数学讲义第一章(考点知识点+概念定理总结)

高等数学讲义

目录

第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章

函数、极限、连续1一元函数微分学24一元函数积分学49常微分方程70向量代数与空间解析几何82多元函数微分学92多元函数积分学107无穷级数（数一和数三）129

第一章函数、极限、连续

1.1函数

(甲)内容要点一、函数的概念1．函数的定义2．分段函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

(1)ylimfn(x)

n3．反函数4．隐函数

(2)ylimf(t,x)

tx2．用变上、下限积分表示的函数

(1)y(2)y则

xaf(t)dt

其中f(t)连续，则

dyf(x)dx2(x)1(x)f(t)dt

其中1(x),2(x)可导，f(t)连续，

dy(x)f[1(x)]1(x)f[2(x)]2dx五、函数的几种性质

1．有界性：设函数yf(x)在X内有定义，若存在正数M，使xX都有f(x)M，则称f(x)在X上是有界的。

2．奇偶性：设区间X关于原点对称，若对xX，都有f(x)f(x)，则称f(x)在X上是奇

函数。

若对xX，都有f(x)f(x)，则称f(x)在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称。

3．单调性：设f(x)在X上有定义，若对任意x1X,x2X，x1x2都有f(x1)f(x2)

[f(x1)f(x2)]则称f(x)在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意x1X，

x2X,x1x2都有f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)]，则称f(x)在X上是单调不减[单调不

增]

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

4．周期性：设f(x)在X上有定义，如果存在常数T0，使得任意xX，xTX，都有

f(xT)f(x)，则称f(x)是周期函数，称T为f(x)的周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。

1.2极限

(甲)内容要点

一、极限的概念与基本性质1．极限的概念

(1)数列的极限limxnA

n(2)函数的极限limf(x)A；limf(x)A；limf(x)A

xxx

f(x)A；limf(x)Alimf(x)A；limxx0xx0xx0

2．极限的基本性质

定理1（极限的唯一性）设limf(x)A，limf(x)B，则A=B定理2（极限的不等式性质）设limf(x)A，limg(x)B若x变化一定以后，总有f(x)g(x)，则AB

反之，AB，则x变化一定以后，有f(x)g(x)（注：当g(x)0，B0情形也称为极限的保号性）

定理3（极限的局部有界性）设limf(x)A则当x变化一定以后，f(x)是有界的。

定理4设limf(x)A，limg(x)B则（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）lim[f(x)g(x)]AB

（3）lim[f(x)g(x)]AB

（4）limf(x)A(B0)g(x)B（5）lim[f(x)]g(x)AB(A0)

二、无穷小

lim1．无穷小定义：若limf(x)0，则称f(x)为无穷小（注：无穷小与x的变化过程有关，

当x时

10，xx11为无穷小，而xx0或其它时，不是无穷小）xx2．无穷大定义：任给M>0，当x变化一定以后，总有f(x)M，则称f(x)为无穷大，记以

limf(x)。

3．无穷小与无穷大的关系：在x的同一个变化过程中，

若f(x)为无穷大，则

1为无穷小，f(x)1为无穷大。f(x)若f(x)为无穷小，且f(x)0，则4．无穷小与极限的关系：

limf(x)Af(x)A(x)，其中lim(x)0

5．两个无穷小的比较

设limf(x)0，limg(x)0，且limf(x)lg(x)（1）l0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)o[g(x)]称g(x)是比f(x)低阶的无穷小

（2）l0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l1，称f(x)与g(x)是等阶无穷小，记以f(x)~g(x)6．常见的等价无穷小，当x0时

sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1cosx~

3

12x，ex1~x，

ln(1x)~x，(1x)1~x。

7．无穷小的重要性质

有界变量乘无穷小仍是无穷小。

三、求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则

准则1：单调有界数列极限一定存在

(1)若xn1xn（n为正整数）又xnm（n为正整数），则limxnA存在，且Am

n(2)若xn1xn（n为正整数）又xnM（n为正整数），则limxnA存在，且AM

n准则2：夹逼定理

设g(x)f(x)h(x)。若limg(x)A，limh(x)A，则limf(x)A3．两个重要公式

公式1：limsinx1

x0x11n1u公式2：lim(1)e；lim(1)e；lim(1v)ve

nuv0nu4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）

x2xno(xn)当x0时，e1x2!n!xx3x5x2n1nsinxx(1)o(x2n1)

3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1(1)o(x2n)2!4!(2n)!nx2x3n1xln(1x)x(1)o(xn)23n2n1x3x5n1xarctanxx(1)o(x2n1)352n1(1x)1x6．洛必达法则

(1)2!x2(1)[(n1)]n!xno(xn)

法则1：（

0型）设（1）limf(x)0,limg(x)00（2）x变化过程中，f(x)，g(x)皆存在

f(x)（3）limA（或）

g(x)则limf(x)A（或）g(x)（注：如果lim形）法则2：（

f(x)f(x)不存在且不是无穷大量情形，则不能得出lim不存在且不是无穷大量情g(x)g(x)型）设（1）limf(x),limg(x)（2）x变化过程中，f(x)，g(x)皆存在（3）limf(x)A（或）g(x)则limf(x)A（或）g(x)

7．利用导数定义求极限

基本公式：limx0f(x0x)f(x0)f(x0)[如果存在]

x8．利用定积分定义求极限

11nk基本公式limf()f(x)dx

0nnnk1[如果存在]

9．其它综合方法

10．求极限的反问题有关方法

1.3连续

(甲)内容要点一、函数连续的概念

1．函数在一点连续的概念

定义1若limf(x)f(x0)，则称f(x)在点x0处连续。

xx0f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处左连续；如果定义2设函数yf(x)，如果limxx0xx0limf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处右连续。

如果函数yf(x)在点x0处连续，则f(x)在x0处既是左连续，又是右连续。2．函数在区间内（上）连续的定义

如果函数yf(x)在开区间（a,b）内的每一点都连续，则称f(x)在(a,b)内连续。如果yf(x)在开区间内连续，在区间端点a右连续，在区间端点b左连续，则称f(x)在闭

区间[a,b]上连续。

二、函数的间断点及其分类

1．函数的间断点的定义

如果函数yf(x)在点x0处不连续，则称x0为f(x)的间断点。2．函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点

设x0是函数yf(x)的间断点，如果f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，则称x0是

f(x)的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如：x0是f(x)穷间断点，是f(x)sinsinx|x|1的可去间断点，是f(x)的跳跃间断点，是f(x)的无xxx1的振荡间断点。x

三、初等函数的连续性

1．在区间I连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I仍是连续的。2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3．在区间I连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。5．初等函数在它的定义区间内是连续的。

四、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1（有界定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)必在[a,b]上有界。

定理2（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m.

其中最大值M和最小值m的定义如下：

定义设f(x0)M是区间[a,b]上某点x0处的函数值，如果对于区间[a,b]上的任一点x，总有f(x)M，则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最小值m.

定理3（介值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和

m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个，使得

f()c

推论：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点，使得

f()0

这个推论也称零点定理。

思考题：什么情况下能保证推论中的是唯一的？

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