第十八章勾股定理知识点与类题总结

第十八章勾股定理知识点与类题总结

别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30

人教版八年级下册勾股定理全章

类题总结

类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ABC中，∠

CAC=7，BC=24，CD⊥AB于D。（1）求AB的长；（2）求CD的长。

AD

ACB=900

，

B千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并B

求出总费用是多少？

ACDL

【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高

类型二：面积问题

【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,

2

则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm。

CBＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

DA7cm【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数。

【练习2】如图，四边形ABCD是正方形，A

【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处

AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴影

部分的面积是______.

【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是()A.12B.13C.144D.194

EB25B169牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，

他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

小河北D牧童A东

小屋BC

类型四：判断三角形的形状

【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

类型三：距离最短问题

【例题】如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分【练习1】已知△ABC的三边分别为m－n,2mn,

22

类型六：构造应用勾股定理

【例题】如图，已知：在

中，

，

m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

，.求：BC的长.

【练习2】若△ABC的三边a、b、c满足条件

a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.

【练习3】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足

(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）三角形

A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角

【练习4】三角形的三边长为

(ab)2c22ab,则这个三角形是()三角形

（A）等边（B）钝角（C）直角（D）锐角

类型五：直接考查勾股定理

【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。

【练习】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

类型七：利用勾股定理作长为n的线段

例1在数轴上表示的点。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为

。

【练习】在数轴上表示13的点。

类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜

边长是20，求此直角三角形的面积。

【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是

在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF

（）A、8，15，17

的长。

B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40类型九：生活问题

【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地

毯的长至少需________米．

【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做。

【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

类型十：翻折问题

【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？CDBEA

【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分

线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。

扩展阅读：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结

第18章勾股定理复习

一．知识归纳１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．

2DHEFbAcGaBC

方法二：

bacabcbccbaa

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2

2大正方形面积为S(ab)2a22abb2所以a2b2c2

111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证

2

AaDbccBbEaC

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８.．勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体

推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

CCC30°ABADBBDA

CBDA

题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的长⑵已知AB17，AC15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2b2c2解：⑴ABAC2BC210

⑵BCAB2AC28

题型二：应用勾股定理建立方程例２.

⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：

⑴ACAB2BC24，CDAACBC2.4ABDBC

⑵设两直角边的长分别为3k，4k(3k)2(4k)2152，k3，S54

1⑶设两直角边分别为a，b，则ab17，a2b2289，可得ab60Sab302cm2

例３.如图ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的长

CD12EAB

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DEAB于E，12，C90DECD1.5在BDE中

BED90,BEBD2DE22

RtACDRtAEDACAE

在RtABC中，C90

AB2AC2BC2，(AEEB)2AC242AC3

例4.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

CAB

答案：6

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m

AEBDC

分析：根据题意建立数学模型，如图AB8m，CD2m，BC8m，过点D作DEAB，垂足为E，则AE6m，DE8m

在RtADE中，由勾股定理得ADAE2DE210

答案：10m

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt①a1.5，b2，c2.5②a52，b1，c43解：①a2b21.52226.25，c22.526.25

ABC是直角三角形且C90

②b2c21325，a2，b2c2a2ABC不是直角三角形916例7.三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？

解：此三角形是直角三角形

理由：a2b2(ab)22ab64，且c264a2b2c2所以此三角形是直角三角形

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm，求证：ABAC

证明：

ABDC

AD为中线，BDDC5cm

在ABD中，AD2BD2169，AB2169AD2BD2AB2，ADB90，AC2AD2DC2169，AC13cm，ABAC

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