高三数学第一轮复习--数学归纳法

高三数学第一轮复习--数学归纳法

高三数学第一轮复习每日一练

数学归纳法

A卷班级____姓名_______座号___

一、选择题：

1、用数学归纳法证明“凸n边形的对角线的条数是

f(n)n(n3)”的第一步中n所取的数字是（C）2(A)1(B)2(C)3(D)4

2、设f(n)

1111(nN)，则f(n1)f(n)（D）n1n2n32n111111A．B．C．D．

2n12n22n12n22n12n2二、填空题：

3、设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=_____5____；当n4时f(n)．（用

n表示）

4、如图，OA,2,3,)的直角边AnAn1n，A11，直角三角形OAnAn1(n1记anOAn(n1,2,3,)，则数列{an}的通项公式为．三、解答题

5、用数学归纳法证明：

6、已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2++b10=145

(1)求数列{bn}的通项公式bn;

A45└A3A2┌OA6A112nn(n1)；1335(2n1)(2n1)2(2n1)222(2)设数列{an}的通项an=loga(1+的大小，并证明你的结论

11)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1bn3

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数学归纳法

B卷班级____姓名_______座号___

一、选择题：

1、某个命题与正整数n有关，如果当nk(kN)时命题成立，那么可推得当nk1时

命题也成立.现已知当n5时该命题不成立，那么可推得

A．当n=6时该命题不成立

（）

B．当n=6时该命题成立

C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立

2、用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n12(2n1)”（nN）时，从“nk到nk1”

时，左边应增乘的式子是

A．2k1

B．2(2k1)C．

（）

D．

2k1k12k2k1二、填空题：

an，其中a、b、c均为正数，那么an与an1的大小是

bnc*

4、在数列{an}中，满足Sn=2n-an，n∈N计算a1,a2,a3,a4，并由此猜想an的表达式为．

3、已知数列an的通项公式为an=三、解答题

5、已知数列an中，a74,an13an4．7an（Ⅰ）是否存在自然数m，使得当nm时，an2；当nm时，an2？（Ⅱ）是否存在自然数p，使得当np时，总有

an1an1an？2

6、设数列{xn}:x13312,xnxn1，其中n2,nN，1682111n求证：对nN都有（Ⅰ）0xn；（Ⅱ）xnxn1；（Ⅲ）xn()

222

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高三数学第一轮复习每日一练

合情推理与演绎推理

A卷班级____姓名_______座号___

一、选择题：

1、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)(c,d)，当且仅当ac,bd；运算“”为：(a,b)(c,d)(acbd,bcad)；运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd)，设p,qR，若(1,2)(,p)q(5,0)，则(1,2)(p,q)（）

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，，2、已知数列1则数列的第k项是（D）

Ａ．akak1a2kＢ．ak1aka2k1

Ｃ．ak1aka2kＤ．ak1aka2k2二、填空题：

n(n1)3、如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有2__条.

n(n2)(n1)2这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝12;f(n)＝.

4、在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19,nN)成立，类比上述性质，相应地：在等此数列bn中，若b91，则有等式成立。三、解答题

5、类比平面上的命题（m），给出在空间中的类似命题（n）的猜想．

（m）如果△ABC的三条边BC，CA，AB上的高分别为ha，hb和hc，△ABC内任意一点P到三条边

pppBC，CA，AB的距离分别为Pa，Pb，Pc，那么abc1．

hahbhc（n）．

答案：从四面体的四个顶点A，B，C，D分别向所对的面作垂线，垂线长分别为ha，hb，hc和hd．P为四面体内任意一点，从点P向A，B，C，D四个顶点所对的面作垂线，垂线长分别为Pa，Pb，Pc和Pd，那么类比

pppp所得的关系式是abcd1．

hahbhcpd

1的数阵对第i行ai1,ai2,,ain，记biai12ai23ai3(1)nnain，i1,2,3,,n!例12如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，

b1b2b61221231224，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，23b1b2b120等于多少？

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6、用n个不同的实数a1,a2,,an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行

2332133112

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合情推理与演绎推理

B卷班级____姓名_______座号___

一、选择题：

1、若平面上n个圆最多把平面分成f(n)个区域，则n1个圆最多把平面分成区域的个数为（B）

Ａ．f(n)n1

Ｂ．f(n)2n

Ｃ．f(n)2n226

Ｄ．f(n)2n2

2、观察数列1，，，，，，，，，，，则数将出现在此数列的第（C）

Ａ．21项Ｂ．22项Ｃ．23项Ｄ．24项二、填空题：

3、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有___________个点.

121231234213214321（1）（2）（3）（4）（5）

14xx4a∞)，类比有xn≥n1(nN)，4、已知x(0，观察下列几式：x≥2，x22≥3，

xx22xx则a．

答案：nn

三、解答题

5，，x4天．四道工序的先后顺序及相互5、某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9

天，问完成工序C需要的最大天数x是多少？（答案：3）6、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是多少？

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合情推理与演绎推理

A卷班级____姓名_______座号___

眉山网站建设好玩的游戏PPTV破解版代发外链一、选择题：

1、在R上定义运算:xyx(1y).若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则（）

A．1a1

B．0a2

C．1331aD．a22222、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有___________个点.

（1）（2）（3）（4）（5）

二、填空题：

n(n1)3、如果一个凸多面体n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有2__

n(n2)(n1)2条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝12;f(n)＝.

（答案用数字或n的解析式表示）

4、在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19,nN)成立，类比上述性质，相应地：在等此数列bn中，若b91，则有等式成立。

三、解答题

5，，x4天．四道工序的先后顺序及相互5、某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，

问完成工序C需要的最大天数x是多少？（答案：3）

1的数阵对第i行ai1,ai2,,ain，记biai12ai23ai3(1)nnain，i1,2,3,,n!例12如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，

b1b2b61221231224，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，23b1b2b120等于多少？

36、用n个不同的实数a1,a2,,an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行

233213311221高三数学第一轮复习每日一练

合情推理与演绎推理

眉山网站建设好玩的游戏PPTV破解版代发外链B卷班级____姓名_______座号___

一、选择题：

1、图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、B、C、D

四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为（C）

A．18B．17C．16D．15

2、要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能

喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（B）Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．6二、填空题：

3、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)(c,d)，当且仅当ac,bd；运算“”为：

(a,b)(c,d)(acbd,bcad)；运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd)，设p,qR，若(1,2)(,p)q(5,0)则(1,2)(p,q)（）A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)4、已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3++(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项1,n=1,an=

，

,n≥2.三、解答题

5、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A）26（B）24（C）20（D）19

6、下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1`x2`x3，分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则

（A）x1＞x2＞x3（B）x1＞x3＞x2（C）x2＞x3＞x1（D）x3＞x2＞x1

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扩展阅读：201*届高三数学一轮复习试题：数学归纳法

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201*届高三数学一轮复习试题：数学归纳法

双基训练

*1.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(n∈N*)时，从“k到k+1”左边需增乘的代数式是()。【2】

2k+12k+3(C)2(2k+1)(D)k+1k+1111*2.用数学归纳法证明：1+++…+n1)在验证n=2成立时，左式是()。【2】

232-1(A)2k+1(B)

(A)1(B)1+1/2

(C)1+1/2+1/3(D)1+1/2+1/3+1/4

*3.某个与自然数n有关的命题，若n=k时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得()。【2】(A)当n=6时该命题不成立(B)当n=6时该命题成立(C)当n=4时该命题不成立(D)当n=4时该命题成立*4.用数学归纳法证明：1-1/2+1/3-1/4+

11111-=+++，第一步应验试左式

2n-12nn+1n+22n是，右式是。【2】

2

*5.若要用数学归纳法证明2n>n(n∈N*)则仅当n取值范围是时不等式才成立。【2】

1-an+2**6.用数学归纳法证明：1+a+a++a=(a≠1)(n∈N*).【3】

1-a2

n+1

**7.请用数学归纳法证明：1+3+6++

n(n+1)n(n+1)(n+2)=(n∈N*).【3】262

22

n2(n-1)(n+1)**8.用数学归纳法证明：1(n-1)+2(n-2)++n(n-n)=(n∈N*).【4】

422

**9.用数学归纳法证明：123+234++n(n+1)(n+2)=

【4】

n(n+1)(n+2)(n+3)(n∈N*).4132**10.用数学归纳法证明：13+35+57++(2n-1)(2n+1)=n(4n+6n-1)(nN*).【4】

**11.用数学归纳法证明：

1111n++++=(nN*)。【4】2446682n(2n+2)4(n+1)122nn+2+2+3++n=2-n(nN*).【4】22222**12.用数学归纳法证明：

1222n2n(n+1)**13.用数学归纳法证明：+++=(nN*)【4】

1335(2n-1)(2n+1)2(2n+1)n3(n+1)3**15.用数学归纳法证明：1+2++n+3(1+2++n)=(n∈N*)。【5】

2333555

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**16.用数学归纳法证明：

3572n+11(n∈N*).【4】++++=1-122222323242n2(n+1)2(n+1)2n(n+1)(n∈N*).【4】2**17.用数学归纳法证明：

1-2+3-4++(-1)n=(-1)**18.用数学归纳法证明：

1-2+4-8++(-1)2=(-1)

n-1n-1

n-1

2222

n-12

n-1

2n1+(n∈N*).【4】332

222

**19.用数学归纳法证明：(12-23)+(34-45)+

22

+[(2n-1)(2n)-2n(2n+1)]=-n(n+1)(4n+3)(n∈N*)【4】***20.求证：1+2++2n=n(2n+1)(n∈N*)【4】

2

***21.求证：1+2++(n-1)+n+(n-1)++1=n(n∈N*)【4】***22.用数学归纳法证明：1n+2(n-1)++n1=***23.当n为正偶数时，求证：

n(n+1)(n+2)(n∈N*)【5】

6nn(n2)n(n2)2n.【5】n1(n1)(n3)(n1)(n3)11119【5】n1n23n10***24.当n>1，n∈N*时，求证：

纵向应用

nn

**1.设n是正奇数，用数学归纳法证明x+y能被x+y整除时，第二步归纳法假设应写成()。

【2】

(A)假设n=k(k≥1)时正确，再推证n=k+2时正确

(B)假设n=2k+1(k∈N*)时正确，再推证n=2k+3时正确(C)假设n=2k-1(k∈N*)时正确，再推证n=2k+1时正确(D)假设n=k(k∈N*)时正确，再推证n=k+1时正确**2.用数学归纳法说明：1+

111nn(n1)，在第二步证明从n=k到n=k+1成立2321时，左边增加的项数是()。【2】

kkk-1k

(A)2个(B)2-1个(C)2个(D)2+1个

**3.设凸n边形的内角和为f(n)，凸n+1边形的内角和为f(n+1)，则f(n+1)=f(n)+。【2】**4.已知f(x)=

x1x2，记f1(x)=f(x)，n≥2时，fn(x)=f[fn-1(x)]，则

f2(x)=,f3(x)=,f4(x)=，由此得fn(x)=.【3】

**5.猜想：1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,第n个式子为。【2】***6.求证：1111n1(n3且nN*).【5】23n***7.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，证明：

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1112n1(1)(1+)(1+)(nN*)【4】

352n-12***8.求证：

135(2n-1)n+1(n∈N*)【4】>2462n2n+1n

3

***9.求证：2>n，(n≥10且n∈N*)【4】

n

***10.求证：当n∈N，用n≥2时，n>135(2n-1).【4】

n+1n)>n!(n∈N且n≥2)【8】2111***12.用数学归纳法证明：1++++高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家

(1)49+16n-1能被64整除(n∈N*)【4】

n

(2)(3n+1)7-1是9的倍数(n∈N*)【4】

25n-1

(3)1+2+2++2能被31整除【4】

2nn+2n

(4)6+3+3是11的倍数(n∈N*)【5】***22.求证：

nn-1n2

(1)x-na+(n-1)a能被(x-a)整除【8】

n+22n+12

(2)m+(m+1)能被m+m+1整除(n∈N*)【5】

***23.用数学归纳法证明：三个连续自然数的立方和能被9整除。【5】

-1n-n

***24.用数学归纳法证明：若x+x=2cosθ，则x+x=2cosnθ(n∈N*)【6】

32

***25.用数学归纳法证明：f(n)=n+3/2n+1/2n-1为整数(n∈N*)【5】

***26.平面上有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不共点，求证：n条直线

2

(1)被分割成n段；

2

(2)把平面分成1/2(n+n+2)部分。【10】

***27.用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为1/2n(n-3)【5】

***28.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：

2

这n个圆把平面分成n-n+2个部分。【6】

***29.在2与8之间插入n个正数a1，a2,an，使这n+2个正数依次成等差数列，又在2与8

之间插入n个正数b1,b2,bn，使这n+2个正数依次成等比数列；设An=a1++an,Bn=b1bn。

(1)求An及Bn的通项公式。

(2)求使f(n)=3An+Bn-10对任意自然数n都能被m整除的最大自然数m之值。【12】

横向拓展

***1.已知函数f1(x)=

n

x-1,fn+1(x)=f1[fn(x)](n∈N*),则f30(x)是()。【3】x+1x-1(A)x(B)

x11(C)(D)-

x1-x2

3

n-1

n

***2.已知1+233+43++n3=3(na-b)+c对于一切n∈N*都成立，那么a、b、c的

值为()。【2】(A)a=1/2,b=c=1/4(B)a=b=c=1/4(C)a=0,b=c=1/4

(D)不存在这样的a、b、c

***3.楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)种不同的走法，则

f(n)、f(n-1)、f(n-2)的关系为。【2】

***4.用an表示n个篮球队单循环赛的场数，则an+1=an+.【2】

***5.在数列an中，a1=-1,a2=1,a3=-2,若对一切n∈N*有anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且an+1an+2an+3≠1,则S4321=【3】***6.如图11-1所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2，

3,3，6,4，10，记该数列前n项之和为S(n)，则S(16)=.【5】****7.观察下列式子：

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3+4=5,10+11+12=13+14,21+22+23+24=25+26+27,36+37+38+39+40=41+42+22

43+44，，则第n个式子是。【5】****8.设数列an满足a1=0，a2=1，对于n>2(n∈N*)有an=2an-1-2an-2，试用数学归纳法证明：

2222222222222222222222

n-1n-1an=22sinл

4****9.对于以下数的排列：

2,3，4

3,4，5,6，7，4,5，6,7,8，9,10

(1)求前三项每行各项之和；

(2)归纳出第n行各项的和与n的关系式；(3)用数学归纳法证明(2)中所得的关系式。【10】****10.在数列an中，an>0,且Sn=1/2(an+

1)an(1)求a1、a2、a3；

(2)猜测出an的关系式并用数学归纳法证明。【10】

****11.在数列an中，若a1=cotx,an=an-1cosx-sin(n-1)x，试求通项an的表达式且证明。【8】****12.是否存在自然数m，使f(n)=(2n+7)3+9对于任意自然数n∈N*都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由。【8】****13.设f(n)=

n

111m+++是否存在一个最大的自然数m，使不等式f(n)>n+3n+42n+272对n∈N*恒成立？若不存在，请说明理由；若存在，求出m之值，并证明该不等式。

【10】

****14.已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2++b10=145。

(1)求数列bn的通项bn(2)设数列an的通项an=loga(1+

1)(其中a>0且a≠1),记Sn是数列an的前n项bn和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。(1998年全国高考试题)p.200【10】

****15.设a,b∈N，两直线l1：y=b=

13bbx与l2：y=x的交点为P1(x1,y1)且对n≥2的自然数，aab两点(0，b)，(xn-1,0)的连续与直线y=x交于点Pn(xn,yn)。

a(1)求P1、P2的坐标；

(2)猜想Pn并用数学归纳法证明。【10】

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****16.如图11-2，设抛物线y=x上的点与x轴上的点构成正三角形OP1Q1，Q1P2Q2、Q2P3Q3、，其中Qn在x轴上，Pn在抛物线上，设Qn-1PnQn的边长为an.求证：a1+a2++an=

n(n+1)【10】3xn2****17.设a>2，给定数列xn,其中x1=a，xn+1=(n=1,2,),求证：xn>2且

2(xn-1)xn+10，满足an≤an-an+1(n=1,2,3,)

(1)求证：an高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家

参考答案

双基训练

1.C2.C3.C4.1/21/25.n≥56.～24.略

纵向应用

1.C2.A3.π4.

n+1

2

n+1

2

x1+2xn-1

2

x1+3x2

x1+4x2

x1+nx25.1-4+9-

n+2

+(-1)n=(-1)n=(-1)(1+2++n)6.～28.略29.(1)An=5n+10,Bn=4(2)9

横向拓展

1.D2.A3.f(n)=f(n-1)+f(n-2)4.n5.-43216.1647.

(2nk=0n2+n+k)=(2n+2n+k)8.略9.(1)9；25；49(2)(2n+1)2(3)略

22k=1n210.(1)a1=1,a2=

2-1,a3=3-2(2)an=n-n-1,证明略11.an=

cosnxsinx12.mmax=3613.mmax=1714.(1)bn=3n-215.(1)P1(a/2,b/2),P2(a/3,b/3)(2)(a/n+1,b/n+1)16.～21.略

(2)Sn>1/3logabn+1

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