高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结

数列

一、数列定义：

数列是按照一定次序排列的一列数，是定义在正整数集N（或它的有限子集

*{1,2,3,,n}）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列

函数值为f(1),f(2),；通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,或简记为{an}，其中an表示数列{an}的通项。

注意：（1）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,，而an表示的是数列的第n项；

S1(n1)（2）an和Sn之间的关系：anSS(n2)n1n二、等差数列、等比数列的性质：

等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列定义递推公式通项公式anan1d(nN*,n2)anan1q(nN*,n2)ana1qn1（a1,q0）ana1(n1)dnSn(a1an)2Snna1n(n1)d2求和公式（）任意两个数a,b有且只有一个等差中等差（比）ab项，即为A=；两个数的等差中项中项两个数a,b的等比中项为G（满足2G2ab，ab0）a1ana2_________anma中2就是这两个数的算术平均数。等差（比）a1ana2_________anm数列的性2a中质

若mnpq，则amanapaq；在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列若mnpq，则amanapaq；在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列若数列{an}与{bn}均为等差数列，则若数列{an}与{bn}均为等差数列，则公差为；{mankbn}仍为等差数列，{manbn}仍为等比数列，公比为；{man}仍为等比数列，公比为；bn三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

①定义法：an1and或anan1d(n2)（d为常数）{an}是等差数列②中项公式法：2an1anan2{an}是等差数列

③通项公式法：anpnq（p,q为常数）{an}是等差数列④前n项和公式法：SnAnBn（A,B为常数）{an}是等差数列（2）等比数列的判定方法：

①定义法：

2an1aq或nd(n2)（q是不为零的常数）{an}是等比数列anan12②中项公式法：an1anan2(anan1an20){an}是等差数列③通项公式法：ancq（c,q是不为零常数）{an}是等差数列④前n项和公式法：Snkqk（k2na1是常数）{an}是等差数列q1四、数列的通项求法：

（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，201*，201*7，……（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。①递推式为an1and及an1qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。②递推式为an1anf(n)：迭加法

如：已知{an}中a111，an1an，求an24n21③递推式为an1f(n)an：迭乘法如：已知{an}中a12，an1n1an，求ann④递推式为an1panq（p,q为常数）：

构造法：Ⅰ、由an1panq相减得(an2an1)p(an1an)，则

an2pan1q{an1an}为等比数列。

Ⅱ、设(an1t)p(ant)，得到pttq，t为等比数列。

如：已知a11,an12an5，求an⑤递推式为an1panq（p,q为常数）：

两边同时除去qn1nqq，则{an}p1p1得

an1pan1anp1b，令，转化为，bbnn1nn1nnqqqqqqq再用④法解决。如：已知{an}中，a1511n1，an1an()，求an632⑥递推式为an2pan1qan（p,q为常数）：

将an2pan1qan变形为an2tan1s(an1tan)，可得出stp解出

stqs,t，于是{an1tan}是公比为s的等比数列。

如：已知{an}中，a11,a22，an2（3）公式法：运用an221an1an，求an33S1,n1SnSn1,n2

①已知Sn3n5n1，求an；②已知{an}中，Sn32an，求an；

2Sn(n2)，求an③已知{an}中，a11,an2Sn12

五、数列的求和法：

（1）公式法：

①等差（比）数列前n项和公式：②123nnn1；2③123n（2）倒序相加（乘）法：

2222n(n1)(2n1)n(n1)23333]；④123n[62如：①求和：SnCn2Cn3Cn(n1)Cn；

②已知a,b为不相等的两个正数，若在a,b之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积Pn；

（3）错位相减法：如：求和：Sx2x3xnx（4）裂项相消法：an23n012n1；ann(nk)1nkn；

如：①S1111；122334n(n1)1111；132435n(n2)1nn1，则Sn；

②S③若an（5）并项法：如：求S100123499100

（6）拆项组合法：如：在数列{an}中，an102n1，求Sn，

n六、数列问题的解题的策略：

分类讨论问题：

①在等比数列中，用前n项和公式时，要对公比q进行讨论；只有q1时才能用前n项和

公式，q1时S1na1

②已知Sn求an时，要对n1,n2进行讨论；最后看a1满足不满足an(n2)，若满足an中的n扩展到N，不满足分段写成an

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扩展阅读：高中数学数列知识点总结

五、数列

一、数列定义：

数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集N*（或它的有限子集{1,2,3,,n}）上的函数f(n)，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式常记为a1,a2,或简记为{an}，f(1),f(2),；

其中an表示数列{an}的通项。

注意：（1）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,，而an表示的是数列的第n项；

（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，

它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。S1(n1)（3）an和Sn之间的关系：an

SS(n2)n1n*如：已知{an}的Sn满足lg(Sn1)n(nN)，求an。

二、等差数列、等比数列的性质：

定义等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列anq(nN*,n2)，或公差（比）anan1d(nN,n2)，或*an1an1anan1and；q（q0）；通项公式anamd=anam由错项相减法推得求和公式由倒序相加法推得Sn=①q1，Sn=②q1，Sn用函数的思想理解通

若{an}为等差数列ananb，则a，b；n若{an}为等比数列anca，则a，c；项公式等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点若{an}为等比数列，SnAanB，等差数列{an}，SnAn2BnC，用函数的思想理解求和公式则a；A；B；则C；A；B；（其中的系数与为互为相反数，这是公式一很重要特点，若C0，说明：；注意前提条件q0,q1。）(n,Sn)在二次函数的若BA，说明：；等比数列{an}，Sn3na，则a；{an}为递增数列；图象上，是一群孤立的点。{an}为递增数列；{an}为递减数列；增减性{an}为递减数列；{an}为常数列；{an}为常数列。{an}为摆动数列；等差（比）中项任意两个数a,b有且只有一个等差中项，即为；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。a1ana2_________anm2a中两个数a,b的等比中项为；（ab0）a1ana2_________anma中2若mnpq，则____________；若mnpq，则____________；特别当mn2p，则；特别当mn2p，则；等差（比）数列的性质在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。如：a1,a3,a5,；问公差为a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。如：a1,a3,a5,；问公比为a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9是数列；公差为；Sm,S2mSm,S3mS2m,成等差数是数列；公比为；a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9列。是数列；公比为；

a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9是数列；公差为；是数列；公比为；若数列{an}与{bn}均为等差数列，则若数列{an}与{bn}均为等差数列，则公差为；{mankbn}仍为等差数列，公比为；{manbn}仍为等比数列，{manbn}仍为等比数列，公比为；如：（1）在等差数列{an}中Sn10，S2n30，则S3n；

（2）在等比数列{an}中Sn10，S2n30，则S3n；另外，等差数列中还有以下性质须注意：

（1）等差数列{an}中，若anm,amn(mn)，则amn；（2）等差数列{an}中，若Snm,Smn(mn)，则Smn；

（3）等差数列{an}中，若SnSm(mn)，则am1am2an；Smn；（4）若SPSq，则n时，Sn最大。（5）若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，

则

ambmS______T______；

ambnS______T______

（6）项数为偶数2n的等差数列{an}，有S2n间的两项）

S偶S奇；n(a1a2n)2n2(anan1)（an与an1为中

S奇S偶；

项数为奇数2n1的等差数列{an}，有S2n1(2n1)an（an为中间项）

S奇S偶；S奇S偶；S奇S偶；

等比数列中还有以下性质须注意：

（1）若{an}是等比数列，则{an}(0)，{|an|}也是等比数列，公比分别；；

（2）若{an}是等比数列，则{三、判定方法：

（1）等差数列的判定方法：

1an}，{an}也是等比数列，公比分别；；

2①定义法：an1and或anan1d(n2)（d为常数）{an}是等差数列②中项公式法：2an1anan2{an}是等差数列

③通项公式法：anpnq（p,q为常数）{an}是等差数列④前n项和公式法：SnAn2Bn（A,B为常数）{an}是等差数列注意：①②是用来证明{an}是等差数列的理论依据。（2）等比数列的判定方法：

①定义法：

an1anq或

anan1d(n2)（q是不为零的常数）{an}是等比数列

②中项公式法：an1anan2(anan1an20){an}是等差数列

n③通项公式法：ancq（c,q是不为零常数）{an}是等差数列

22④前n项和公式法：Snkqk（ka1q1是常数）{an}是等差数列

注意：①②是用来证明{an}是等比数列的理论依据。四、数列的通项求法：（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，201*，201*7，……（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。

①递推式为an1and及an1qan（d,q为常数）：直接运用等差（比）数列。②递推式为an1anf(n)：迭加法如：已知{an}中a112，an1an14n12，求an

③递推式为an1f(n)an：迭乘法如：已知{an}中a12，an1n1nan，求an

④递推式为an1panq（p,q为常数）：

an1panq构造法：Ⅰ、由相减得(an2an1)p(an1an)，则

apaqn1n2{an1an}为等比数列。

Ⅱ、设(an1t)p(ant)，得到pttq，t为等比数列。

如：已知a11,an12an5，求an⑤递推式为an1panqn（p,q为常数）：

两边同时除去qn1得再用④法解决。如：已知{an}中，a156qp1，则{anqp1}

an1qn1pqanqn1q，令bnanqn，转化为bn1pqbn1q，

，an111n1an()，求an32⑥递推式为an2pan1qan（p,q为常数）：

将an2pan1qan变形为an2tan1s(an1tan)，可得出s,t，于是{an1tan}是公比为s的等比数列。

stpstq解出

如：已知{an}中，a11,a22，an2S1,n1（3）公式法：运用an

SnSn1,n223an113an，求an

2①已知Sn3n5n1，求an；②已知{an}中，Sn32an，求an；

③已知{an}中，a11,an五、数列的求和法：

2Sn22Sn1(n2)，求an

（1）公式法：

①等差（比）数列前n项和公式：②123n；

③123n（2）倒序相加（乘）法：

012n如：①求和：SnCn2Cn3Cn(n1)Cn；

2222n(n1)(2n1)6；④123n[3333n(n1)2]

2

②已知a,b为不相等的两个正数，若在a,b之间插入n个正数，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个正数的积Pn；

（3）错位相减法：如：求和：Sx2x23x3nxn（4）裂项相消法：an1121131n(nk)1231241nn1；an1nkn；

如：①S1341351n(n1)1n(n2)；

②S；

③若an，则Sn；

（5）并项法：如：求S100123499100

n（6）拆项组合法：如：在数列{an}中，an102n1，求Sn，

六、数列问题的解题的策略：

（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用前n项和公式时，要对公比q进行讨论；只有q1

时才能用前n项和公式，q1时S1na1

②已知Sn求an时，要对n1,n2进行讨论；最后看a1满足不满足

an(n2)，若满足an中的n扩展到N，不满足分段写成an。

*（2）设项的技巧：

①对于连续偶数项的等差数列，可设为,a3d,ad,ad,a3d,，公差为2d；对于连续奇数项的等差数列，可设为,a2d,ad,a,ad,a2d,，公差为d；

aq3②对于连续偶数项的等比数列，可设为,,aqaq,aq,aq,，公比为q；

32对于连续奇数项的等比数列，可设为,aq2,,a,aq,aq,公比为q；

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