初三下学期锐角三角函数知识点总结
初三下学期锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。a2b2c22、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B):定义表达式取值范围关系A的对边0sinA1正asinAsinA斜边c弦(∠A为锐角)A的邻边0cosA1余bcosAcosA斜边c弦(∠A为锐角)A的对边tanA0正atanAtanAA的邻边b切(∠A为锐角)A的邻边cotA0余bcotAcotAA的对边a切(∠A为锐角)sinAcosBcosAsinBsin2Acos2A1tanAcotBcotAtanBtanA1(倒数)cotAtanAcotA13、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
B由AB90得B90AsinAcosBcosAsinB
sinAcos(90A)cosAsin(90A)斜边c对a边C
Ab邻边
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tanAcotBcotAtanB由AB90得B90AtanAcot(90A)cotAtan(90A)5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数sin0°010不存在30°1245°2260°321290°10不存在0costancot32332211336、正弦、余弦的增减性:
当0°≤≤90°时,sin随的增大而增大,cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性:当
0°210.在Rt△ABC中,∠C为直角,sinA=2,则cosB的值是
()1A.2;
3B.2;
C.1;
2D.2
11.当锐角A>450时,sinA的值()
22A.小于2;B.大于2;
33C.小于2D.大于2
12.若两圆的半径分别是1cm和5cm,圆心距为6cm,则这两圆的位置关系是()
A.内切B.相交C.外切D.外离13.⊙O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.无法确定
14.在平面直角坐标系中,以点(2,3)为圆心,2为半径的圆必定()
A.与x轴相离、与y轴相切B.与x轴、y轴都相离C.与x轴相切、与y轴相离D.与x轴、y轴都相切15.一条弧所对的圆心角是90,半径是R,则这条弧的长是.
16.若弧AB的长为所对的圆的直径长,则弧AB所对的圆周角的度数为
36017.扇形的周长为16,圆心角为,则扇形的面积是(
)A.16B.32C.64D.16
18.一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍,且面积相等.求这个扇形的圆心角.
19.半径为6cm的圆中,60的圆周角所对的弧的弧长为.
20.半径为9cm的圆中,长为12cm的一条弧所对的圆心角的度数为.
21.如图,A是⊙O外一点,B是⊙O上一点,AO的延长线交⊙O于点C,连结BC,∠C=22.5°,∠A=45°。求证:直线AB是⊙O的切线。
22.已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线
扩展阅读:初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)
三角函数:
知识点一:锐角三角函数的定义:一、锐角三角函数定义:
在Rt△ABC中,∠C=900,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为:sinA=,∠A的余弦可表示为cosA=
∠A的正切:tanA=,它们弦称为∠A的锐角三角函数
【特别提醒:1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围】
例1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
第1题图
①sinA②cosA③tanA(斜边(斜边))(斜边(斜边))=______,=______,
sinBcosBtanB=______;=______;
()=______,
A的邻边B的对边=______.
()例2.锐角三角函数求值:
在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=9,b=12,则c=______,
sinA=______,cosA=______,tanA=______,sinB=______,cosB=______,tanB=______.
例3.已知:如图,Rt△TNM中,∠TMN=90°,MR⊥TN于R点,TN=4,MN=3.
求:sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR.
典型例题:
类型一:直角三角形求值
31.已知Rt△ABC中,C90,tanA,BC12,求AC、AB和cosB.
42.已知:如图,⊙O的半径OA=16cm,OC⊥AB于C点,sinAOC求:AB及OC的长.
343.已知:⊙O中,OC⊥AB于C点,AB=16cm,sinAOC(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC;(2)求cos∠AOC及tan∠AOC.
4.已知A是锐角,sinA
对应训练:
(西城北)3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=1,AB=5,则tanA的值为
A.358,求cosA,tanA的值171525B.C.D.25523(房山)5.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么tanA的值等于().
53434A.B.C.D.
5543
类型二.利用角度转化求值:
1.已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°.D是AC边上一点,DE⊥AB于E点.
DE∶AE=1∶2.
求:sinB、cosB、tanB.
2.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),与x轴的正半轴交于点D,B是y
轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为()A.
3134B.C.D.
2552yCOABDx第8题图3.(201*孝感中考)如图,角的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(3,4),则sin.
4.(201*庆阳中考)如图,菱形ABCD的边长为10cm,DE⊥AB,sinA的面积=cm2.
5.(201*齐齐哈尔中考)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,若⊙O的半径为
3,则这个菱形53,AC2,则sinB的值是()2
2334B.C.D.32436.如图4,沿AE折叠矩形纸片ABCD,使点D落在BC边的点F处.已知AB8,BC10,AB=8,则tan∠EFC的值为()
A.
ADE34A.B.
433C.
54BD.
5FC
7.如图6,在等腰直角三角形ABC中,C90,AC6,D为AC上一点,若
1tanDBA,则AD的长为()
5A.2B.2C.1D.22
8.如图6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=度数及边BC、AB的长.
A163求∠B的3CDB
图6
类型三.化斜三角形为直角三角形例1(201*安徽)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长.
例2.已知:如图,△ABC中,AC=12cm,AB=16cm,sinA(1)求AB边上的高CD;
41
(2)求△ABC的面积S;(3)求tanB.
例3.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5.
求:sin∠ABC的值.
对应训练
1.(201*重庆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)
2.已知:如图,△ABC中,AB=9,BC=6,△ABC的面积等于9,求sinB.
3.ABC中,∠A=60°,AB=6cm,AC=4cm,则△ABC的面积是
A.23cm2C.63cm2
B.43cm2
D.12cm2
类型四:利用网格构造直角三角形
例1(201*内江)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为()A.125510B.C.D.25510
对应练习:
1.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=_______.
5ABC
2.如图,A、B、C三点在正方形网络线的交点处,若将ABC绕着点A逆时针旋转得到
AC"B",则tanB"的值为
A.3.正方形网格中,∠AOB如图放置,则tan∠AOB的值是()
A.
OB111B.C.D.1
3425
5B.251
C.D.252
A特殊角的三角函数值
30°45°60°锐角sincostan
当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而
例1.求下列各式的值.
(昌平)1).计算:2cos302sin45tan60.
(朝阳)2)计算:tan60sin452cos30.
(201*黄石中考)计算:31+(2π-1)0-
-23tan30°-tan45°3
31.(石景山)4.计算:2cos60sin45tan3022
(通县)5.计算:
0tan45sin30;
1cos60
例2.求适合下列条件的锐角.
(1)cos
(3)sin2
(5)已知为锐角,且tan(30)3,求tan的值
()在ABC中,若cosA数
例3.三角函数的增减性1.已知∠A为锐角,且sinA<
012(2)tan3322
(4)6cos(16)33
122(sinB)0,A,B都是锐角,求C的度221,那么∠A的取值范围是2A.0°
A.0°7
例4.三角函数在几何中的应用
1.已知:如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于E,BE=16cm,sinA求此菱形的周长.
1213
2.已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,ACBC3,作∠DAC=30°,AD交CB于D点,求:
(1)∠BAD;
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD.
3.已知:如图△ABC中,D为BC中点,且∠BAD=90°,tanB∠CAD、tan∠CAD.
1,求:sin∠CAD、cos3
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB的值.
3,点D在BC边上,DC=AC=6,求tan∠BAD5A
5.(本小题5分)如图,△ABC中,∠A=30°,tanBBDC3,2CABAC43.求AB的长.
解直角三角形:
1.在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下(如图所示):在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,
①三边之间的等量关系:________________________________.
②两锐角之间的关系:__________________________________.③边与角之间的关系:
sinAcosB______;cosAsinB_______;
tanA11_____;tanB______.
tanAtanB④直角三角形中成比例的线段(如图所示).
在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D.
CD2=_________;AC2=_________;BC2=_________;ACBC=_________.
类型一
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)已知:a=35,c352,求∠A、∠B,b;
(2)已知:a23,b2,求∠A、∠B,c;
(3)已知:sinA
(4)已知:tanB
(5)已知:∠A=60°,△ABC的面积S123,求a、b、c及∠B.
92,c6,求a、b;33,b9,求a、c;
例2.已知:如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=60°,AC=10cm.求AB及BC的长.
例3.已知:如图,Rt△ABC中,∠D=90°,∠B=45°,∠ACD=60°.BC=10cm.求AD的长.
例4.已知:如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=135°,AC=10cm.求AB及BC的长.
类型二:解直角三角形的实际应用仰角与俯角:例1.(201*福州)如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是()
A.200米B.C.D.200米220米100()米例2.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点.已知∠BAC=60°,∠DAE=45°.点D到地面的垂直距离DE32m,求点B到地面的垂直距离BC.
例3(昌平)19.如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD=30m.从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°,测得山顶B的仰角∠DCB=30°,求风力发电装置的高AB的长.
例4.如图,小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.
例5.已知:如图,河旁有一座小山,从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°,测得岸边点D的俯角为45°,又知河宽CD为50m.现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号).
ABDEC
例5.(201*泰安)如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为()
A.10米B.10米C.20米D.米例6.(201*益阳)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在A处,离益阳大道的距离(AC)为30米.这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,∠BAC=75°.
(1)求B、C两点的距离;
(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?
(计算时距离精确到1米,参考数据:sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,
3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒)
类型四.坡度与坡角
例.(201*广安)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:3,堤坝高BC=50m,则应水坡面AB的长度是()
A.100mB.1003mC.150mD.503m
类型五.方位角
1.已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A处测得灯塔M在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B处,测得灯塔M在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里,31.732)
2.(201*恩施州)新闻链接,据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退201*年5月18日,某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔,保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救
中国渔船,立即掉头离去.(见图1)
解决问题
如图2,已知“中国渔政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)命令时,渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向,位于“中国渔政310”船西南方向,“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向,AB=
海里,“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息,
请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.
综合题:
三角函数与四边形:
(西城二模)1.如图,四边形ABCD中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2,tan∠BDC=
6.3
(1)求BD的长;(2)求AD的长.
(201*东一)18.如图,在平行四边形ABCD中,过点A分别作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
(1)求证:∠BAE=∠DAF;(2)若AE=4,AF=
13243,sinBAE,求CF的长.
三角函数与圆:
1.如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),与x轴的正半轴交于点D,B是y
轴右侧圆弧上一点,则cos∠OBC的值为()A.
3134B.C.D.
2552
yCAODxB第8题图
(延庆)19.已知:在⊙O中,AB是直径,CB是⊙O的切线,连接AC与⊙O交于点D,
C(1)求证:∠AOD=2∠C(2)若AD=8,tanC=
4,求⊙O的半径。3D
BAO
(201*朝阳期末)21.如图,DE是⊙O的直径,CE与⊙O相切,E为切点.连接CD交⊙O于点B,在EC上取一个点F,使EF=BF.(1)求证:BF是⊙O的切线;(2)若cosC
作业:
(昌平)1.已知sinA4,DE=9,求BF的长.5EODBFC1,则锐角A的度数是2A.75B.60C.45D.30(西城北)2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=1,AB=5,则tanA的值为
A.1525B.C.D.2552
3(房山)3.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么tanA的值等于().
53434A.B.C.D.
5543
B3(大兴)4.若sin,则锐角=.
2(石景山)1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=2,则tanB的值是
A.
(丰台)5.将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tanα的值是A.
AC23B.32C.255D.213132551B.2C.D.
522344D.
5B.
α(大兴)5.△ABC在正方形网格纸中的位置如图所示,则sin的值是354C.
3A.
(通县)4.如图,在直角三角形ABC中,斜边AB的长为m,B40,
则直角边BC的长是()A.msin40C.mtan40
(通州期末))1.如图,已知P是射线OB上的任意一点,PM⊥OA于M,且OM:OP=4:5,则cosα的值等于()A.
(西城)6.如图,AB为⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,若OB长为10,cosBOD
B.mcos40D.
mtan40Pα第1题图B4343B.C.D.
5345OMA3,则AB的长是5A.20B.16C.12D.87.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果cosA=
4,那么tanA的值是515
A.
3534B.C.D.53433511.如图,在△ABC中,∠ACB=∠ADC=90°,若sinA=,则cos∠BCD的值为.
13.计算:2cos302sin45tan60
13.计算2sin602cos453tan30tan45.
13.计算:2sin604cos30+sin45tan60.
14.如图,小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.
15.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a=46,b=122.解这个直角三角形
20.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD是∠CAB的平分线,tanB=
CDBA(延庆)19.已知:在⊙O中,AB是直径,CB是⊙O的切线,连接AC与⊙O交于点D,
C(3)求证:∠AOD=2∠C
ABDEC2CADB
CD1,求的值.2BDD
16AOB
(4)若AD=8,tanC=
4,求⊙O的半径。3
(延庆期末)19.如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30,荷塘另一端D处C、B在同一条直线上,已知AC32米,CD16米,求荷塘宽BD为多少米?(结果保留根号)
18.(6分)如图,在△ABC中,点O在AB上,以O为圆心的圆
经过A,C两点,交AB于点D,已知2∠A+∠B=90.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若OA=6,BC=8,求BD的长.(1)证明:
(2)解:(西城)sin∠CBD=
18.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔100海
里的A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.
(1)B处距离灯塔P有多远?
(2)圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上,距离灯塔200
第18题图CAODB15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC边上.若DB=6,AD=
1CD,22,求AD的长和tanA的值.3[来源学科网]
海里的O处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险,并说明理由.
22.已知,如图,在△ADC中,ADC90,以DC为直径作半圆O,交边AC于点F,点B在CD的延长线上,连接BF,交AD于点E,BED2C.(1)求证:BF是O的切线;
A(2)若BFFC,AE3,求O的半径.FE
BOD
15.如图,为了测量楼AB的高度,小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30,又向前走了20米后到达点D,点B、D、C在同一条直线上,并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60,求楼AB的高.
14.(201*眉山中考)海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向,2小时后船行驶到C处,发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B到C处的距离。
C15.(201*常德中考)如图,某人在D处测得山顶C的仰角为30o,向前走200米来到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5,求山的高度(不计测角仪的高度,3≈1.73,结果保留整数).
16.(201*广安中考)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45
降为30,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C在同一水平地面上.
(1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)
(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由。
(参考数据:21.414,31.732,62.449)
18.在一次数学活动课上,海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽,如图13所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31的方向上,沿河岸向北前行20米到达B处,测得C在B北偏西45的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(参考数值:tan31°≈.
31,sin31°≈)52图13
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