高中数学第十四章知识点总结(精华版) 导 数

高中数学第十四章知识点总结(精华版) 导 数

高中数学第十四章导数

考试内容：导数的背影．导数的概念．

多项式函数的导数．

利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．

（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．

（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

14.导数知识要点导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导数的运算法则函数的单调性函数的极值函数的最值导数导数的运算导数的应用1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限xxf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做limx0xx0xlimyf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.

②以知函数yf(x)定义域为A，yf"(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.2.函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续.事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.

于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0x0xx⑵如果yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.lim[例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为yyy不存在.1；当x＜0时，1，故limx0xxxy|x|，当x＞0时，xx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为yy0f"(x)(xx0).

4.求导数的四则运算法则：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c为常数）

vu"v"uu(v0)v2v"注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、

积、商不一定不可导.

22例如：设f(x)2sinx，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和

xxf(x)g(x)

sinxcosx在x0处均可导.

5.复合函数的求导法则：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f"(x)＞0，则yf(x)为增函数；如果f"(x)＜0，则yf(x)为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数yf(x)在区间I内恒有f"(x)=0，则yf(x)为常数.

注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0.此外，函数不

①

可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

②

注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是极值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.

8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：

"I.C"0（C为常数）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2

(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arccosx)"11x2

1"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logae

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)"1.x1x②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y求代数和形式.

(xa1)(xa2)...(xan)两边同取自然对数，可转化

(xb1)(xb2)...(xbn)③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边

y"1求导可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx

扩展阅读：高中数学知识点总结精华版

吃得苦中苦方为人上人！

高中数学第一章-集合

榆林教学资源网考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集．

逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：榆林教学资源网

（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

01.集合与简易逻辑知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为AA；②空集是任何集合的子集，记为A；③空集是任何非空集合的真子集；如果AB，同时BA，那么A=B.如果AB，BC，那么AC.

[注]：①Z={整数}（√）Z={全体整数}（）

②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（）（例：S=N；A=N，则CsA={0}）③空集的补集是全集.

第1页共75页吃得苦中苦方为人上人！

④若集合A=集合B，则CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：CAB=）.3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R

二、四象限的点集.

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：xy3解的集合{(2，1)}.

2x3y1②点集与数集的交集是.（例：A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=）4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子

集有2n－2个.

5.①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例：①若ab5，则a2或b3应是真命题.

解：逆否：a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.②x1且y2，xy3.解：逆否：x+y=3

x1且y2x=1或y=2.

xy3,故xy3是x1且y2的既不是充分，又不是必要条件.

小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若x5，x5或x2.4.集合运算：交、并、补.

交：AB{x|xA,且xB}并：AB{x|xA或xB}补：CUA{xU,且xA}5.主要性质和运算律（1）包含关系：

AA,A,AU,CUAU,AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.（2）等价关系：ABABAABBCUABU（3）集合的运算律：

交换律：ABBA;ABBA.

结合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)分配律:.A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)0-1律：A,AA,UAA,UAU

第2页共75页吃得苦中苦方为人上人！

等幂律：AAA,AAA.

求补律：A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φCUφ=U

反演律：CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)

6.有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card(φ)=0.

基本公式：

(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)(2)card(ABC)card(A)card(B)card(C)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)(3)card(UA)=card(U)-card(A)

(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“b解的讨论；

2

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的讨论.00二次函数0yax2bxc（a0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根ax2bxc0a0的根x1,x2(x1x2)bx1x22a第3页共75页吃得苦中苦方为人上人！

ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集xxx或xx12bxx2aRxx1xx2

2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为

f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或吃得苦中苦方为人上人！

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。②、原命题为真，它的否命题不一定为真。③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为pq.

7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试内容：

映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．

指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．考试要求：

（1）了解映射的概念，理解函数的概念．

（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

02.

一、本章知识网络结构：

定义F:AB反函数映射函数具体函数一般研究图像性质二次函数指数指数函数对数对数函数函数知识要点

二、知识回顾：

第5页共75页吃得苦中苦方为人上人！

（一）映射与函数1.映射与一一映射

2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数

反函数的定义

设函数

yf(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表

示出，得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数

yf(x)(xA)的反函数，记作xf1(y),习惯上改写成

yf1(x)

（二）函数的性质⒈函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当x1吃得苦中苦方为人上人！

正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式。2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反.4．如果f(x)是偶函数，则f(x)f(|x|)，反之亦成立。若奇函数在x0时有意义，则f(0)0。

7.奇函数，偶函数：偶函数：f(x)f(x)

设（a,b）为偶函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于y轴对称，例如：yx21在[1,1)上不是偶函数.②满足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0时，奇函数：f(x)f(x)

设（a,b）为奇函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：yx3在[1,1)上不是奇函数.②满足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0时，

y轴对称8.对称变换：①y=f（x）yf（x）f(x)1.f(x)f(x)1.f(x)x轴对称②y=f（x）yf（x）③y=f（x）原点对称yf（x）9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：

(x1x2)f(x)f(x)x2b2x2b2（x1x2）121222xxb2x1b2在进行讨论.

10.外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数f（x）=1+

x的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A与1xBA集合B之间的关系是.

解：f(x)的值域是f(f(x))的定义域B，f(x)的值域R，故BR，而Ax|x1，故BA.

11.常用变换：

①f(xy)f(x)f(y)f(xy)f(x).f(y)第7页共75页吃得苦中苦方为人上人！

证：f(xy)xyf(y)f(x)f[(xy)y]f(xy)f(y)f(x)②f()f(x)f(y)f(xy)f(x)f(y)证：f(x)f(y)f()f(y)12.熟悉常用函数图象：

1例：y2→|x|关于y轴对称.y2|x|▲▲xyxy|x2|11→y→y22▲|x||x2|

yyy(0,1)x(-2,1)xx

y|2x2x1|→|y|关于x轴对称.

2

▲y

熟悉分式图象：

2x17例：y定义域{x|x3,xR}，2x3x3值域{y|y2,yR}→值域x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数

指数函数图象x▲y2x3yax(a0且a1)的图象和性质

00时，y>1;x吃得苦中苦方为人上人！

a>1对数函数y=logax的图象和性质:对数运算：

0吃得苦中苦方为人上人！

yy=logaxa>1图象Oxx=1a0（5）在（0，+∞）上是增函数

x(1,)时y0在（0，+∞）上是减函数注：当a,b0时，log(ab)log(a)log(b).

：当M0时，取“+”，当n是偶数时且M0时，Mn0，而M0，故取“”.

2例如：logax2logax(2logax中x＞0而logax2中x∈R）.

yax（a0,a1）与ylogax互为反函数.

当a1时，ylogax的a值越大，越靠近x轴；当0a1时，则相反.

（四）方法总结

.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算：

第10页共75页吃得苦中苦方为人上人！

loga(MN)logaMlogaN(1)logaMlogaMlogaNN1logaMn

logaMnnlogaM12)loganMalogaNNlogbNlogba换底公式：logaN推论：logablogbclogca1loga1a2loga2a3...logan1anloga1an（以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且1）

注：当a,b0时，log(ab)log(a)log(b).

：当M0时，取“+”，当n是偶数时且M0时，Mn0，而M0，故取“”.例如：logax22logax(2logax中x＞0而logax2中x∈R）.yax（a0,a1）与ylogax互为反函数.

当a1时，ylogax的a值越大，越靠近x轴；当0a1时，则相反.

.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.

.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域)..函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.

.单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较.

.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.

第11页共75页吃得苦中苦方为人上人！

.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学第三章数列

考试内容：数列．

等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．

03.数列知识要点数列的定义项数列的有关概念项数数列数列的通项通项数列与函数的关系等比数列的定义等差数列的定义等比数列的通项等差数列的通项等比数列等差数列等比数列的性质等差数列的性质等比数列的前n项和等差数列的前n项和定义递推公式等差数列an1andanan1d；anamnmd等比数列an1q(q0)ananan1q；anamqnm第12页共75页吃得苦中苦方为人上人！

通项公式中项ana1(n1)dana1qn1（a1,q0）Aankank2Gankank(ankank0)（n,kN*,nk0）前n项和Snn(a1an)2n(n1)d2（n,kN*,nk0）na1(q1)Sna11qna1anq(q2)1q1qSnna1重要性质*amanapaq(m,n,p,qN,mnpq)1.等差、等比数列：定义等差数列amanapaq(m,n,p,qN*,mnpq)等比数列{an}为APan1and(常数）{an}为GPan1anq(常数）通项公式求和公式（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-dana1qn1akqnkan=a1+n(a1an)n(n1)na1d22d2dn(a1)n22snA=(q1)na1sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1q中项公式ab2推广：2an=anmanmG2ab。推广：ananmanm2若m+n=p+q，则amanapaq。若{kn}成等比数列（其中knN），则{akn}成等比数列。性质1若m+n=p+q则aaaamnpq2若{k}成A.P（其中knN）则{akn}n也为A.P。34．sn,s2nsn,s3ns2n成等差数列。sn,s2nsn,s3ns2n成等比数列。aa1amandn(mn)n1mnqn1ana1，qnmanam(mn)5

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看数列是不是等差数列有以下三种方法：①anan1d(n2,d为常数)②2anan1an1(n2)③anknb(n,k为常数).

看数列是不是等比数列有以下四种方法：①anan1q(n2,q为常数,且0)

2②anan1an1(n2，anan1an10)

①

注①：i.bac，是a、b、c成等比的双非条件，即bacii.bac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.bac→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.bac且ac0→为a、b、c等比数列的充要.

a、b、c等比数列.

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.③ancqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.

s1a1(n1)a数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：n

ss(n2)nn1[注]：①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.ddd②等差{an}前n项和SnAn2Bnn2a1n→可以为零也可不为零→为等差

222的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2kSk,S3kS2k...；

②若等差数列的项数为2nnN，则S偶S奇nd，S奇S偶anan1；

S偶nn1③若等差数列的项数为2n1nN，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇代入n到2n1得到所求项数.3.常用公式：①1+2+3+n=②122232n2nn12nn12n1

6第14页共75页吃得苦中苦方为人上人！

nn1③132333n322[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…an10n1；5，55，555，…an5n101.94.等比数列的前n项和公式的常见应用题：

生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1r.其中第n年产量为a(1r)n1，且过n年后总产量为：

2n1aa(1r)a(1r)...a(1r)a[a(1r)n].

1(1r)银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1r)n元.因此，第二年年初可存款：

121110a(1r)a(1r)a(1r)a(1r)[1(1r)12]....a(1r)=

1(1r)分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a1rx1rmm1x1rm2......x1rxa1rmx1rm1ar1rmxmr1r15.数列常见的几种形式：

an2pan1qan（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程x2Pxq（x2对应an2，x对应an1），并设二根x1,x2②若x1x2nn可设an.c1xn1c2x2，若x1x2可设an(c1c2n)x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.

anPan1r（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：an1xP(anx)an1PanPxxx②选代法：anPan1rP(Pan2r)ran(a1Pn1a1Pn2rPrr.

r.P1rr)Pn1(a1x)Pn1xP1P1③用特征方程求解：

an1Panr（P1）anPan1.an1anPanPan1an1相减，anPan1r④由选代法推导结果：c1rrrr.，c2a1，anc2Pn1c1（a1）Pn11PP1P11P6.几种常见的数列的思想方法：

第15页共75页吃得苦中苦方为人上人！

等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：

一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Snd2dn(a1)n利用二次函数的性质求n22的值.

如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依

111照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第

一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证anan1(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

am03.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,d吃得苦中苦方为人上人！

5）

1111111()

n(n1)nn1n(n2)2nn21111()(pq)pqqppq6）

高中数学第四章-三角函数

考试内容：

角的概念的推广．弧度制．

任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．

两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考试要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．

（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．

（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\\arc-cosx\\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．

（8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanαcosα=1”．

04.三角函数知识要点

1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②终边在x轴上的角的集合：|k180,kZ③终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ④终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函数值大小关系图第17页共75页1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域吃得苦中苦方为人上人！

⑤终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ⑥终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ

⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k⑩角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k902.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧长公式：l||r.扇形面积公式：s扇形11lr||r222ya的终边P（x,y)r4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则siny；ryxcos；tanxr；cotx；secr；.cscr.yxyox5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

6、三角函数线

正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.

7.三角函数的定义域：

16.几个重要结论:(1)y(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o吃得苦中苦方为人上人！

f(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函数的基本关系式：sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、诱导公式：

把k的三角函数化为的三角函数，概括为：2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一公式组二公式组三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx22x=cosxsecx=11+tanx=secxtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式组四公式组五公式组六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt（二）角与角之间的互换

公式组一公式组二

coscos()coscossinsinsin22sinsco2ssi2n2co2s112si2ncos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan1tantan21cos1cossintan()公式组三公式组四1公式组五sincossinsin21第19页共75页cossinsinsin21coscoscoscos吃得苦中苦方为人上人！

2tansin21tan21tan2cos1tan22

1cos()sin21sin()cos21tan()cot21cos()sin21tan()cot222sinsin2sin2cos2sin222tan2coscos2coscostan2211tan2sin()coscoscos2sinsin222262,tan15cot7523,tan75cot1523.62,sin75cos15sin15cos75sinsin2cos44

10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域值域周期性奇偶性单调性ysinxR[1,1]ycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx（A、＞0）RRA,A22奇函数2偶函数奇函数奇函数当0,非奇非偶当0,奇函数2k2k2(A),12(A)[22k,[2k1,；k,k22k]2k,k1上为减函数（kZ）22k]上为增函数；[上为增函数[2k,2k1]上为减函数（kZ）上为增函数（kZ）232k]22k,上为增函数；2k上为减函数（kZ）2(A),32k2(A)上为减函数（kZ）注意：①ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[a,b]上递减（增）.

▲y第20页共75页xO吃得苦中苦方为人上人！

②ysinx与ycosx的周期是.

x)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(ytan2.

x的周期为2（TT2，如图，翻折无效）.

2x)的对称轴方程是xk④ysin(2（kZ），对称中心（k,0）；ycos(x)的

k对称轴方程是xk（kZ），对称中心（k1,0）；yt（.an(x)的对称中心,0）

22ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤当tan

2tan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是偶函数，则

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函数ytanx在R上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，

ytanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)，奇函数：f(x)f(x)）

1奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函数，ytan(x)是非奇非偶.（定

3义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0x的定义域，则f(x)一定有f(0)0.（0x的定义域，则无此性质）

▲⑨ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）；ycosx是周期函数（如图）；ycosx为周期函数（T）；y▲yx1/2xy=cos|x|图象1ycos2x的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

2y=|cos2x+1/2|图象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cosb有a2b2y.a11、三角函数图象的作法：

１）、几何法：

２）、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切

第21页共75页吃得苦中苦方为人上人！

曲线）.

３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，频率f1||，相位x;初相||T2（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinωx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx

替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数：函数y＝sinx，的反函数叫做反正弦函数，记作x2，222y＝arcsinx，它的定义域是［－1，

1］，值域是－，．

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，记作的反函数叫做反正切函数，x2，222y＝arctanx，它的定义域是（－

∞，＋∞），值域是，．

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II.竞赛知识要点

一、反三角函数.

1.反三角函数：反正弦函数yarcsinx是奇函数，故arcsin(x)arcsinx，x1,1（一定要注明定义域，若x,，没有x与y一一对应，故ysinx无反函数）

第22页共75页吃得苦中苦方为人上人！

注：sin(arcsinx)x，x1,1，arcsinx,.

22反余弦函数yarccosx非奇非偶，但有arccos(x)arccos(x)2k，x1,1.注：①cos(arccosx)x，x1,1，arccosx0,.

②ycosx是偶函数，yarccosx非奇非偶，而ysinx和yarcsinx为奇函数.反正切函数：yarctanx，定义域(,)，值域（arctan(x)arctanx，x(,).

,），yarctanx是奇函数，22注：tan(arctanx)x，x(,).

反余切函数：yarccotx，定义域(,)，值域（,），yarccotx是非奇非22偶.

arccot(x)arccot(x)2k，x(,).注：①cot(arccotx)x，x(,).

1x)互为奇函数，yarctanx同理为奇而yarccosx与yarccotx②yarcsinx与yarcsin(非奇非偶但满足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

a的取值范围解集a的取值范围解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a＞1a＞1

a=1x|x2karcsina,kZa=1x|x2karccosa,kZ

a＜1

x|xk1karcsina,kZ

a＜1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集：x|xkarctana,kZ③cotxa的解集：x|xkarccota,kZ

二、三角恒等式.

sin2n1组一ncoscos2cos4...cos2n12sin

组二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2cos2k1nkcos2cos4cos8cos2nsin2nsin2n

k0nncos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)sin((n1)d)cos(xnd)

sindsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)k0sin((n1)d)sin(xnd)

sind第23页共75页吃得苦中苦方为人上人！

tan()tantantantantantan

1tantantantantantan组三三角函数不等式

sinx＜x＜tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是减函数x若ABC，则x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高中数学第五章-平面向量

考试内容：

向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．考试要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．

05.平面向量知识要点

1.本章知识网络结构

2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.

x1x2(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

yy21(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.

第24页共75页吃得苦中苦方为人上人！

3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质abba向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则ab(x1x2,y1y2)(ab)ca(bc)ABBCAC向量的减法三角形法则ab(x1x2,y1y2)aba(b)ABBA,OBOAAB1.a是一个向量,满数乘向量足:|a||||a|2.>0时,a与a同向;1图吃得苦中苦方为人上人！

OP＝

xy11＋OPOP2(线段的定比分点的向量公式)111x1x2,1(线段定比分点的坐标公式)y1y2.1当λ＝1时，得中点公式：

x1x2x,12OP＝（OP1＋OP2）或yy22y1.2(5)平移公式

设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则OP＝OP+a或xxh,

yyk.曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：

y－ｋ＝f（x－ｈ)

(6)正、余弦定理正弦定理：

abc2R.sinAsinBsinC2

22

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，222

b＝c＋a－2cacosB，222

c＝a＋b－2abcosC.

（7）三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R

④S△=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA⑤S△=PPaPbPc[海伦公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

A[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：AAEcAcbbOacDBNbCFBEDBaCrFIrCraEIaaaFCB图2图3图4

图1中的I为S△ABC的内心，S△=Pr

第26页共75页吃得苦中苦方为人上人！

图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s为△ABC的半周长,即

abc]2则：①AE=sa=1/2（b+c-a）②BN=sb=1/2（a+c-b）③FC=sc=1/2（a+b-c）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.

abcab特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）.2abc在△ABC中，有下列等式成立tanAtanBtanCtanAtanBtanC.tanAtanB证明：因为ABC,所以tanABtanC，所以tanC，结论！

1tanAtanBAC2BDAB2BCBDDC.在△ABC中，D是BC上任意一点，则ADBC2证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2AB2BD22ABBDcosB①

AB2BC2AC2②，②代入①，化简在△ABC中，由余弦定理有cosB2ABBCAC2BDAB2BCBDDC（斯德瓦定理）可得，ADBC2A图5①若AD是BC上的中线，ma②若AD是∠A的平分线，ta③若AD是BC上的高，ha△ABC的判定：

2a12b22c2a2；2DC2Bbcppa，其中p为半周长；bcppapbpc，其中p为半周长.

c2a2b2△ABC为直角△∠A+∠B=

2c2＜a2b2△ABC为钝角△∠A+∠B＜c2＞a2b2△ABC为锐角△∠A+∠B＞

22222附：证明：cosCabc，得在钝角△ABC中，cosC0a2b2c20,a2b2c2

2ab平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

ab2ab22(a2b2)

第27页共75页吃得苦中苦方为人上人！

空间向量

1．空间向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

OBOAABabBAOAOBab

OPa(R)

运算律：加法交换律：abba

加法结合律：(ab)ca(bc)

数乘分配律：(ab)ab

3共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平

行向量．a平行于b记作a//b．

当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是

同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，

使a＝λb.

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

OPOAta．

其中向量a叫做直线l的方向向量.5．向量与平面平行：

已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使

第28页共75页吃得苦中苦方为人上人！

pxaybMPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①

①式叫做平面MAB的向量表达式推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使

7空间向量基本定理：

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组

x,y,z，使pxaybzc推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个

有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOC8空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；若

a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab.

29．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.10．向量的数量积：ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，

作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.

AB可以证明的长度|AB||AB|cosa,e|ae|．

11．空间向量数量积的性质：

2（1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|aa．

12．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（交换律）（3）a(bc)abac（分配律）．

空间向量的坐标运算

一．知识回顾：

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.

第29页共75页吃得苦中苦方为人上人！

①令a=(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)，则ab(a1b1,a2b2,a3b3)a(a1,a2,a3)(R)aba1b1a2b2a3b3

a∥ba1b1,a2b2,a3b3(R)a1a2a3aba1b1a2b2a3b30b1b2b3aaaa12a22a32(用到常用的向量模与向量之间的转化：a2aaaaa)

a1b1a2b2a3b3abcosa,b222222|a||b|a1a2a3b1b2b3②空间两点的距离公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点B到平面的距离为|ABn||n|.

②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角l中平面,的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线a平面，ABa,CD，且CDE三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使ABCDCE.（常设ABCDCE求解,若,存在即证毕，若,不存在，则直线AB与平面相交）.

An▲BBCA▲n1CDEn2

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高中数学第六章-不等式

考试内容：

不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：

（1）理解不等式的性质及其证明．

（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．

（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

06.不等式知识要点

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.

（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）

（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdabcd（异向不等式相除）

(10)ab,ab011（倒数关系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么abab.（当仅当a=b时取等号）

2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：1如果P是定值,那么当x=y时，S的值最小；○

2如果S是定值,那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,则abc3abc（当仅当a=b=c时取等号）3第31页共75页吃得苦中苦方为人上人！

ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

211abababa2b2（当仅当

.22a=b时

取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

2222abababab22特别地，ab(（当a=b时，())ab）

2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).

1111111常用不等式的放缩法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22则称f(x)为凸（或凹）函数.

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根轴法）.

步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

第32页共75页吃得苦中苦方为人上人！

○1f(x)g(x)g(x)0定义域

f(x)g(x)f(x)0○2

f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）对数不等式：转化为代数不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○

3应用化归思想等价转化○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792类似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③|x1||x||1|(x与1同号，故取等)2

22xxx第33页共75页吃得苦中苦方为人上人！

高中数学第七章-直线和圆的方程

考试内容：

直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：

（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．

（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．

（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．

07.直线和圆的方程知识要点

一、直线方程.

1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0180(0).

注：①当90或x2x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a0,b0)时，直线方程是：注：若yyxy1.ab22x2是一直线的方程，则这条直线的方程是yx2，但若332x2(x0)则不是这条线.3附：直线系：对于直线的斜截式方程ykxb，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定

的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3.两条直线平行：

l1∥l2k1k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个—前提‖都会导致结论的错误.

（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2k1k2，

第34页共75页吃得苦中苦方为人上人！

且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分条件，且C1C2）推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为1,2则l1∥l212.两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2k1k21这里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要条件）

4.直线的交角：

直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，它的范围是(0,)，当90时tank2k1.

1k1k2两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四

个角中最小的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是0,2，当90，则有

tank2k1.

1k1k2l1:A1xB1yC10的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(l:AxByC022225.过两直线为参数，A2xB2yC20不包括在内）

6.点到直线的距离：

点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:AxByC0,P到l的距离为d，则有

dAx0By0CAB22.

注：

1.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|x2y22.定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP,其中12所成的比为即PP1PP2x1x2yy2,y111特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3.直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan

P1(x1,y1),P2(x2,y2).则x4.过两点Pk1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：当x1y2y1.

x2x1(x1x2)

x2,y1y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90，没有斜率王新敞

两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，

第35页共75页吃得苦中苦方为人上人！

它们之间的距离为d，则有dC1C2AB22.

注；直线系方程

1.与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(mR,C≠m).2.与直线：Ax+By+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(mR)

3.过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)

4.过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λR）注：该直线系不含l2.

7.关于点对称和关于某直线对称：

关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线（yxb）对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2,x2)=0.

②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(ax,2by)=0.二、圆的方程.

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程f(x,y)0的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)0的解；反过来，满足方程f(x,y)0的解所对应的点是曲线上的点.

注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=02.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2.

注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(xa)2(yb)2b2[rb,圆心(a,b)或(a,b)]②与y轴相切的圆方程(xa)2(yb)2a2[ra,圆心(a,b)或(a,b)]③与x轴y轴都相切的圆方程(xa)2(ya)2a2[ra,圆心(a,a)]3.圆的一般方程：x2y2DxEyF0.

DE当DE4F0时，方程表示一个圆，其中圆心C,，半径r2222D2E24F.

2第36页共75页吃得苦中苦方为人上人！

当D2E24F0时，方程表示一个点DE,.22当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）.

xarcos注：①圆的参数方程：（为参数）.

ybrsin②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且

D2E24AF0.

③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2②M在圆C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r25.直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直线l：AxByC0(A2B20)；圆心C(a,b)到直线l的距离d①dr时，l与C相切；

22xyD1xE1yF10附：若两圆相切，则相减为公切线方程.

22xyDxEyF0222AaBbCAB22.

②dr时，l与C相交；

C1:x2y2D1xE1yF10附：公共弦方程：设

C2:x2y2D2xE2yF20

有两个交点，则其公共弦方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.

③dr时，l与C相离.

22xyD1xE1yF10附：若两圆相离，则相减为圆心O1O2的连线的中与线方程.

22xyD2xE2yF20(xa)2(yb)2r2由代数特征判断：方程组用代入法，得关于x（或y）的一元二次方

AxBxC0程，其判别式为，则：

0l与C相切；0l与C相交；0l与C相离.

注：若两圆为同心圆则x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20相减，不表示直

第37页共75页吃得苦中苦方为人上人！

线.

6.圆的切线方程：圆x2y2r2的斜率为k的切线方程是ykx1k2r过圆

x2y2DxEyF0

上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0xy0yDxx0yy0EF0.22①一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，联立求出k切线方程.B②若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则RR21ACD(a,b)7.求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.已知O的方程x2y2DxEyF0…①又以ABCD为圆为方程为

(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2…②

(xAa)2(yAb)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.R42

三、曲线和方程

1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：1）曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。2.求曲线方程的方法：.

1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验;2）参数法;3）定义法，4）待定系数法.

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高中数学第八章-圆锥曲线方程

考试内容：

椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：

（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用． 08.

圆锥曲线方程知识要点

一、椭圆方程.

1.椭圆方程的第一定义：

PF1PF22aF1F2方程为椭圆,PF1PF22aF1F2无轨迹,PF1PF22aF1F2以F1,F2为端点的线段

①椭圆的标准方程：

i.中心在原点，焦点在x轴上：

y2a2x2a2y2b21(ab0).

ii.中心在原点，焦点在y轴上：

x2b21(ab0).

2②一般方程：AxBy1(A0,B0).③椭圆的标准参数方程：

2x2a2y2b21的参数方程为

xacos（一象限应是属于0）.2ybsin①顶点：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦点：焦距：F1F2a2a2x准线：或y.⑥2c,cab.⑤

cc22离心率：ec焦点半径：(0e1).⑦

ax2a2i.设P(x0,y0)为椭圆

y2b2PF1a1(ab0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则ex0,PF2aex0由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b2y2a2PF11(ab0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则aey0,PF2aey0由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知：pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)归结起来为

cc22—左加右减‖.

注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos,bsin)方程的轨迹为椭圆.⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d2b2a2b2b2(c,)和(c,)

aa第39页共75页吃得苦中苦方为人上人！

共离心率的椭圆系的方程：椭圆程

x2a2y2b2x2a2y2b21(ab0)的离心率是ec(ca2b2)，方at(t是大于0的参数，ab0)的离心率也是ec我们称此方程为共离心率的a椭圆系方程.若P是椭圆：b2tanx2a2y2b21上的点.F1,F2为焦点，若F1PF2，则PF1F2的面积为

2（用余弦定理与PF1PF22a可得）.若是双曲线，则面积为b2cot▲y2.

二、双曲线方程.

1.双曲线的第一定义：

PF1PF22aF1F2方程为双曲线PF1PF22aF1F2无轨迹(bcos,bsin)(acos,asin)Nx

N的轨迹是椭圆PF1PF22aF1F2以F1,F2的一个端点的一条射线①双曲线标准方程：Ax2Cy21(AC0).

x2a2y2b21(a,b0),y2a2x2b21(a,b0).一般方程：

①i.焦点在x轴上：

a2xy顶点：(a,0),(a,0)焦点：(c,0),(c,0)准线方程x渐近线方程：0或

cabx2a2y2b20

a2ii.焦点在y轴上：顶点：(0,a),(0,a).焦点：(0,c),(0,c).准线方程：y.渐近线

cxasecxbtany2x2yx方程：0或220，参数方程：或.

ababybtanyasec2a2c②轴x,y为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率e.④准线距（两ca2b2c准线的距离）；通径.⑤参数关系c2a2b2,e.⑥焦点半径公式：对于双曲线方

aa程

x2a2y2b21（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：MF1ex0aMF2ex0a构成满足MF1MF22a

▲MF1ex0aMF2ex0ay（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半

径要带符号计算，而双曲线不带符号）M"▲yF1MMxF1F2M"F2x第40页共75页吃得苦中苦方为人上人！

MF1ey0aMF2ey0aMF1ey0aMF2ey0a等轴双曲线：双曲线x2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭

x2y2x2y2x2y2双曲线.22与22互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：220.

ababab共渐近线的双曲线系方程：

x2a2y2b2(0)的渐近线方程为

x2a2y2b20如果双曲线的

▲x2y2xy渐近线为0时，它的双曲线方程可设为22(0).

ababy4321F2x例如：若双曲线一条渐近线为y211x且过p(3,)，求双曲线的方程？2222F1533解：令双曲线的方程为：

yx1x1.y2(0)，代入(3,)得8224直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐“”近线求交和两根之和与两根之积同号.若P在双曲线离比为mn.

PF1x2a2y2b21，则常用结论1：P到焦点的距离为m=n，则P到两准线的距

简证：

d1me=.d2PF2ne常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3.设p0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

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图形y22px▲y22px▲x22pyy▲x22py▲yyyxOxOxOxO焦点准线范围对称轴顶点离心率焦点PF2F(xp,0)2F(0,p)2F(0,yp)2F(p,0)2p2x0,yRxp2x0,yRp2xR,y0yp2xR,y0x轴y轴e1（0，0）px12px12py12py12PFPFPF4acb2b).注：①aybycx顶点(4a2a②y22px(p0)则焦点半径PFxP;x22py(p0)则焦点半径为PFyP.

22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt④y2px（或x2py）的参数方程为（或）（t为参数）.2y2pty2pt22四、圆锥曲线的统一定义..

4.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当0e1时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线；

c当e0时，轨迹为圆（e，当c0,ab时）.

a5.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线第42页共75页吃得苦中苦方为人上人！

定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（00)a2b2xacosybsin(参数为离心角）─axa，─byb原点O（0，0）(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bF1(c,0),F2(─c,0)2c（c=a2b2）xasecybtan(参数为离心角）|x|a，yR原点O（0，0）(a,0),(─a,0)x轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.F1(c,0),F2(─c,0)2c（c=a2b2）x2pt2(t为参数)y2ptx0(0,0)x轴pF(,0)2e=1ec(0e1)aec(e1)aac2x=acbxa2xp2y=±raexr(exa)rx2pPp22b2aa2c2b2aa2c焦参数1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2.等轴双曲线3.共轭双曲线

5.方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.6.共渐近线的双曲线系方程.

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高中数学第九章-立体几何

考试内容

平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．

平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．

多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求

（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．

（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．

（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．

（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．9（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：

平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．

直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．

空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．

直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．

平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．

多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：

（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出

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空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．

（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．

（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算．（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．

（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．

（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．

（8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念．（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图．（11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．（考生可在9（A）和9（B）中任选其一）

09.立体几何知识要点

一、

平面.

1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面.

注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

2.两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）

3.过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）

[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4.三个平面最多可把空间分成8部分.（X、Y、Z三个方向）二、空间直线.

1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）

②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.

⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）

⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（）（并非是从平面外一点向这个平面所．．引的垂线段和斜线段）

⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若ab，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.

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（二面角的取值范围0,180）（直线与直线所成角0,90）112（斜线与平面成角0,90）2（直线与平面所成角0,90）

方向相同方向不相同（向量与向量所成角[0,180])

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.

5.两异面直线的距离：公垂线的长度.

空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.

l1,l2是异面直线，则过l1,l2外一点P，过点P且与l1,l2都平行平面有一个或没有，但与l1,l2距离相等的点在同一平面内.（L1或L2在这个做出的平面内不能叫L1与L2平行的平面）三、

直线与平面平行、直线与平面垂直.

1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.

2.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）

[注]：①直线a与平面内一条直线平行，则a∥.（）（平面外一条直线）②直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交.（）（平面外一条直线）③若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a平行.（√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）

④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（）（可能在此平面内）

⑤平行于同一直线的两个平面平行.（）（两个平面可能相交）

⑥平行于同一个平面的两直线平行.（）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l与平面、所成角相等，则∥.（）（、可能相交）

3.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）

4.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平

P面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），aO得不出⊥PO.因为a⊥PO，但PO不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.

A直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平．．．．．．．．．面平行）

②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）

③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影．．相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线

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段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.

[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（）]射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上

四、平面平行与平面垂直.

1.空间两个平面的位置关系：相交、平行.

2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.

3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）

4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）

注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.

5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线

P也垂直于另一个平面.

推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.BMA证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l1,l2，

O因为PM,OA,PM,OB则PMOA,PMOB.θ6.两异面直线任意两点间的距离公式：lm2n2d22mncos（为锐角取加，为

钝取减，综上，都取加则必有0,）

27.最小角定理：coscos1cos2（1为最小角，如图）

最小角定理的应用（∠PBN为最小角）

图1简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.

成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.五、棱锥、棱柱.

θθ1θ2图21.棱柱.

①直棱柱侧面积：SCh（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.

②斜棱住侧面积：SC1l（C1是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.

{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.四棱柱底面是侧棱垂直底面是平行六面体直平行六面体底面矩形平行四边形长方体底面是正方形正四棱柱侧面与正方体底面边长相等

棱柱具有的性质：

①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱．．．．．．．．

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柱的各个侧面都是全等的矩形.．．．．．

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.．．③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）

②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.平行六面体：

定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.．．．．．．．．．．．．．

[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.

定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,,，则

co2sco2sco2s1.

推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,,，则

co2sco2sco2s2.

[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）．③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

2.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱Sh3V棱柱.

①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：S1Ch"（底面周长为C，斜高为h"）2S底cos（侧面与底面成的二面角为）

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S侧附：c以知c⊥l，cosab，为二面角alb.

a则S1lb11al①，S2lb②，cosab③①②③22得S侧S底cos.

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注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.

[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（）（各个侧面的

A等腰三角形不知是否全等）baii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.c简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令ABa,ADc,ACb

BCDEF得BCACABba,ADcBCADbcac，已知acb0,bac0

ADO"HBGCacbc0则BCAD0.

iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

简证：取AC中点O"，则ooAC,BOACAC平面OOBACBOFGH90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则EFFGEFGH为正方形.3.球：球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：S4R2.

4O②球的体积公式：VR3.r3纬度、经度：

①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.

附：①圆柱体积：Vr2h（r为半径，h为高）

1②圆锥体积：Vr2h（r为半径，h为高）

31③锥形体积：VSh（S为底面积，h为高）

3RO第49页共75页吃得苦中苦方为人上人！

4.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h得

63232a，S底a，S侧a344326321322426aaaRaRRa/3a3a.43434434411VSR3S底RS底h注：球内切于四面体：BACD侧33②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.

六.空间向量.

1.（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（）[当b0时，不成立]②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（）[可能异面]

③若a∥b，则存在小任一实数，使ab.（）[与b0不成立]④若a为非零向量，则0a0.（√）[这里用到b(b0)之积仍为向量]

（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b0)，a∥b的充要条件是存在实数（具有唯一性），使ab.

（3）共面向量：若向量a使之平行于平面或a在内，则a与的关系是平行，记作a∥.（4）①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y使Pxayb.

②空间任一点、B、C，则OPxOAyOBzOC(xyz1)是PABC四．．．O．和不共线三点．．．．．．A．．．．．点共面的充要条件.（简证：OP(1yz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、C四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.

2.空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P，存在一个唯一．．．．a,b,c不共面．．．的有序实数组x、y、z，使pxaybzc.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使OPxOAyOBzOC(这里隐含x+y+z≠1).

ADBG第50页共75页MC

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