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高一数学必修1知识点总结及练习题

网站:公文素材库 | 时间:2019-05-28 02:29:09 | 移动端:高一数学必修1知识点总结及练习题

高一数学必修1知识点总结及练习题

高一数学必修1各章知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性:

(1)元素的确定性如:世界上最高的山

(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示:{}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印

度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。注意:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集)记作:N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1)列举法:{a,b,c}

2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示

集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:

4、集合的分类:

(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2

=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集

注意:AB有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一

集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)

实例:设A={x|x2

-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即:①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作

AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1

个真子集

三、集合的运算运算交集并集补集类型定由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合,A是义于B的元素所组成属于集合B的元素所S的一个子集,由S中的集合,叫做A,B的组成的集合,叫做A,B所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子交集.记作AB(读的并集.记作:AB集A的补集(或余集)作‘A交B’),即(读作‘A并B’),记作CSA,即AB={x|xA,且即AB={x|xA,xB}.或xB}).CSA={x|xS,且xA}韦恩ABABS图A示图1图2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦAΦ=A=Cu(AB)AB=BAAB=BAABAABA(CuA)(CuB)质ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ.

例题:

1.下列四组对象,能构成集合的是()

A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a,b,c}的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,xR},N={x|x≥0},则M与N的关系是.4.设集合A=x1x2,B=xxa,若AB,则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,

两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2

-5x+6=0},C={x|

x2

-mx+m2

-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

二、函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字

母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)2.值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法

3.函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.(2)画法A、描点法:B、图象变换法

常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”对于映射f:A→B来说,则应满足:

集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.补充:复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)(1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤:

1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;○

2确定f(-x)与f(x)的关系;○

3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有:1)凑配法2)待定系数法3)换元法4)消参法10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)○

1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○

2利用图象求函数的最大(小)值○

3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);例题:

1.求下列函数的定义域:⑴yx22x15⑵x33y1(x12x1)2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为__

3.若函数f(x1)的定义域为[2,3],则函数f(2x1)的定义域是

4.函数x2(x1)f(x)x2(1x2),若f(x)3,则x=2x(x2)5.求下列函数的值域:

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x56.已知函数f(x1)x24x,求函数f(x),f(2x1)的解析式7.已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4,则f(x)=。

8.设f(x)是R上的奇函数,且当x[0,)时,f(x)x(13x),则当x(,0)时f(x)=f(x)在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间:

⑴yx22x3⑵yx22x3⑶yx26x110.判断函数yx31的单调性并证明你的结论.

11.设函数f(x)1x2判断它的奇偶性并且求证:f(1)f(x).

1x2x

第二章基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根,其

中n>1,且n∈N*

负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n00。n是奇数时,nana,当n是偶数时,nan|a|a(a0)

a(a0)2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

当mannam(a0,m,nN*,n1),

man1m1nN*,n1)

annam(a0,m,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3.实数指数幂的运算性质

(1)ararars(a0,r,sR);

(2)(ar)sars

(a0,r,sR);

(3)

(ab)raras

(a0,r,sR).(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数yax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质a>10如:y2log2x,ylogx5都不是对数函数,而只能称其为对数型

5函数.

2对数函数对底数的限制:(a0,且a1).2、对数函数的性质:a>10

检验

扩展阅读:新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念一、集合有关概念:

1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性:

(1)元素的确定性;(2)元素的互异性;(3)元素的无序性

说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示:{}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法:列举法与描述法。

(Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

(Ⅱ)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}(3)图示法(文氏图):4、常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集)记作:N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R5、“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作aA6、集合的分类:

1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系

1.“包含”关系子集

对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作AB

注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n.2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

2

实例:设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=BAB且BA①任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集与补集

(1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

(2)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即AS),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。记作:CSA,即CSA={x|xS且xA}

(3)性质:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)

二、函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

注意:1、如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

定义域补充:

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)。

(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①定义域一致;②表达式相同(两点必须同时具备)值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。

3.函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.

C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点

SCsAA的若干条曲线或离散点组成。(2)画法:

A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法:

常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换

Ⅰ、对称变换:

(1)将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=f(x)的图象如:书上P21例5(2)y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。如ya与yaxx1aax(3)y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。如ylogax与ylogaxlog1x

Ⅱ、平移变换:由f(x)得到f(xa)左加右减;由f(x)得到f(x)a上加下减

(3)作用:A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发现解题中的错误。

4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

5.映射

定义:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB”

给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6、函数的表示法:

常用的函数表示法及各自的优点:

1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据:作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。2解析法:必须注明函数的定义域;

3图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.

注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值补充一:分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.补充二:复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f是g的复合函数。7.函数单调性

(1).增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1都有f(x1)总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.函数奇偶性的性质

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.③若f(x)为偶函数,则f(x)f(x)f(|x|).④若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)0.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数F(x)与一个偶函数G(x)的和(或差)”.如设f(x)是定义域为R的任一函数,则F(x)f(x)f(x)2f(x)f(x)2,G(x).

⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个(f(x)0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).

9、函数的解析表达式

(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)10.函数最大(小)值(定义见课本p30页)

(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;(2)利用图象求函数的最大(小)值;

(3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

第二章基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念:

n负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0=0。n注意:(1)(na)a

nn(2)当n是奇数时,aa,当n是偶数时,a|a|nna,a0a,a0

2.分数指数幂

m正数的正分数指数幂的意义,规定:an正数的正分数指数幂的意义:a_mnna(a0,m,nN,且n1)

m1m(a0,m,nN,且n1)

an0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3.实数指数幂的运算性质

(1)aaarsrs(a0,r,sR)(2)(ar)sars(a0,r,sR)(3)(ab)rarbr(a0,b0,rR)

1注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如[(12)]2122而应=21

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数yax叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.即a>0且a≠12、指数函数的图象和性质00时,0(5)指数型函数:y=N(1+p)简写:y=ka二、对数函数(一)对数

1.对数的概念:一般地,如果axN,那么数x叫做以a为底N的对数,记作:xlogaN(a底数,N真数,logaN对数式)

说明:1.注意底数的限制,a>0且a≠1;2.真数N>03.注意对数的书写格式.2、两个重要对数:

(1)常用对数:以10为底的对数,log10N记为lgN;

(2)自然对数:以无理数e为底的对数的对数,logeN记为lnN.3、对数式与指数式的互化

xxlogaNaN

对数式指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂结论:(1)负数和零没有对数

(2)logaa=1,loga1=0特别地,lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0

(3)对数恒等式:alogNN(二)对数的运算性质

如果a>0,a1,M>0,N>0有:

MN)logaMlogaN两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和1、log(aaxx

2、logMaNnlogaMlogaN两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

3、logaMnlogaM(nR)一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

说明:

1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”……2)有时可逆向运用公式

3)真数的取值必须是(0,+∞)

4)特别注意:logaMNlogaMlogaNlogaMNlogaMlogaN注意:换底公式logablogcblogcalgblgaa0,a1,c0,c1,b0

nm利用换底公式推导下面的结论①logab1logba②logablogbclogcdlogad③logabmnlogab

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数ylogax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:(1)对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:ylogax1,ylogax2都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

(2)对数函数对底数的限制:a>0,且a≠1

2、对数函数的图像与性质:对数函数ylogax(a>0,且a≠1)图像0<a<1ya>1y0(1,0)x0(1,0)x性质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即当x=1时,y=0在(0,+∞)上是减函数当x>1时,y0当x=1时,y=0当00且a≠1)互为反函数,图象关于y=x对称。

5比较两个幂的形式的数大小的方法:

(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.

(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.

6比较大小的方法

(1)利用函数单调性(同底数);(2)利用中间值(如:0,1.);(3)变形后比较;(4)作差比较(三)幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如yx的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);(2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0(1)评价模型:给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。(2)几个增长函数模型:一次函数:y=ax+b(a>0)指数函数:y=a(a>1)指数型函数:y=ka(k>0,a>1)幂函数:y=xn(nN*)对数函数:y=logax(a>1)

二次函数:y=ax+bx+c(a>0)增长快慢:V(ax)>V(xn)>V(logax)

x22x

解不等式(1)log2x<2

(3)分段函数的应用:注意端点不能重复取,求函数值先判断自变量所在的区间。

(4)二次函数模型:y=ax+bx+c(a≠0)先求函数的定义域,在求函数的对称轴,看它在不在定义域内,在的话代进求出最值,不在的话,将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。(5)数学建模:

(6)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布两个根都在(m,n)内y两个有且仅有一个在(m,n)内x1∈(m,n)x2∈(p,q)2

2xx

mmnnxf(m)f(n)

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