高中数学：导数总结

高中数学：导数总结

十、导数：

一、导数的概念：

（1）函数yf(x)在点x0处可导：函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率，即

yxf(x0x)f(x0)x；

如果当x0时，

yx有极限，则称函数yf(x)在点x0处可导。

（2）函数yf(x)在开区间(a,b)内可导：如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点处都

可导，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导；

（3）函数yf(x)在点x0的导数：

如果函数yf(x)在点x0处可导，那么极限lim导

数（或

yxyxz0叫做函数yf(x)在点x0的

f"(x0)变化率），记作：或

y"|xx0；即

f"(x0)limx0limf(x0x)f(x0)x

x0（4）函数yf(x)在开区间(a,b)内的导函数(导数)：

如果函数yf(x)在开区间(a,b)内可导，那么对于开区间(a,b)的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f"(x0)，这样在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这新函数叫做函数yf(x)在开区间(a,b)内的导函数（简称导数），记

yxf(xx)f(x)xf"(x)或y"；即：f"(x)y"limx0lim

x0（5）导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数f"(x0)，就是曲线yf(x)在点

P(x0,f(x0))处的切线的斜率k，即ktanf"(x0)；

（6）导数在物理中的运用：函数ss(t)在点t0处的导数s"(t0)，就是当物体的运动方程为

ss(t)时，物体运动在时刻t0的瞬时速度v，即vs"(t0)；物体运动在时刻t0的

加速度as""(t0)；

二、几种常见函数的导数：C"0（C为常数）；(xn)"nxn1

三、函数的和、差、积、商的导数：

（1）和(差)的导数：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即

(uv)"u"v"

容易推广到有限个函数的情形：(uvw)"u"v"w"（2）积的导数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)"u"vuv"

容易推出：(Cu)"Cu"（C为常数）：常数与函数的积的导数等于这个常数乘以函数的导数；四、导数的运用：（1）函数的单调性：

①设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f"(x)0，则f(x)为增函数；如果

f"(x)0，则f(x)为减函数。

②设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内f"(x)0(或f"(x)0)。求可导函数f(x)单调区间的步骤：

①求f"(x)；②解不等式f"(x)0(或f"(x)0)；③确认并指出递增区间(或

递减区间)；

证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤：

①求f"(x)；②确认f"(x)在(a,b)内的符号；③作出结论；

（2）函数的极大值与极小值：

函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有

f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大(小)值；

求可导函数的极值的步骤：

①求f"(x)；②求方程f"(x)0的全部实根；

③检查f"(x)在方程f"(x)0的根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。

（3）函数的最大值与最小值：

求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤：①求f(x)在(a,b)内的极值；

②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值；

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

扩展阅读：高中数学导数知识点归纳总结及例题

导数

考试内容：

导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

14.导数知识要点导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导数的运算法则函数的单调性函数的极值函数的最值导数导数的运算导数的应用1.导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量x，则函数值y也引起相应的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)称为函数yf(x)在点x0到x0x之间的平均变化率；如果极限xxf(x0x)f(x0)y存在，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做limx0xx0xlim记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0处的导数，

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.

②以知函数yf(x)定义域为A，yf"(x)的定义域为B，则A与B关系为AB.2.函数yf(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

⑴函数yf(x)在点x0处连续是yf(x)在点x0处可导的必要不充分条件.可以证明，如果yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)点x0处连续.事实上，令xx0x，则xx0相当于x0.

1

于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xxy|x|，当x＞0时，xx⑵如果yf(x)点x0处连续，那么yf(x)在点x0处可导，是不成立的.例：f(x)|x|在点x00处连续，但在点x00处不可导，因为yyy不存在.1；当x＜0时，1，故limx0xxx注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为

yy0f"(x)(xx0).

4.求导数的四则运算法则：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c为常数）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、

积、商不一定不可导.例如：设f(x)2sinx22，g(x)cosx，则f(x),g(x)在x0处均不可导，但它们和xxf(x)g(x)sinxcosx在x0处均可导.

5.复合函数的求导法则：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f"(x)＞0，则yf(x)为增函数；如果f"(x)＜0，则yf(x)为减函数.⑵常数的判定方法；

如果函数yf(x)在区间I内恒有f"(x)=0，则yf(x)为常数.

注：①f(x)0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f(x)0是f（x）递减的充分非必

2

要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0.此外，函数不

①

可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

②

注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是极值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.

8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9.几种常见的函数导数：

"I.C"0（C为常数）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2

(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arccosx)"11x2

1"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logae

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求导的常见方法：①常用结论：(ln|x|)"1x21

(xa1)(xa2)...(xan)1.②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y两

(xb1)(xb2)...(xbn)x边同取自然对数，可转化求代数和形式.

③无理函数或形如yxx这类函数，如yxx取自然对数之后可变形为lnyxlnx，对两边

y"1lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.求导可得yx3

导数中的切线问题

例题1：已知切点，求曲线的切线方程

曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程为（）

例题2：已知斜率，求曲线的切线方程

与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程是（）

注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为y2xb，代入yx2，得x22xb0，又因为0，得b1，故选Ｄ．

例题3：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程．

例题4：已知过曲线外一点，求切线方程

1求过点(2，0)且与曲线y相切的直线方程．

x4

练习题：已知函数yx33x，过点A(016)，作曲线yf(x)的切线，求此切线方程．看看几个高考题

1.（201*全国卷Ⅱ）曲线yx在点1,1处的切线方程为2x122.（201*江西卷）设函数f(x)g(x)x，曲线yg(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为

3.（201*宁夏海南卷）曲线yxe2x1在点（0,1）处的切线方程为。4.（201*浙江）（本题满分15分）已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR)．（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；5.（201*北京）（本小题共14分）

设函数f(x)x3axb(a0).

（Ⅰ）若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，求a,b的值；

332x.1函数的单调性和导数

1．利用导数的符号来判断函数单调性:一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，

如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的；如果在这个区间内f(x)0，则yf(x)为这个区间内的。2．利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出函数的导数；

(3)解不等式f(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)＜0，得函数的单调递减区间．

5

""

【例题讲解】

a)b)

确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3

２．已知函数f(x)xlnx，则（）

A．在(0,)上递增B．在(0,)上递减

求证：yx1在(,0)上是增函数。

311ee32３．函数f(x)x3x5的单调递增区间是_____________．

C．在0,上递增D．在0,上递减

6

函数图象及其导函数图象31.函数yf(x)在定义域(,3)内可导，其图象如

2图，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为_____________2.函数f(x)的定义域为开区间(//3,3)，导函数2yf(x)

3f(x)在(,3)内的图象如图所示，则函数f(x)2的单调增区间是_____________

3.如图为函数f(x)ax3bx2cxd的图象，f"(x)为函数

f(x)的导函数，则不等式xf"(x)0的解集为______

-3yo3x

4.若函数f(x)xbxc的图象的顶点在第四象限，则其导函数f"(x)的图象是（）

2

5.函数yf(x)的图象过原点且它的导函数f"(x)的图象是如图所示的一

条直线，则yf(x)图象的顶点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6.(201*年广东佛山)设f(x)是函数f(x)的导函数,yf(x)的图象如右图所示，则yf(x)的图象最有可能的是（）

yyy2yyf(x)

y

O12xO12A

xO12B

xO1CxO12Dx7.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f(x)的图象可能

为()

7

8.（安微省合肥市201*年高三第二次教学质量检测文科）函数yf(x)的图像如下右图

所示，则yf(x)的图像可能是

（）

9.(201*年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已

yox(x)ax2bxc的图象如右图，则知函数f(x)的导函数ff(x)的图象可能是()

10.（201*年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一

容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）hhhOtOtO

(A)(B)(C)

正视图侧视图h俯视图tOt"(D)

11.(201*广州二模文、理)已知二次函数fx的图象如图1所示,则其导函数f象大致形状是（）

x的图

8

12.（201*湖南卷文）若函数yf(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数yf(x)．．．

在区间[a,b]上的图象可能是yyy

()yoabxoA．B．C．D．

a

obxa

obxa

bx

13.（福建卷11）如果函数yf(x)的图象如右图，那么导

函数yf(x)的图象可能是()

14.（201*年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么

y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）

15.(201*珠海一模文、理)设f"(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf"(x)的图

像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

9

A．

B．C．D．y

16.(湖南省株洲市201*届高三第二次质检)已知函数

则（）yf(x)的导函数yf(x)的图像如下，函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点

f(x)有2个极大值点，2个极小值点

函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点

函数

1xx2x3Ox4x

17.(201*珠海质检理)函数f(x)的定义域为

(a,b)，其导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a,b)内极小值点的个数是（）

(A).1

(B).2(C).3(D).4

118.【湛江市文】函数f(x)lnxx2的图象大致是

2

yOyyyxOxOxOxA．B．C．D．

219.【珠海文】如图是二次函数f(x)xbxa的部分图

象，则函数g(x)lnxf(x)的零点所在的区间是（）

111422C.(1,2)D.(2,3)

A.(,)B.(,1)

20.定义在R上的函数f(x)满足f(4)1．f(x)为f(x)的导函数，已知函数yf(x)的图象如右图所示.若两正数a,b满足yb2的取值范围是（）f(2ab)1，则a210

Ox

1111)B．(,)3,C．(,3)D．(,3)A．(,22)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，

f"(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所

的值.11

3221.已知函数f(x其导函数y示.求：

（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a,b,c

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