高考文科数学公式汇总(精简版)

高考文科数学公式汇总(精简版)

高中数学公式汇总（文科）

一、复数

1、复数的除法运算

abicdi(abi)(cdi)(cdi)(cdi)(acbd)(bcad)ic2d2.

2、复数zabi的模|z|=|abi|=a2b2.

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

3、同角三角函数的基本关系式

sincos1，tan=

22sincos.

4、正弦、余弦的诱导公式

k的正弦、余弦，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号；

k2的正弦、余弦，等于的余名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号。

5、和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;tan()tantan1tantan.

6、二倍角公式

sin2sincos.

cos2cossin2cos112sin.

2222tan22tan1tan2cos22.

1cos2,cos1cos2,sin221cos221cos22;;公式变形：

2sin2

7、三角函数的周期

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期

T2；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T.

8、函数ysin(x)的周期、最值、单调区间、图象变换

9、辅助角公式

yasinxbcosxa2b2sin(x)其中tanba

10、正弦定理

asinAbsinBcsinC2R.

11、余弦定理

第1页（共6页）abc222bc2bccosA;ca2cacosB;ab2abcosC.

22222212、三角形面积公式

S12absinC12bcsinA12casinB.

13、三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)14、a与b的数量积(或内积)

ab|a||b|cos

15、平面向量的坐标运算

(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2.(3)设a=(x,y)，则a

16、两向量的夹角公式

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则

cosabab2x2y2

x1x2y1y2x1y12x22y22

17、向量的平行与垂直

a//bbax1y2x2y10.

ab(a0)ab0x1x2y1y20.

三、函数、导数

18、函数的单调性

(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数；

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.

19、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

20、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).

第2页（共6页）21、几种常见函数的导数

"①C0；②(x)nxn"n1"；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

"x"x⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logx"xax)"1xlnau；⑧(lnx)"1x

22、导数的运算法则

（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()v"""""""uvuvv2""(v0).

23、会用导数求单调区间、极值、最值

24、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0．当fx00时：(1)如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值；(2)如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值．

四、不等式

25、已知x,y都是正数，则有

xy2xy，当xy时等号成立。

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值

142p；

s.

五、数列

26、数列的通项公式与前n项的和的关系

n1s1,an(数列{an}的前n项的和为sna1a2an).

snsn1,n227、等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN)*；

28、等差数列其前n项和公式为

snn(a1an)2a1qnna1n(n1)2dd2n(a1212d)n.

29、等比数列的通项公式

ana1qn1q(nN)；

n*30、等比数列前n项的和公式为

a1(1q)a1anq,q1,q1sn1q或sn1q.

na,q11na1,q1

第3页（共6页）

六、解析几何

31、直线的五种方程

（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式(4)截距式

yy1y2y1xx1x2x1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

xayb1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).32、两条直线的平行和垂直

若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1||l2k1k2,b1b2②l1l2k1k21.33、平面两点间的距离公式

dA,B;

(x2x1)(y2y1)22(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

34、点到直线的距离

d|Ax0By0C|AB22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

35、圆的三种方程

（1）圆的标准方程(xa)(yb)r.

22（2）圆的一般方程xyDxEyF0(DE4F＞0).

22222（3）圆的参数方程xarcosybrsin2.

36、直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

dr相离0;

22dr相切dr相交0;0.弦长=2r2d2

其中dAaBbCA2B2.

37、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：

xa22xa22yb221(ab0)，ayb222c2b，离心率e2xacos1，参数方程是.aybsincca1，渐近线方程是ybax双曲线：

1(a>0,b>0)，c2a2b，离心率e2.

抛物线：y22px，焦点(p2,0),准线xp2。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

38、双曲线的方程与渐近线方程的关系

第4页（共6页）(1）若双曲线方程为(2)若渐近线方程为y(3)若双曲线与

39、抛物线y2xa22bayb221渐近线方程：

xa22yb220yxa22bax.

xxayb0双曲线可设为

xa22yb22.

xa22yb221有公共渐近线，可设为

yb22（0，焦点在x轴上，0，

焦点在y轴上）.

22px的焦半径公式

抛物线y2px(p0)焦半径|PF|x040、过抛物线焦点的弦长ABx1p2x2p2.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）

x1x2p.

p2

七、参数方程、极坐标化成直角坐标

xycosx41、y(x0)sinytanx222

八、立体几何

42、证明直线与直线平行的方法

（1）三角形中位线（2）平行四边形（一组对边平行且相等）43、证明直线与平面平行的方法

（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）（2）先证面面平行

44、证明平面与平面平行的方法

平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）．．．．45、证明直线与直线垂直的方法转化为证明直线与平面垂直46、证明直线与平面垂直的方法

（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）．．．．

（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）47、证明平面与平面垂直的方法

平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）48、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积=2rl，表面积=2rl2r圆椎侧面积=rl，表面积=rlr

V柱体V锥体1313Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

4322球的半径是R，则其体积VR,其表面积S4R．

3249、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算50、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

51、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

第5页（共6页）正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

九、概率统计

52、平均数、方差、标准差的计算

平均数:x标准差:sx1x2xnn1n[(x1x)2方差:s221n[(x1x)22(x2x)2(xnx)]

2(x2x)(xnx)]

53、回归直线方程

xixyiybi1n2yabx，其中xxii1aybxnni1nxiyinxyxinx22i1.

54、独立性检验K2n(acbd)2(ab)(cd)(ac)(bd)

55、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗．．．．．．．．．漏）

第6页（共6页）

扩展阅读：高考文科数学常用公式及结论

高考文科数学常用公式及结论1.元素与集合的关系

xAxCUAxCUAxA,.

2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

.

ncard(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)5．集合

{a1,a2,,an}n的子集个数共有2个；真子集有21个；非空子集有21个；

nn非空的真子集有22个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式(3)零点式

f(x)axbxc(a0)2;(2)顶点式

.

f(x)a(xh)k(a0)2;

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式

Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

MN2MN2|f(x)|f(x)N10Mf(x)f(x)N1MN.

8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程

ax2bxc0(a0)k1b2a有且只有一个实根在(k1,k2)k1k22内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且

k1k22b2ak2,或f(k2)0且

.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在

2xb2a处及区间的两端点处取得，具体如下：

xb2ap,q(1)当a>0时，若

xb2ap,q，则

f(x)minf(b2a),f(x)maxmaxf(p),f(q)；

，

f(x)maxmaxf(p),f(q)，

f(x)minminf(p),f(q).

b2ap,q(2)当a(3)

f(x)ax4bx2a0a0b02c0b4ac0c0恒成立的充要条件是或.

12.真值表ｐｑ非ｐ真真假真假假假真真假假真13.常见结论的否定形式

原结论是都是大于小于对所有x，成立对任何x，不成立

14.四种命题的相互关系

原命题互逆若ｐ则ｑ互互为否逆否否命题若非ｐ则非ｑ互逆

15.充要条件

反设词不是不都是不大于不小于存在某x，不成立存在某x，成立原结论至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个ppｐ或ｑ真真真假ｐ且ｑ真假假假反设词一个也没有至少有两个至多有（n1）个至少有（n1）个pp或q且q且q或q逆命题若ｑ则ｐ互为互否逆否逆否命题若非ｑ则非ｐ（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)x1x2f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是增函数；

0f(x)在a,b(x1x2)f(x1)f(x2)0上是减函数.

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，

则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数

xab2xab2a2;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线

对称.

21.若

f(x)f(xa),则函数

yf(x)(,0)的图象关于点对称;若

f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

nn122．多项式函数

P(x)anxan1xa0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)xab2f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线

f(abmx)f(mx)对称f(amx)f(bmx)

.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

xab2m对称.

(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线(3)函数

yf(x)和

yf1(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

y1k[f127.若函数

yf(kxb)(x)b]存在反函数,则其反函数为

y1k[f(x)b],并不是

y[f1(kxb),而函数

y[f1(kxb)是的反函数.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数(3)对数函数(4)幂函数

f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

"f(x)logaxf(x)x,

f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)x1.

29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；

f(xa)1f(x)(f(x)0)f(xa)1f(x)(f(x)0)（2）f(x)f(xa)0，或

，或

,

(3)f(x)关于x=m,x=n对称，则f(x)的周期T=2a；

f(x)f(x)关于（m,0）,(n,0)对称,则f(x)的周期T=2a;关于x=m,(n,0)对称，则f(x)的周期T=4a；

(4)f(ax)f(bx),则f(x)的周期是T=|b-a|30.分数指数幂

man1n(1)

amnam（

a0,m,nN，且n1）.

1m(2)

nan（

a0,m,nN，且n1）.

31．根式的性质（1）

(a)an.

n（2）当n为奇数时，nanana；当n为偶数时，

a,a0|a|a,a0.

32．有理指数幂的运算性质(1)(3)

aaa(rrrrsrsa0,r,s.(2).

Q)(a)a(a0,r,sQ)rsrs.

(ab)ab(a0,b0,rQ)注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，

对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式

logaNbaN(a0,a1,N0)b.

34.对数的换底公式

logaNlogmNlogma(a0,且a1,m0,且m1,N0).

nmlogab推论

logambn(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

loga(MN)logaMlogaNlogaMn(1)(3)

;(2)

logaMNlogaMlogaN;

nlogaM(nR)f(x)log(ax2.

2,记b4ac.若f(x)的定义域为R,则

36.设函数

mbxc)(a0)a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

x1a,则函数ylogax(bx)1若a0,b0,x0,

(0,1)(1)当ab时,在

a和a1(,)上

1,)ylogax(bx)为增函数.

，(2)当ab时,在

(0,a和a)(上

ylogax(bx)为减函数.

推论:设nm1，p0，a0，且a1，则

logamloganloga2mn2（1）

logmp(np)logmn.（2）.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,ansnsn1,n2(数列{an}的前n项的和为sna1a2an).

pxyyN(1p)x，则对于时间的总产值，有.

40.等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN)*；

其前n项和公式为

snn(a1an)2na1n(n1)2dd2n(a1212d)n.

41.等比数列的通项公式

ana1qn1a1qq(nN)n*；a1(1q)a1anq,q1,q1sn1qsn1qna,q1na,q111其前n项的和公式为或..

n43．常见三角不等式

x(0,（1）若

2，则sinxxtanx.(2)若

)x(0,2，则1sinxcosx)2.(3)|sinx||cosx|1.44.同角三角函数的基本关系式

sinsincos1，tan=cos，tancot1.

2245.正弦、余弦的诱导公式

2n(1)sin,sin()n122(1)cos,

n(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)

2n(1)cos,cos()n122sin,(1)

n46.和角与差角公式

)sin(tan()sincoscoscos();

coscossin;

tantan1tantan2.

2sin()sin()sinsin22(平方正弦公式);.

(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

cos()cos()cossinasinbcos=

absin()22tanba).

定,

47.二倍角公式

sin2sincos.cos2cossin2cos112sin.tan22tan1tan.

22248.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞

T2xk20)的周期

；函数ytan(x)，

,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，

T.

ω＞0)的周期49.正弦定理

asinAbsinBcsinC2R.

50.余弦定理

abc2bccosA;bca2222222ccaos;Bcab2abcosC.

22251.面积定理

S121212aha12bhb12chc（1）

S（

ha、hb、hc12分别表示a、b、c边上的高）.

absinC12bcsinAcasinB（2）

SOAB.

22(|OA||OB|)(OAOB)(3).52.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

C22AB22C22(AB).

A>BsinA>sinB

53.简单的三角方程的通解

sinsink(1)(kZ)k.

2kk(Zcoscos.tantank(kZ).

54.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.55.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;

(3)（a+b）c=ac+bc.56.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．57．向量平行的坐标表示设a=

(x1,y1),b=

(x2,y2)，且b0，则ab(b0)

x1y2x2y10.

58.a与b的数量积(或内积)ab=|a||b|cosθ．

59.ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

60.平面向量的坐标运算(1)设a=(2)设a=

(x1,y1)(x1,y1),b=,b=

(x2,y2)(x2,y2)，则a+b=，则a-b=

,则

(x1x2,y1y2)..

.

(x1x2,y1y2)(3)设A

(x1,y1)，B

(x2,y2)ABOBOA(x2x1,y2y1)(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).(5)设a=

(x1,y1),b=

(x2,y2)，则ab=

(x1x2y1y2).

61.两向量的夹角公式

cosx1x2y1y2x1y12222x2y2(a=

(x1,y1),b=

(x2,y2)).

62.平面两点间的距离公式

dA,B|AB|=

ABAB(x2x1)(y2y1)22(A

(x1,y1)，B

(x2,y2)).

63.向量的平行与垂直设a=

(x1,y1),b=

(x2,y2)，且b0，则

..

A||bb=λa

x1y2x2y10ab(a0)ab=0

x1x2y1y20→→

64.设OA、OB不共线，点P、A、B共线的充要条件是：→→→

OP＝λOA＋μOB且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.66.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为

A(x1,y1)、

B(x2,y2)、

C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x33,y1y2y33).

67.点的平移公式

xxhxxh""""yykyykOPOPPP.

""注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为

(h,k)"P(x,y)""""，且PP的坐标为

.

68.“按向量平移”的几个结论（1）点

P(x,y)按向量a=

(h,k)平移后得到点

P(xh,yk)".

""(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为

yf(xh)k.

""(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式

为yf(xh)k.

""(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为

f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).69.三角形各“心”向量形式

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

222（1）O为ABC的外心OAOBOC.

（2）O为ABC的重心OAOBOC0.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

三角形各“线”向量形式

→→

→→ABAC

⑴若OP＝OA＋λ(→＋→)(λ>0)．则点P的轨迹为角分线

|AB||AC|⑵ABAC2ADD是BC的中点⑶ABADACAD0ADBC70.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

ab（2）（3）

a,bR3332ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

2abc3abc(a0,b0,c0).2222（4）柯西不等式：（5）

(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.

ababab.

71.极值定理

已知x,y都是正数，则有

2（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值

1s2p；

（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值4推广已知

x,yR.

，则有

(xy)2(xy)2xy2

（1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy|最小；当|xy|最小时,|xy|最大.72.一元二次不等式

2axbxc0(或0)(a0,b4ac0)222，如果a与

axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与axbxc异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

.

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)73.含有绝对值的不等式当a>0时，有xaxa222axa.

xaxaxa2或xa.

74.无理不等式

f(x)0g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)（1）

.

（2）

f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2.

（3）

.

75.指数不等式与对数不等式(1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

logaf(x)0f(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x).

(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

logaf(x)0f(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)

76.斜率公式

ky2y1x2x1（

P1(x1,y1)、

P2(x2,y2)）.

77.直线的五种方程（1）点斜式

yy1k(xx1)(直线l过点

P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).yy1（3）两点式

xy2y1ybxx1x2x1(

y1y2)(

P1(x1,y1)、

P2(x2,y2)(

x1x2)).

(4)截距式a1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).78.两条直线的平行和垂直(1)若①

l1:yk1xb1，

l2:yk2xb2

.

l1||l2k1k2,b1b2;②,

l1l2k1k21(2)若

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20A1A2B1B2C1C2,且A1、A2、B1、B2都不为零,

l1||l2①；②

l1l2A1A2B1B20；

79．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点

P0(x0,y0)的直线系方程为

yy0k(xx0)(除直线

xx0),

其中k是待定的系数;经过定点

A,BP0(x0,y0)的直线系方程为

A(xx0)B(yy0)0,其中

是待定的系数．

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20(2)共点直线系方程：经过两直线线系方程为

,

的交点的直

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除2)，其中λ是待定的系数．

l(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

BxAy0,λ是参变量．

80.点到直线的距离

d|Ax0By0C|AB22(点

P(x0,y0),直线l：AxByC0).

81.AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.82.

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域

（

A1A2B1B20设曲线

C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分.

83.圆的四种方程（1）圆的标准方程

(xa)(yb)r22222.

22（2）圆的一般方程xyDxEyF0(DE4F＞0).

xarcosybrsin（3）圆的参数方程.

（4）圆的直径式方程

B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是

A(x1,y1)、

).

84.圆系方程

(1)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程是

xyDxEyF(AxByC)02222,λ是待定的系数．

C2xyD2xE2yF2022(2)过圆

C1xyD1xE1yF1022:

与圆

2:

的交点的圆

系方程是

xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0222,λ是待定的系数．

85.点与圆的位置关系点若

P(x0,y0)与圆

2(xa)(yb)222r2的位置关系有三种

d(ax0)(by0)，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

86.直线与圆的位置关系直线

AxByC0与圆

(xa)(yb)22r2的位置关系有三种:

dr相离0AaBbCA2;dr相切0;dr相交0.

d其中

B2.

87.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，

dr1r2外离4条公切线dr1r2外切3条公切线O1O2d

;;;

r1r2dr1r2相交2条公切线dr1r2内切1条公切线;.

0dr1r2内含无公切线88.圆的切线方程(1)已知圆

xyDxEyF022．

①若已知切点

x0xy0y(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

E(y0y)2F0D(x0x)2.

D(x0x)2E(y0y)2F0当

(x0,y0)圆外时,

x0xy0y表示过两个切点的切点弦方

程．

②过圆外一点的切线方程可设为

yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切

线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆

xyr222．

点的切线方程为

x0xy0yr2①过圆上的

P0(x0,y0);②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1kx222.

89.椭圆ayb22xacos1(ab0)ybsin的参数方程是.

90．椭圆的的内外部

x22（1）点

P(x0,y0)在椭圆axybyb221(ab0)x0a22y0b2的内部

1(ab0)21.

12222（2）点

P(x0,y0)在椭圆ax0a22y0b2的外部

2.

91.（1）直线与椭圆位置关系判断y＝kx＋m

联立x2y2

＋＝1a2b2

得：(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0该一元二次方程的判别式为△.

△>0有2交点相交；△＝0有1交点相切；△0，焦点在y轴上）.

94.求双曲线的标准方程的方法：(椭圆类比)

(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．

(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，x2y2

即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为m2－n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．

注意：①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n时表示椭圆；mn0)；

95.抛物线

y22px的焦半径公式

CFx0p2.

2p抛物线y2px(p0)焦半径

CDx1p22过焦点弦长

x2p2x1x2p=sin2.是倾斜角，

=90时，为通经2p

96.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，p2且直线AB的倾斜角为θ，则(1)y1y2＝－p2，x1x2＝4；p2

⑵S△AOB＝2sinθ.112

⑶|AF|＋|BF|＝p(定值)．

⑷以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

(y297.抛物线

y2px2y22px上的动点可设为P

2p,y)或

P(2pt,2pt)或2P

(x,y)，其中

.

yaxbxca(x2b2a)24acb4a298.二次函数

(b2a,4acb4a2(a0)的图象是抛物线：

b2a,4acb14a2)()（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；y4acb14a2（3）准线方程是99.抛物线的内外部(1)点点

P(x0,y0).

在抛物线

2y2px(p0)2的内部

y2px(p0)22.

P(x0,y0)在抛物线

y2px(p0)2的外部

y2px(p0)2.

.

(2)点点

P(x0,y0)在抛物线

2y2px(p0)的内部

y2px(p0)2P(x0,y0)在抛物线

y2px(p0)2的外部

y2px(p0)x2py(p0)22..

(3)点点

P(x0,y0)在抛物线

2x2py(p0)的内部

P(x0,y0)在抛物线

x2py(p0)2的外部

x2py(p0)2.

.

(4)点点

P(x0,y0)在抛物线

2x2py(p0)的内部

x2py(p0)2P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0).

AB2100.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB(1k)(x2x1)22(x1x2)(y1y2)22或

2|x1x2|1tan|y1y2|1cot（弦端点

ykxbF(x,y)0(x1,y1),B(x2,y2)A，由方程消去y得到axAB的倾斜角，k为直线的斜率）.

2bxc0，0,为直线

101.光线反射问题、角平分线问题、折叠问题都是对称问题.关于对称问题，有如下规律：对称关于点对称关于x轴对称关于y轴对称关于直线y=x对称对称关于直线y=-x对称解决办法用中点坐标公式x不变，y换成-yy不变，x换成-xx换成y，y换成x解决办法x换成-y，y换成-x关于直线y=x+1对称关于直线y=-x+1对称轴对称x换成y-1，y换成x+1x换成1-y，y换成1-x斜率之积等于-1，中点在对称轴上102．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.103．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.104．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.105．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.106．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.107．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.108.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

109.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.110.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.

111.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby．.

112.射影公式

"已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点在l上的射影B，则

"AB|AB|cos""〈a，e〉=ae

113.三视图的正视图、侧视图、俯视图“正俯一样长、正侧一样高、俯侧一样宽”114.斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是分别是①

c1S斜棱柱侧和

V斜棱柱,它的直截面的周长和面积

和

S1,则.②

V斜棱柱S1lS斜棱柱侧c1l.

115.若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝、S锥＝.若圆台的上下底面半径为r1、r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝.116．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．117.几何体的体积(1)V柱体＝.(2)V锥体＝.

1

(3)V台体＝3(S′＋SS′＋S)h，V圆台＝___，118.球的半径是R，则

V43R3其体积

,其表面积S4R．

2119.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:

6a6a棱长为a的正四面体的内切球的半径为12120．柱体、锥体的体积

V柱体1313Sh,外接球的半径为4.

（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.121.等可能性事件的概率：

P(A)mn.

122.互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．123.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．

124.独立事件A，B同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B).

125.n个独立事件同时发生的概率：P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)．.126.回归直线方程

xixyiybi1n2xixi1yabx，其中aybxnni1nxiyinxyxinx22i1.

x127.f(x)在0处的导数（或变化率或微商）

f(x0)yxx0limx0yxlimx0f(x0x)f(x0)x.

s(tt)s(t)tv(tt)v(t)ts(t)limstlimt0128.瞬时速度：

t0.

129.瞬时加速度：

av(t)limt0vtlimt0.

130.f(x)在(a,b)的导数

f(x)ydydxdfdxlimx0yxlimx0f(xx)f(x)x.

x131.函数yf(x)在点0处的导数的几何意义

P(x0,f(x0))xf(x0)函数yf(x)在点0处的导数是曲线yf(x)在处的切线的斜率，

相应的切线方程是

yy0f(x0)(xx0).

132.几种常见函数的导数

(x)nx(1)C0（C为常数）.(2)n(lnx)1x"n1(nQ).(3)(sinx)cosx.

1xlogea(4)(cosx)sinx.(5)

(loga)x；

.

(6)

(e)exx;

(a)alnaxx.

133.导数的运算法则

(uv)uv"""（1）

.（2）

(uv)uvuv"""().（3）vu"uvuvv2""(v0).134.复合函数的求导法则设函数

"u(x)"u(x)在点x处有导数x，函数yf(u)在点x处的对应点U处有导数

yf((x))yyuux在点x处有导数，且x，或写作

"""""yuf(u)"，则复合函数

""fx((x))f(u)(x).

135.判别

f(x0)x0x0x是极大（小）值的方法：当函数f(x)在点0处连续时，f(x0)附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则是极大值；f(x0)附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则是极小值.

（1）如果在（2）如果在

136.复数的相等：abicdiac,bd.（a,b,c,dR）

22137.复数zabi的模（或绝对值）：|z|=|abi|=ab.138.复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(abi)(cdi)acbdcd22(3)

(abi)(cdi)(acbd)(bcad)ibcadcd22i(cdi0);(4).

139.复数的乘法的运算律对于任何结合律:

z1,z2,z3C，有：交换律:

z1z2z2z1.

.

(z1z2)z3z1(z2z3).分配律:

z1(z2z3)z1z2z1z3140.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|(x2x1)(y2y1)22（z1x1y1i，

z2x2y2i）.

141.向量的垂直非零复数

z1abi，

z2cdi对应的向量分别是

OZ1，

OZ2，则

z2222OZ1OZ2z1z2|z1z2||z1||z2|z1的实部为零为纯虚数

222|z1z2||z1||z2||z1z2||z1z2|acbd0z1iz2(λ为非零实

数).

142.实系数一元二次方程的解：实系数一元二次方程axbxc0，

x1,2bb4ac2a22①若b4ac0,则

2;②若b4ac0,则

22x1x2b2a;

③若b4ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数

b(b4ac)i2a22x(b4ac0)根

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