初二数学上全等三角形知识点总结
数学第十二章第三、四周知识过关清单
全等三角形知识梳理
一、知识网络
对应角相等性质对应边相等边边边SSS全等形全等三角形边角边SAS应用判定角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL作图角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理(一)、基本概念
1、“全等”的理解全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上(二)灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。(1)已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等,可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
轴对称知识梳理
一、基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
2.线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
5.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3.(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x,-y).(2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(-x,y).4.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
(4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也相等.(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。(6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.(2)等边三角形是轴对称图形,共有三条对称轴.
(3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
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全等三角形知识梳理
一、知识网络
对应角相等性质对应边相等边边边SSS全等形全等三角形边角边SAS判定角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL作图角平分线性质与判定定理应用
二、基础知识梳理(一)、基本概念
1、“全等”的理解全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形;
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质
(1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等;3、全等三角形的判定方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等。
(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定
性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
(二)灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,
因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。(1)已知条件中有两角对应相等,可找:
①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS)(2)已知条件中有两边对应相等,可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找
①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:
1.确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系);
2.回顾三角形判定公理,搞清还需要什么;3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。常见考法
(1)利用全等三角形的性质:①证明线段(或角)相等;②证明两条线段的和差等于另一条线段;③证明面积相等;(2)利用判定公理来证明两个三角形全等;
(3)题目开放性问题,补全条件,使两个三角形全等。误区提醒
(1)忽略题目中的隐含条件;
(2)不能正确使用判定公理。
轴对称知识梳理
一、基本概念
1.轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
2.线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
5.等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
3.(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P′(x,-y).(2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(-x,y).4.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
(4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也相等.(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。(6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.(2)等边三角形是轴对称图形,共有三条对称轴.
(3)等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
一、选择题
1.如图,给出下列四组条件:
①ABDE,BCEF,ACDF;②ABDE,BE,BCEF;③BE,BCEF,CF;④ABDE,ACDF,BE.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组B.2组C.3组D.4组
2.如图,D,E分别为△ABC的AC,BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处.若CDE48°,则APD等于()
3.如图(四),点P是AB上任意一点,ABCABD,还应补充一个条件,才能推出
△APC≌△APD.从下列条件中补充一个条件,不一定能推出△APC≌△APD的是....
()A.BCBD
B.ACADC.ACBADB
D.CABDAB
CA.42°B.48°C.52°D.58°
4BPD
图(四)
A
4.如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是()
(A)∠B=∠E,BC=EF(B)BC=EF,AC=DF(C)∠A=∠D,∠B=∠E(D)∠A=∠D,BC=EF5.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,若AC=10cm,则△DBE的周长等于()
A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm
6.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()
A.1处B.2处C.3处D.4处
②CD③①④AEB
7.某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②③去
8.如图,在Rt△ABC中,B90,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC
于点E.已知BAE10,则C的度数为()
A.30B.40C.50D.60
9.如图,△ACB≌△ACB,BCB=30°,则ACA的度数为()A.20°B.30°C.35°10.如图,AC=AD,BC=BD,则有()
A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分
ADBE
D.CD平分∠ACB
BCB
AD.40°
AACB
5CD
11.尺规作图作AOB的平分线方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于
C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于
12CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线
OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是()
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
12.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()
A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定
13.如图,OP平分AOB,PAOA,PBOB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()
A.PAPBB.PO平分APBC.OAOBD.AB垂直平分OP14.如图,已知ABAD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是()
A.CBCDB.∠BAC∠DACC.∠BCA∠DCAD.∠B∠D90O
ACPCDBADAPOB
ACBBD15.观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数是()
第1个A.2n2二、填空题
第2个
第3个
D.4n
B.4n4C.4n4
1.如图,已知ABAD,BAEDAC,要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是(写出一个即可).
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为________
3.如图,BACABD,请你添加一个条件:,使OCOD(只添一个即可).
4.如图,在ΔABC中,∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,DC=6厘米,则点D到直线AB的距离是__________厘米。
ABEODCABEDACB
5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色三角形
DC有个.
第1个第2个
第3个6.已知:如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB=________度.7如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。
8.如图所示,AB=AD,∠1=∠2,添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE,则需要添加的条件是________.
ODBOPC
DQBEAACE
A三、解答题
1.如图,已知AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE.
7BDEC
2.如图,在△ABC中,ABAC,BAC40°,分别以AB,AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE,使BADCAE90°.(1)求DBC的度数;(2)求证:BDCE.
3.如图,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,BC、DE交于点O.求证:(1)△ABC≌△AED;(2)OB=OE.
4.如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
AEDBCBADOCE
5.如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.
(1)求证:△ABC≌△DCB;(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论.
6.(如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,12,34.求证:(1)△ABC≌△ADC;(2)BODO.B
7.如图,在△ABC和△ABD中,现给出如下三个论断:①ADBC;②CD;③12.请选择其中两个论断为条件,另一个论断为结论,构造一个命题.(1)写出所有的真命题(写成“
:”形式,用序号表示)
DCAD
MBC
NA123O4D
C.(2)请选择一个真命题加以证明.
你选择的真命题是:.
12AB
证明:
8.已知:如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,AB=DC,BE=CF,∠B=∠C.求证:OA=OD.
9.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于
过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:BD=2CE.
10.如图,ABAC,ADBC于点D,ADAE,AB平分DAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明...
BEFA郜BDAEFCDC
11.(7分)已知:如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积
相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
12.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.(1)求证:MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
BEAODC
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