初三上证明三总结

初三上证明三总结

证明三本章总结

本章概念地图

专题一数学思想方法

一.转化思想

其本质就是把未知的问题转化成已知的问题，把未证的问题转化成已证的问题，以达到解决问题的目的，将四边形问题转化为三角形问题来解决是本章最主要的思想方法，对于平行四边形以及特殊平行四边形，常常借助对角线来转化；对于梯形，常常是通过作辅助线，将其转化为三角形与平行四边形问题来处理。

1.如图3-C-1，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=600，若∠BAE=200.求：∠CEF的度数.

二、代数方法

通过计算来解决几何问题的方法即为代数方法，要全灵活运用代数方法解决几何问题。

0

2.如图3-C-2，在ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=60.求：（1）∠B与∠C的度数；（2）若AE=2cm，AF=3cm，求ABCD的面积。

三、变换思想

即运用平移、旋转与对称等变换来构造图形解决几何问题的思想方法。

3.如图3-C-3，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交DC于点F，求证：BE=CF+AE.四、基本图形法

当题设中出现中点时，常构造中位线、直线、三角形斜边上的中线等基本图形，应用相关定理解题，中位线定理是本章新探索的定理，利用它可以产生新的平行或数量关系，从而达到解题的目的。4.如图3-C-4，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，M为BC的中点，求证：DM=

专题二基本概念和基本定理

5.下列说法错误的个数为（）.

①一组邻边相等的矩形是正方形；②等腰梯形的对角线相等；③一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；④三角形三条内角平分线的交点到三个顶点的距离相等；⑤全等三角形对应角相等的逆命题是真命题。

A.1B.2C.3D.4

专题三平面图形的有关证明

6.如图3-C-5，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F。（1）求证：DE=DF；

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法（不另外添加辅助线，无需证明）。

7.如图3-C-6，正方形ABCD中，点E在AD上，点F在CD上，∠EBF=450，BG⊥EF于点G。求证：AB=BG。

8.如图3-C-7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠DC，点E、F分别是AD、BC的中点。求证：EF＜

1212AB。

（AB+CD）

专题四平面图形的相关计算

9.如图3-C-8，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的边长为.10.如图3-C-9，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB⊥BC，AD=AB=BC，求∠BCD、∠BAD的度数。

综合应用创新

11.如图3-C-10.在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=600.E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE=PB的最小值是.

12.（探究题）如图3-C-11，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处。

（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种数量关系，并给予证明。

13.如图3-C-12，正方形木框ABCD的边长为1，四个角铆钉连接着，一边BC固定在桌面上，沿AD方向用力推，正方形变成四边形A′BCD′，设A′D′交DC于点E，当E是DC的中点时，两四边形ABCD、A′BCD′重叠部分的面积是.

14.（操作题）如图3-C-13（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转。

（1）如图3-C-13（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图3-C-13（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

中考命题方向

本章内容是近几年中考的主要内容之一，常见的题型一般是先根据已知条件判定平行四边形和特殊平行四边形，然后再应用平行四边形、特殊平行四边形、梯形的性质，计算或证明某一结论。运用三角形中位线进行计算，区分平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质，也是常见的一种选择题型。另外，有关的探索题、操作题的频繁出现，也体现了新的考查趋向。

15.（仙桃中考）如图3-C-14，四边形3-C-14，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）.

0

A.DA=DEB.BD=CEC.∠EAC=90D.∠ABC=2∠E16.（济南中考）如图3-C-15。△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点（不与B、C重合），AD与EF交于点O，连接DE、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件。（只添加一个条件）

17.（岳阳中考）如图3-C-6，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点G，交BCBC于点F，过O作OH∥BC交AF于点H，求证：OG=

12FG。

18.（南京中考）如图3-C-17，在ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE。求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形。

19.（茂名中考）如图3-C-18，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD。

（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；

（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直，请回答并说明现由。

本章测试

一、选择题（每小题3分，共18分）

0

1.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BD⊥DC于D，∠C=60，AD=5，则CD的长度为（）.A.3B.4C.5D.62.在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A=300，AC=3cm，则AB边上的中线为（）.A.1cmB.2cmC.1.5cmD.

3cm3.等边三角形一边上高线长为23cm，那么么这个等腰三角形的中位线长为（）.

A.3cmB.2.5cmC.2cmD.4cm4.下列命题正确的是（）.

A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.两角相等的四边形是梯形

C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形5.若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（）.

A.等腰梯形B.对角线相等的四边形C.平行四边形D.对角线互相垂直的四边形6.如图3-C-19，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③OA=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共24分）

7.已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为.

8.如图3-C-20，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形。

9.如图3-C-21，在ABCD中，若AB=12，AB边上的高DF为3，BC边上的高DE为6，则ABCD的周长为.

10.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3cm，BC=7cm，则梯形ABCD的高是cm。11.如图3-C-22，四边形ABCD的两条对角线AC、BD，互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD各边中点组成的四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为.

12.如图3-C-23，请写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征：；；。

13.如图3-C-24，若将四根木条钉成的矩形木框变为ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最大内角的值等于.

14.如图3-C-25，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，那么图中有个等边三角形，有个菱形。

三、作图题（8分）

15.如图3-C-26，在湖的两岸A、B间建一弃权票观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案。（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤；（测量数据用字母表示）（3）计算AB的距离。（写出求解或推理过程，结果用字母表示）

四、解答题（共70分）

16（12分）如图3-C-27，在ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且∠DAF=∠BCE。（1）求证：△DAF≌BCE；

00

（2）若∠ABC=60，∠ECB=20，∠ABC的平分线BN交AF于点M，交AD于点N，求∠AMN的度数？

17.（10分）如图3-C-28，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF。求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形。

0

18.（12分）如图3-C-29，在△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F，求证：四边形AEFG是菱形。

19（12分）如图3-C-30，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE、CG。求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。

20.（12分）如图3-C-31，AD是△ABC中BC边上的高线，F、E、G分别是AB、BC、AC的中点。求证：四边形EDGF为等腰梯形。

21.（12分）如图3-C-32，在正方形ABCD中，AE=BE，BF=CF，DF、CE交于点M，求证：AM=AD.

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鼎大教育九年级数学证明三

本章总结

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专题一数学思想方法

一.转化思想

其本质就是把未知的问题转化成已知的问题，把未证的问题转化成已证的问题，以达到解决问题的目的，将四边形问题转化为三角形问题来解决是本章最主要的思想方法，对于平行四边形以及特殊平行四边形，常常借助对角线来转化；对于梯形，常常是通过作辅助线，将其转化为三角形与平行四边形问题来处理。

1.如图3-C-1，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=600，若∠BAE=200.求：∠CEF的度数.

二、代数方法

通过计算来解决几何问题的方法即为代数方法，要全灵活运用代数方法解决几何问题。

0

2.如图3-C-2，在ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=60.求：（1）∠B与∠C的度数；（2）若AE=2cm，AF=3cm，求ABCD的面积。

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三、变换思想

即运用平移、旋转与对称等变换来构造图形解决几何问题的思想方法。

3.如图3-C-3，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交DC于点F，求证：BE=CF+AE.

四、基本图形法

当题设中出现中点时，常构造中位线、直线、三角形斜边上的中线等基本图形，应用相关定理解题，中位线定理是本章新探索的定理，利用它可以产生新的平行或数量关系，从而达到解题的目的。4.如图3-C-4，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，M为BC的中点，求证：DM=

专题二基本概念和基本定理

5.下列说法错误的个数为（）.

①一组邻边相等的矩形是正方形；②等腰梯形的对角线相等；③一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；④三角形三条内角平分线的交点到三个顶点的距离相等；⑤全等三角形对应角相等的逆命题是真命题。

A.1B.2C.3D.4

专题三平面图形的有关证明

6.如图3-C-5，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F。（1）求证：DE=DF；

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法（不另外添加辅助线，无需证明）。

7.如图3-C-6，正方形ABCD中，点E在AD上，点F在CD上，∠EBF=450，BG⊥EF于点G。求证：AB=BG。

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1AB。鼎大文化培训学校

8.如图3-C-7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠DC，点E、F分别是AD、BC的中点。求证：EF＜

12（AB+CD）

专题四平面图形的相关计算

9.如图3-C-8，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的边长为.

10.如图3-C-9，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB⊥BC，AD=AB=BC，求∠BCD、∠BAD的度数。

综合应用创新

11.如图3-C-10.在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=600.E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE=PB的最小值是.

12.（探究题）如图3-C-11，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处。

（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种数量关系，并给予证明。

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13.如图3-C-12，正方形木框ABCD的边长为1，四个角铆钉连接着，一边BC固定在桌面上，沿AD方向用力推，正方形变成四边形A′BCD′，设A′D′交DC于点E，当E是DC的中点时，两四边形ABCD、A′BCD′重叠部分的面积是.

14.（操作题）如图3-C-13（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转。

（1）如图3-C-13（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图3-C-13（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

中考命题方向

本章内容是近几年中考的主要内容之一，常见的题型一般是先根据已知条件判定平行四边形和特殊平行四边形，然后再应用平行四边形、特殊平行四边形、梯形的性质，计算或证明某一结论。运用三角形中位线进行计算，区分平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质，也是常见的一种选择题型。另外，有关的探索题、操作题的频繁出现，也体现了新的考查趋向。

15.（仙桃中考）如图3-C-14，四边形3-C-14，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）.A.DA=DEB.BD=CE

0

C.∠EAC=90D.∠ABC=2∠E

16.（济南中考）如图3-C-15。△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点（不与B、C重合），AD与EF交于点O，连接DE、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件。（只添加一个条件）

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17.（岳阳中考）如图3-C-6，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点G，交BCBC于点F，过O作OH∥BC交AF于点H，求证：OG=

12FG。

18.（南京中考）如图3-C-17，在ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE。求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形。

19.（茂名中考）如图3-C-18，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD。

（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；

（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直，请回答并说明现由。

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本章测试

一、选择题（每小题3分，共18分）

0

1.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BD⊥DC于D，∠C=60，AD=5，则CD的长度为（）.A.3B.4C.5D.62.在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A=300，AC=3cm，则AB边上的中线为（）.A.1cmB.2cmC.1.5cmD.3.等边三角形一边上高线长为23cm，那么么这个等腰三角形的中位线长为（）.

A.3cmB.2.5cmC.2cmD.4cm4.下列命题正确的是（）.

A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.两角相等的四边形是梯形

C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形5.若顺次连接四边形各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（）.

A.等腰梯形B.对角线相等的四边形C.平行四边形D.对角线互相垂直的四边形6.如图3-C-19，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③OA=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共24分）

7.已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为.

8.如图3-C-20，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形。

9.如图3-C-21，在ABCD中，若AB=12，AB边上的高DF为3，BC边上的高DE为6，则ABCD的周长为.

10.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD=3cm，BC=7cm，则梯形ABCD的高是cm。11.如图3-C-22，四边形ABCD的两条对角线AC、BD，互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD各边中点组成的四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为.

12.如图3-C-23，请写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征：；；。

13.如图3-C-24，若将四根木条钉成的矩形木框变为ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最大内角的值等于.

14.如图3-C-25，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的中点，那么图中有个等边三角形，有个菱形。

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三、作图题（8分）

15.如图3-C-26，在湖的两岸A、B间建一弃权票观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案。（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤；（测量数据用字母表示）（3）计算AB的距离。（写出求解或推理过程，结果用字母表示）

四、解答题（共70分）

16（12分）如图3-C-27，在ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且∠DAF=∠BCE。（1）求证：△DAF≌BCE；

00

（2）若∠ABC=60，∠ECB=20，∠ABC的平分线BN交AF于点M，交AD于点N，求∠AMN的度数？

17.（10分）如图3-C-28，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF。求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形。

0

18.（12分）如图3-C-29，在△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F，求证：四边形AEFG是菱形。

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19（12分）如图3-C-30，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE、CG。求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。

20.（12分）如图3-C-31，AD是△ABC中BC边上的高线，F、E、G分别是AB、BC、AC的中点。求证：四边形EDGF为等腰梯形。

21.（12分）如图3-C-32，在正方形ABCD中，AE=BE，BF=CF，DF、CE交于点M，求证：AM=AD.

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