导数应用小结

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导数应用小结

201*------201*学年高二数学选修2---2导学案使用时间201*.3.编号：编制人：陈迪吴太强审核人：审批人：班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：

导数应用小结（高二理科）

使用说明：在做本章的小结之前，请仔细阅读一下教材p70的学习要求和复习建议.重点难点：1.重点：应用导数解决函数的单调性、极值、最值问题，同时利用导数概念形成

过程中的思想分析问题并建立导数模型。

学2.难点：深刻理解导数是能够比单调性更加精确地反映函数变化趋势的一个量。一．学习目标：1.会用导数解决函数的单调性问题、极值问题和实际中简单的最优化问题。

2.通过利用导数研究单调性问题和极值问题的过程，体会从特殊到一般的、

数形结合的研究方法。3．通过不同背景的问题解决最后统一到导数模型的过程，认识到数学与生活

案的关系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生

发自内心的欣赏感情。

二．问题导学:

1.本章知识结构函数的单调性（用导数的符号判断单调性）装函数的单调性与极值函数的极值（利用导数确定函数的极值点和极值）导数应用实际问题中的导数的意义订导数在实际问题中的应用最大、最小值问题（最优化问题）2.知识点总结

（1）导数与函数单调性

线导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：

．如果在某个区间内，函数yfx的导数________，则在这个区间上，函数yfx是________，该区间是函数的_______。

.如果在某个区间内，函数yfx恒有导数________，则fx为_______。

注：①f(x)＞0（或f(x)＜0)是fx在某一区间上是增加的（或减少的）的充分不必要条件.,②在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.⑵函数的极值与导数

一般情况下，求函数yfx的极值点的步骤如下：求出导数________；解方程________；

对于方程f(x)=0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的_______（即fx的单调性），确定极值点：若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为______；若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为______；若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0_______极值点

注：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，函数应在极值点附近有定义，端点绝对不

是极值点

⑶函数最值的实际应用（优化问题的解决）

①求连续函数fx在a,b上上最值的步骤：

求fx在（a,b）上的极值；

将fx的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.②最值与极值的区别与联系：

最值是整体性概念，极值是局部的概念

最大（小）值不一定是极大（小）值，极大（小）值也不一定是最大（小）值.函数在某一区间上的极值可能有多个，但在某一区间上存在最大（小）值时，最大（小）值只能有一个极值有可能成为最值，最值存

在且不在端点处取得，则必是极值

建立数③解决优化问题的方法：学模型解决优化问题的基本思路是优化问题用函数表示数学问题解决数学模型作答

优化问题答案用导数解决数学问题201*------201*学年高二数学选修2---2导学案使用时间201*.3.编号：编制人：陈迪吴太强审核人：审批人：班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：

注：用导数的方法解决实际问题，可归纳为：费用最省问题；面积、体积最大问题；利润最大问题等

三、合作、探究、展示

1．求下列函数的单调区间和极值⑴yxx⑵yxsinx⑶ysinxcosx

1.设函数f(x)ln(2x3)x2

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）求f(x)在区间31，的最大值和最小值．

44解：f(x)的定义域为3，∞2．

2（Ⅰ）f(x)22x32x4x6x2x1)(x1)2x32(22x3．

当32x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x122时，f(x)0．从而，f(x)分别在区间1312，1，2，∞单调增加，在区间1，单调减少．2（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在区间3111，44的最小值为f2ln2．

4又f339714f13114ln49216ln216ln7221ln60．

所以f(x)在区间31117，44的最大值为f4ln．

162

2.已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取的极值

（1）求fx的极值（2）当x2,2时，求fx的最大值和最小值

2..已知函数f(x)ax4lnxbx4c(x>0)在x=1处取得极值3c，其中a,b,c为常数。

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围。解：（I）由题意知f(1)3c，因此bc3c，从而b3．又对f(x)求导得

f"x4ax3lnxax4133x4bxx(4alnxa4b)．

由题意f(1)0，因此a4b0，解得a12．

（II）由（I）知f(x)48x3lnx（x0），令f(x)0，解得x1．当0x1时，f(x)0，此时f(x)为减函数；

当x1时，f(x)0，此时f(x)为增函数．

因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，而f(x)的单调递增区间为(1，∞)．

（III）由（II）知，f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，此极小值也是最小值，要

使f(x)≥2c2（x0）恒成立，只需3c≥2c2．

即2c2c3≥0，从而(2c3)(c1)≥0，解得c≥32或c≤1．

所以c的取值范围为(，1]32，．

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22.已知函数f(x)2axa1x21(xR)，其中aR．

（Ⅰ）当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（Ⅱ）当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值．（Ⅰ）解：当a1时，f(x)2xx21，f(2)45，

)2(x21)2x2x2又f(x22x，6(x21)2(x21)2f(2)25．

所以，曲线yf(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y46525(x2)，

即6x2y320．

2a(x21)2x(2axa2（Ⅱ）解：f(x)1)(x21)22(xa)(ax1)(x21)2．

由于a0，以下分两种情况讨论．（1）当a0时，令f(x)0，得到x11a，x2a．当x变化时，f(x)，f(x)的变

化情况如下表：

x1∞，11aa，aa(a，∞)af(x)00f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以f(x)在区间1∞，a，(a，∞)内为减函数，在区间1，a内为增函数．a函数f(x)在x11121a处取得极小值fa，且faa，函数f(x)在x12a处取得极大值f(a)，且f(a)1．

（2）当a0时，令f(x)0，得到x11a，x2a，当x变化时，f(x)，f(x)的变化

情况如下表：

x∞，aaa，11aa1，+∞af(x)00f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以f(x)在区间(∞，a)，1内为增函数，在区间a，+∞1a，a内为减函数．函数f(x)在x1a处取得极大值f(a)，且f(a)1．函数f(x)在x121a处取得极小值f，且f1a．aa23．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此，甲方有权向乙方

索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x201*t，若乙方每生产一吨必须赔付甲方S元（以下称

S为赔付价格）

（1）将乙方的年利润W（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年

产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2（元），在乙方按照获得最大利

润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔偿价

格S是多少？（答案在中学第二教材p74）

201*------201*学年高二数学选修2---2导学案使用时间201*.3.编号：编制人：陈迪吴太强审核人：审批人：班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：

四、拓展提高

1.（07江苏）已知函数f(x)x312x28在3,3上的最大值和最小值分别为M,m，

M-m=_________.

2.已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yf(x)的图象经过点（1，0），（2，0）,如图所示，求（1）x0的值（2）a,b,c的值

3.已知f(x)x33x29xm在2,2上的最大值为20，则实数m的值为_________※4.(08湖北)若f(x)122xblnx2在1,上是减函数，求b的取值范围是（）

A.[1,)B.1,C.(,1]D.(,1)※※5.（08天津文21）设函数f(x)x4ax32x2b(xR)其中a,bR（1）当a=103时，讨论函数fx的单调性；

（2）若函数fx仅在x=0处有极值，求a的取值范围；

（3）若对于任意的a2,2.不等式fx1在1，1上恒成立，求b的取值范围.

五．本节小结：

（1）导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下

几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，

导数是一个有力的工具．（2）函数极值的判断方法:

(1)定义法，若fx在x0点附近有定义，且满足附近所有点x都有fxfx0，则说

fx0为极大值；反之，则说fx0为极小值，本方法主要用于判断不可导函数的极值。

（2）导数法，当函数fx在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧fx0，右侧fx0，

那么fx0是极大值；若左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值。注：导数不存在的点有可能是极值点；而导数为0的点也不一定是极值点。

（3）函数最值与极值的区别与联系：

①函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念

②闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。

③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值。

④如果函数不在闭区间a,b上可导，则确定函数的最值时，不仅比较该函数各导数为零的点

与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。

⑤在解决实际问题应用中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。

扩展阅读：导数应用小结B

201*------201*学年高二数学选修2---2导学案使用时间201*.3.19编号：18编制人：陈迪吴太强审核人：审批人：班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：

导数应用小结（高二理科B）

过程中的思想分析问题并建立导数模型。

2.通过利用导数研究单调性问题和极值问题的过程，体会从特殊到一般的、

数形结合的研究方法。3．通过不同背景的问题解决最后统一到导数模型的过程，认识到数学与生活

案的关系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生

发自内心的欣赏感情。

二．问题导学:

（1）导数与函数单调性

线导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：

．如果在某个区间内，函数yfx的导数________，则在这个区间上，函数yfx是________，该区间是函数的_______。

.如果在某个区间内，函数yfx恒有导数________，则fx为_______。

一般情况下，求函数yfx的极值点的步骤如下：求出导数________；解方程________；

注：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，函数应在极值点附近有定义，端点绝对不

是极值点

⑶函数最值的实际应用（优化问题的解决）

①求连续函数fx在a,b上上最值的步骤：

求fx在（a,b）上的极值；

将fx的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.②最值与极值的区别与联系：

最值是整体性概念，极值是局部的概念

在且不在端点处取得，则必是极值

建立数③解决优化问题的方法：学模型解决优化问题的基本思路是优化问题用函数表示数学问题解决数学模型作答

优化问题答案用导数解决数学问题201*------201*学年高二数学选修2---2导学案使用时间201*.3.19编号：18编制人：陈迪吴太强审核人：审批人：班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：

注：用导数的方法解决实际问题，可归纳为：费用最省问题；面积、体积最大问题；利润最大问题等

三、合作、探究、展示

1.设函数f(x)ln(2x3)x2（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

31（Ⅱ）求f(x)在区间，的最大值和最小值．

443.已知函数f(x)2axa1x122(xR)，其中aR．

（Ⅰ）当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（Ⅱ）当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值．

2..已知函数f(x)ax4lnxbx4c(x>0)在x=1处取得极值3c，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式f(x)2c恒成立，求c的取值范围。

201*------201*学年高二数学选修2---2导学案使用时间201*.3.19编号：18编制人：陈迪吴太强审核人：审批人：班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：

4．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此，甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x201*t，若乙方每生产一吨必须赔付甲方S元（以下称

四、拓展提高

1.（07江苏）已知函数f(x)x312x28在3,3上的最大值和最小值分别为M,m，S为赔付价格）

（1）将乙方的年利润W（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年

产量；

（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2（元），在乙方按照获得最大利

润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔偿价

格S是多少？

M-m=_________.

2.已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yf(x)的图象经过点（1，0），（2，0）,如图所示，求（1）x0的值（2）a,b,c的值

3.已知f(x)x33x29xm在2,2上的最大值为20，则实数m的值为_________

※4.(08湖北)若f(x)122xblnx2在1,上是减函数，求b的取值范围是（）

A.[1,)B.1,C.(,1]D.(,1)201*------201*学年高二数学选修2---2导学案使用时间201*.3.19编号：18编制人：陈迪吴太强审核人：审批人：班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：

※※5.（08天津文21）设函数f(x)x4ax32x2b(xR)其中a,bR（1）当a=103时，讨论函数fx的单调性；

（2）若函数fx仅在x=0处有极值，求a的取值范围；

（3）若对于任意的a2,2.不等式fx1在1，1上恒成立，求b的取值范围.

五．本节小结：

（1）导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下

几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．（2）函数极值的判断方法:

(1)定义法，若fx在x0点附近有定义，且满足附近所有点x都有fxfx0，则说

fx0为极大值；反之，则说fx0为极小值，本方法主要用于判断不可导函数的极值。

（2）导数法，当函数fx在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧fx0，右侧fx0，

那么fx0是极大值；若左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值。注：导数不存在的点有可能是极值点；而导数为0的点也不一定是极值点。

（3）函数最值与极值的区别与联系：

①函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念

②闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。

③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值。

④如果函数不在闭区间a,b上可导，则确定函数的最值时，不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。

⑤在解决实际问题应用中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。201*------201*学年高二数学选修2---2导学案使用时间201*.3.19编号：18编制人：陈迪吴太强审核人：审批人：班级：小组：姓名：组内评价：教师评价：

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