二次根式知识方法题型总结

二次根式知识方法题型总结

二次根式知识方法题型总结

一、本章知识内容归纳

1.概念：

①二次根式形如的式子；当时有意义，当时无意义；②最简二次根式根号中不含和的二次根式；③同类二次根式的二次根式；2.性质：①a0(a0)非负性;②(a)a(a0);

③2a(a0)(字母从根号中开出来时要带绝对值

aaa(a0)再根据具体情况判断是否需要讨论)

3.运算:运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:ab2ab(a0,b0);

②除法和商的算术平方根可互相转化:

aba(a0,b0)b③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；

④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；⑤乘法公式的推广：

a1a2a3........ana1a2a3.......an(a10,a20,.....an0)二、本章常用方

法归纳

方法1.开方①偶数次方：

a2nan；②奇数次方：

a2n1ana

方法2.分母有理化：

①概念：分母有理化就是通过使得

其中叫做该分母的有理化因式；②常用的有理化因式：

a与a、ab与ab、ab与ab互为有理化因式；

③分母有理化步骤：

先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。方法3.非0的二次根式的倒数①a的倒数：

11aaa（a>0）;②abab的倒数：a（a>0,b>0）;

③※因为(n1n)(n1n)，

所以(n1n)的倒数为；方法4.利用“

”外的因数化简“

”

①a1aaaa(a0)；②aba2b(a0,b0)；三、本章典型题型归纳

（一）二次根式的概念和性质

1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）x2－32x；（2）x－

1x1；（3）

2x1|x|2；

2．若x、y为实数，y＝x2＋2x＋3．则yx=3．根据下列条件，求字母x的取值范围：

（1）(x3)2x3；（2）x2x；

（3）x22x1＝1－x；（4）※(x2)2(x3)2＝1；4．已知2a1＋b2a＋abc＝0．则a=,b=,c=.

5.已知

x3yx29x1x320，则

y1=______________6．在实数范围内因式分解：x4－4＝______________．7．已知a,b,c为三角形的三边，则(abc)2(bca)2(bca)2=8.若最简二次根式

24x1与最简二次根式46x1可以合并，则x的取值为53※9．已知a

(8)(23326)(23326）

（11）(72

223)376※(12)

221184123的整数部分是a，小数部分是b，则3ab

14．在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是___________

315．若一个正方体的长为26cm，宽为3cm，高为2cm，则它的体积为cm.

※16．

132与32的关系是

1a112a2，其中”有不同的解答：a25a17．甲、乙两人对题目“化简并求值：

1a甲的解答：

乙的解答：

1a2a221111249(a)2aaaaaaa5，

1a11121112a2(a)aa。

aaaa5a2谁的解答是错误的？为什么？

※

18.

先观察下列分母有理化：

12121，

13232,14343,15454,从计算结果中找出规

律，再利用这一规律计算下列式子的值:

(121132143...1201*201*)(201*1)

19.观察下列各式的特点：

2132，3223，2352，

(1)请根据以上规律填空201*201*201*201*

(2)请根据以上规律写出第n(n1)个不等式，并证明你的结论.

（三）二次根式的化简求值20．若x

53，求x26x5的值。21．若xy3,求x

yxy的值。xy12aa2a22a122．已知a23，求的值。2a1aa

（四）二次根式的比较大小24.比较下列个数的大小

（1）3与22（平方法）（3）

（4）201*－201*与201*－201*（倒数法）(6)

（7）已知：a,b是正数，求证：ab2ab.

11与（分母有理化）

75537633与

6522（分子有理化）

扩展阅读：二次根式题型知识总结

二次根式知识方法题型总结

一、本章知识内容归纳

1.概念：

①二次根式形如的式子；当时有意义，当时无意义；②最简二次根式根号中不含和的二次根式；③同类二次根式的二次根式；2.性质：①a0(a0)非负性;②(a)2a(a0);

③2a(a0)(字母从根号中开出来时要带绝对值

aaa(a0)再根据具体情况判断是否需要讨论)

3.运算:运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:abababab(a0,b0);

②除法和商的算术平方根可互相转化:(a0,b0)

③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；

④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；⑤乘法公式的推广：a1a2a3........ana1a2a3.......an(a10,a20,.....an0)二、本章常用方法归纳

方法1.开方①偶数次方：

2nn2n1naa；②奇数次方：

aaa

方法2.分母有理化：

①概念：分母有理化就是通过使得

其中叫做该分母的有理化因式；②常用的有理化因式：

a与

a、ab与ab、

ab与ab互为有理化因式；

③分母有理化步骤：

先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。方法3.非0的二次根式的倒数①a的倒数：1a1aaa（a>0）;②

ab的倒数：ba（a>0,b>0）;

③※因为(n1所以(n1方法4.利用“

1aaan)(n1n)，

n)的倒数为；

”外的因数化简“”

①aa(a0)；②ab2ab(a0,b0)；

三、本章典型题型归纳

（一）二次根式的概念和性质

1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）

x2－32x；

1x1（2）x－

2x1|x|2；

（3）；

x2．若x、y为实数，y＝x2＋

2x＋3．则

y=

3．根据下列条件，求字母x的取值范围：（1）(x3)（2）（3）

x22x3；x；

x2x1＝1－x；(x3)＝1；

22（4）※(x2)24．已知2a1＋b2a＋abc＝0．

则a=,b=,c=.5.已知

x3yx29x320，则

x1y1=______________

6．在实数范围内因式分解：x4－4＝______________．7．已知a,b,c为三角形的三边，则(abc)28.若最简二次根式

25(bca)2(bca)=

24x1与最简二次根式46x1可以合并，则x的

取值为

※9．已知a（13）

4451454225=（14）351

23116=

（15）(3)212(52)=

12.计算：（能简算的要简算）

（1）(π1)123．（2）8＋(－1)3－2×

022

(3)45(5)(6(7)

x42x1x)3x（6)(848)(212)(2245842(4)(548627415)3

3)

1213122213(8)(2332(9)（10）

※（11）(72

2bab56)(23326）

ab－

ab—

ba＋

abba2（a＞0，b＞0）

(32ab)33ba

223)376※(12)

22118413.若3的整数部分是a，小数部分是b，则3ab14．在数轴上与表示___________

15．若一个正方体的长为26cm，宽为3cm，高为2cm，则它的体积为cm3.※16．

132与32的关系是

3的点的距离最近的整数点所表示的数是

17．甲、乙两人对题目“化简并求值：有不同的解答：

11a21a1a2a22，其中a15”

甲的解答：乙的解答：

aa221a(1aa)21a1aa2aa495，

1a1a2a221a(a1a)21aa1aa15。

谁的解答是错误的？为什么？※18.先观察下列分母有理化：

12121，

13232,14343,15454,从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值:(121132143...1201*201*)(201*1)

19.观察下列各式的特点：

2132，3223，2352，

201*

(1)请根据以上规律填空201*201*201*(2)请根据以上规律写出第n(n1)个不等式，并证明你的结论.

※(3)计算下列算式：

12114313154213.....21100991431101100

=（三）二次根式的化简求值20．若x

21．若xy3,求x

22．已知a2

23.已知21.414，31.732，求下列各式的近似值(精确到0.01)：

13123，求53，求

x6x5的值。

2yxyxy的值。

12aaa12a2a1aa22的值。

(1)

；(2)2718；(3)6(32).（四）二次根式的比较大小24.比较下列个数的大小

（1）3与22（平方法）（2）－57与－65（被开方数）（3）

（4）201*－201*与201*－201*（倒数法）

175与

153（分母有理化）

(5)(6)

（7）已知：a,b是正数，求证：ab2ab.

73365432154324与5432354322（设参数比较）

与

6225（分子有理化）（五）二次根式的应用

25．在交通事故的处理中，交通警察往往用公式v16df来判断该车是否超速，其中v表示车速（单位km/s）,d表示刹车后车轮划过的距离（单位：m）,f表示摩擦系数；某日，在一段限速60km/s的公路上，发生了一起两车追尾的事故，警察赶到后，经过测量，得出其中一辆车的d18，

f12，请问该车超速了吗？

26．我们人体含有多少脂肪才算适当？据科学研究表明，可以利用身体的体重（W，单位：千克）和身高（h，单位：米）来计算身体脂肪水平，也称为身体质量指数（BMI）.计算公式是BMI=

Wh2，而且男性的BMI指数范

围是24~27，如果一位男生体重是70千克，身体脂肪属于正常，那么请你估计他的身高大约在哪个范围内？（精确到0.01米）.

27．谈祥柏是中国人民解放军军医大学数学教授，有一次他将我国近代著名作家徐志摩《再别康桥》中的两句组成了如下的等式组：轻轻的我走了正如我轻轻的，这里相同的汉字表示０，１，，９来中相同的数字，不同的汉字表示不同数字，你能利用所学知识破解它吗？28．某人用一架不等臂天平称一块铁a的质量，把铁块放在天平左盘时，称得它的质量为300克；把铁块放在天平右盘时，称得它的质量为900克，利用所学知识，求这块铁的实际质量

29．有一块木板，如图，请你把它切成三块，然后拼成一个正方形的桌面。

30．设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，底边上的高为h．

（1）如果a＝2，b＝23，求h；（2）如果b＝7，h＝2，求a．

31.某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往，修筑一条笔直的公路（如图：AB）,经测量，在A处的北偏东60°方向，B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的公路会不会穿过公园？请说明理由。

60°45°

2123CAB※32．设三所学校A，B，C分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现值网络时代，要在三个学校之间铺设通讯电缆，小张同学设计了三种连接方案，如图所示，方案甲：AB+BC；方案乙：AD+BC（D为BC中点）；方案丙：AO+BO+CO（O为三角形三条高的交点），请你帮助计算一下哪种方案线路最短？

※33.一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？

B甲CBD乙CBOAAAD丙C

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