22章二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识点总结及应用
一、基本知识点
1.二次根式的有关概念:
(1)形如的式子叫做二次根式.(即一个的算术平方根叫做二次根式二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零
(2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式:
①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质:
(1)非负性:a0(a)
(2)a)2(a0)
(3)a2
(4)ab(a0,b0)
a(5)(a0b0)
b3.二次根式的运算:二次根式乘法法则ab(a0,b0)
a二次根式除法法则
(a0,b0)b二次根式的加减:(一化,二找,三合并)(1)将每个二次根式化为最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式。
Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用二、二次根式的应用1、非负性的运用例:1.已知:
2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值例1:使3xx42xy0,求x-y的值.
1有意义的x的取值范围x12例2.若x11x(xy),则xy=_____________。
3、,进行二次根式化简
例如:.已知x,y都是实数,且满足y
x11x0.5,化简
1yy1.
例如、如图,实数a、b在数轴上的位置,化简:
a2b2(ab)2
例如、先化简,再求值:
515111b,其中a=,b=.22abba(ab)4、二次根式的大小比较例:设a32,b23,c52,比较a、b、c的大小关系
5、在实数范围内分解因式例.在实数范围内分解因式。(1)
6、规律性问题
例1.观察下列各式及其验证过程:
,验证:
;;(2)
验证:
.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想44的变形结果,并进行验15证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n是整数)表示的等式,并给出验证过程.
例2.已知
发展:已知
,则a______。
,则a_________
二次根式提高测试题
一、选择题
1有意义的x的取值范围是x12.一个自然数的算术平方根为aa0,则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根
1.使3x为()
(A)a1,a1(B)a1,a1(C)a21,a21(D)a21,a21
3.若x0,则x2x等于()
(A)0(B)2x(C)2x(D)0或2x4.若a0,b0,则a3b化简得()
(A)aab(B)aab(C)aab(D)aab5.若y1ym,则1y2y的结果为()
(A)m22(B)m22(C)m2(D)m2
6.已知a,b是实数,且a22abb2ba,则a与b的大小关系是()(A)ab(B)ab(C)ab(D)ab
7.已知下列命题:
①25225;②3236;
③a232a3a3;④a2b2ab.
其中正确的有()
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
8.若42m6与2m34化成最简二次根式后的被开方数相同,则m的值为((A)203(B)5126(C)13158(D)8
9.当a12时,化简14a4a22a1等于()
(A)2(B)24a(C)a(D)0
10.化简4x24x12x32得()
(A)2(B)4x4(C)2(D)4x4二、填空题
11.若2x1的平方根是5,则4x1_____.12.当x_____时,式子
53xx4有意义.13.已知:最简二次根式4ab与ab23的被开方数相同,则ab_____.14.若x是8的整数部分,y是8的小数部分,则x____,y_____.15.已知201*xy,且0xy,则满足上式的整数对x,y有_____.
)
16.若1x1,则x12x1_____.
3217.若xy0,且xyxyx成立的条件是_____.
1118.若0x1,则x4x4等于_____.
xx三、解答题
19.计算下列各题:(1)15
20.已知a25
21.已知x,y是实数,且y
22.若2xy4与x2y1互为相反数,求代数式xxy22213a431323a108a.(2)27aa206;
3a3353201*52201*252022,求a24a的值.
x299x22,求5x6y的值.
x33213y的值.4
23.若a、b、S满足3a5b7,S2a3b,求S的最大值和最小值.
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二次根式知识点总结及应用
一、基本知识点
1.二次根式的有关概念:
(1)形如的式子叫做二次根式.(即一个的算术平方根叫做二次根式例:下列哪些是二次根式?5;2;x21;x27;-5;二次根式有意义的条件:。(2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式:
①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;例:下列哪些不是最简二次根式,并将它们化简。
15;x2y2;
49;9a2。
(3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
例:下列哪些与2是同类二次根式()。
A.14;B、12,C、-12,D、4
2.二次根式的性质:
(1)非负性:a0(a)
(2)a)2(a0)(3)a2
(4)ab(a0,b0)(5)a(a0bb0)
3.二次根式的运算:
二次根式乘法法则ab(a0,b0)
二次根式除法法则
ab(a0,b0)二次根式的加减:(一化,二找,三合并)(1)将每个二次根式化为最简二次根式;(2)找出其中的同类二次根式;(3)合并同类二次根式。
注:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用二、二次根式的应用1、非负性的运用
例:1.已知:
x42xy0,求x-y的值.
2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值例1:使3x1x1有意义的x的取值范围
例2.若x11x(xy)2,则xy=_____________。3、进行二次根式化简
例如:.已知x,y都是实数,且满足yx11x0.5,化简
1yy1.
例如、如图,实数a、b在数轴上的位置,化
简:a2b2(ab)例如、先化简,再求值:
1ab1bba(ab),其中a=51512,b=2.
4、二次根式的大小比较例:设a32,b23,c52,比较a、b、c的大小关系
5、在实数范围内分解因式例.在实数范围内分解因式。(1)
;(2)
6、规律性问题
例1.观察下列各式及其验证过程:
验证:
;验证:
.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4415的变形结果,并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n是整数)表示的等式,并给出验证过程.
例2.已知,则a_________
发展:已知,则
a______。
7、计算:(1)1531132352036;
(2)327aaa3aa343108a.
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