高中数学数列知识点总结(经典)

高中数学数列知识点总结(经典)

导航教育独家经典讲义

数列基础知识点和方法归纳

1.等差数列的定义与性质

定义：an1and（d为常数），ana1n1d等差中项：x，A，y成等差数列2Axy前n项和Sna1annna21nn1d2性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m1bmT2m1（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界

项，

an0即：当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.

a0n1a0当a10，d0，由n可得Sn达到最小值时的n值.

an10(6)项数为偶数2n的等差数列an，有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项)

S偶S奇nd，

S奇S偶an.an1，有

（7）项数为奇数2n1的等差数列an

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S2n1(2n1)an(an为中间项)，S奇S奇偶an，

SSn偶n1.2.等比数列的定义与性质

定义：

an1aq（q为常数，q0），ana1qn1n.等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy.

na1(q前n项和：S1)na11qn1q(q1)（要注意！）

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则amanapaq

（2）Snn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列,公比为q.注意：由Sn求an时应注意什么？

n1时，a1S1；

n2时，anSnSn1.

3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法

如：数列a1211n，a122a2……2nan2n5，求an

解n1时，12a1215，∴a114n2时，12a11122a2……2n1an12n15①②得：1n114(n1)2nan2，∴an2，∴an2n1(n2)［练习］数列a5n满足SnSn13an1，a14，求an

注意到aSn1n1Sn1Sn，代入得

S4又S14，∴Sn是等比数列，n；

2①②

Sn4n导航教育独家经典讲义

n2时，anSnSn1……34n1

（2）叠乘法

an如：数列an中，a13，n1，求an

ann1解

3aa1a2a312n1，∴n又a13，∴an……n……n.a1na1a2an123n（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

a3a2f(3)n2时，两边相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)a2a1f(2)∴ana0f(2)f(3)……f(n)［练习］数列an中，a11，an3（4）等比型递推公式

n1an1n2，求an（

an1n312）

ancan1d（c、d为常数，c0，c1，d0）

可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴xddd，c为公比的等比数列，∴an是首项为a1c1c1c1∴anddn1dn1d，∴a1caacn1c1c1c1c1（5）倒数法如：a11，an12an，求anan2由已知得：

a2111111n，∴an12an2anan1an2111111n1，∴为等差数列，1，公差为，∴1n12a1an22an

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∴an(附：

2n1

公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an1panq或an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法

)

4.求数列前n项和的常用方法

(1)裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：an是公差为d的等差数列，求1

k1akak1n解：由

n11111d0

akak1akakddakak1n11111111111……∴ak1da1a2a2a3k1aka","p":{"h":19.195,"w":9.074,"x":207.621,导航教育独家经典讲义

x1时，Sn1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……nnn12（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2［练习］已知f(x)，则21x1f(1)f(2)ff(3)21ff(4)321f41x2x21x1由f(x)f12222x1x1x1x11x

∴原式f(1)f(2)(附：

1ff(3)21ff(4)3111f1113

242a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写

与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{anbn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条

导航教育独家经典讲义

件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)

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扩展阅读：高中数学数列知识点总结(经典)

数列知识点复习庞顺清

高中数列知识点总结

1.等差数列的定义与性质

定义：an1and（d为常数），ana1n1d等差中项：x，A，y成等差数列2Axy前n项和Sna1annna21nn1d2性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m1bmT2m1（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界

项，

a0即：当a10，d0，解不等式组n可得Sn达到最大值时的n值.

an10an0当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值.

a0n1(6)项数为偶数2n的等差数列an，有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项)

S偶S奇nd，

S奇S偶an.an1数列知识点复习庞顺清

（7）项数为奇数2n1的等差数列an，有

S2n1(2n1)an(an为中间项)，S奇S偶aS奇n，

Sn偶n1.2.等比数列的定义与性质

定义：

an1q（q为常数，q0），ana1qn1an.等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy.

na1(q1)前n项和：Snan11q1q(q1)（要注意！）

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则amanapaq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列,公比为qn.注意：由Sn求an时应注意什么？

n1时，a1S1；n2时，anSnSn1.

3．求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法

如：数列a111n，2a122a2……2nan2n5，求an

解n1时，12a1215，∴a114n2时，12a11122a2……2n1an12n15①②得：1n114(n1)2nan2，∴an2，∴ann1(n2)

2［练习］数列a5n满足SnSn13an1，a14，求an

2

①②

数列知识点复习庞顺清

注意到an1Sn1Sn，代入得

Sn14又S14，∴Sn是等比数列，Sn4nSn；

n2时，anSnSn1……34n1

（2）叠乘法

an如：数列an中，a13，n1，求an

ann1解

3aa1a2a312n1，∴n又a13，∴an……n……n.a1na1a2an123n（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

a3a2f(3)n2时，两边相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)a2a1f(2)∴ana0f(2)f(3)……f(n)［练习］数列an中，a11，an3（4）等比型递推公式

n1an1n2，求an（

an1n312）

ancan1d（c、d为常数，c0，c1，d0）

可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴xddda，c为公比的等比数列，∴an是首项为1c1c1c1∴anddn1dn1d，∴a1caacn1c1c1c1c1（5）倒数法如：a11，an12an，求anan2数列知识点复习庞顺清

由已知得：

a2111111n，∴an12an2anan1an2111111∴为等差数列，1，公差为，∴1n1n1，

2a1an22an∴an(附：

2n1

公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an1panq或an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法

)

4.求数列前n项和的常用方法

(1)裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：an是公差为d的等差数列，求1

k1akak1n解：由

n11111d0

akak1akakddakak1n11111111111……∴ak1da1a2a2a3k1akak1k1dakanan1111da1an1［练习］求和：1111……12123123……n1an…………，Sn2

n1（2）错位相减法

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由

数列知识点复习庞顺清

SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比.

如：Sn12x3x24x3……nxn1

①

xSnx2x23x34x4……n1xn1nxn①②1xSn1xx2……xn1nxn

x1时，Sn②

1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……nnn12（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2［练习］已知f(x)，则

1x21f(1)f(2)ff(3)21ff(4)321f41x2x21x1由f(x)f12222x1x11x1x1x

∴原式f(1)f(2)(附：

1ff(3)21ff(4)3111f1113

242a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写

与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和

数列知识点复习庞顺清

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{anbn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)

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