高中数学函数公式知识点总结

高中数学函数公式知识点总结

高中数学函数知识点总结

（1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

（2）一次函数：①若两个变量,间的关系式可以表示成等于0）的形式，则称

是的一次函数。②当=0时，称

（为常数，不

是的正比例函数。

（3）高中函数的一次函数的图象及性质①把一个函数的自变量与对应的因变量

的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐

标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数

=的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当0，O，则经2、3、4象限；当0，0时，则经1、2、4象限；当0，0时，则经1、3、4象限；当0，0时，则经1、2、3象限。

④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数：

①一般式：()，对称轴是

顶点是②顶点式：③交点式：

；((

)，对称轴是)，其中（

顶点是），（

；

）是抛物线与x轴的交

点

（5）高中函数的二次函数的性质

①函数的图象关于直线对称。

②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）

右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）

右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值

9高中函数的图形的对称

（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那

么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。

（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

扩展阅读：高中数学知识点总结及公式大全

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高中数学知识点总结

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合Ax|x2x30，Bx|ax1

2若BA，则实数a的值构成的集合为

（答：1，0，）3.注意下列性质：

（1）集合a1，a2，，an的所有子集的个数是2；（2）若ABABA，ABB；（3）德摩根定律：

13nCUABCUACUB，CUABCUACUB

ax50的解集为M，若3M且5M，求实数a2xa4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式的取值范围。

（∵3M，∴

a35023aa55052a5a1，9，25）

3∵5M，∴5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真若p为真，当且仅当p为假

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6.命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4）10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。（答：a，a）

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：f令t2x1exx，求f(x).

x1，则t0

∴xt1∴f(t)et21t21x21x0

∴f(x)ex2112.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x如：求函数f(x)2x1x0的反函数

x0x1x1（答：f(x)）xx013.反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a

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f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）如：求ylog1x2x的单调区间

22（设ux2x，由u0则0x2且log1u，ux11，如图：

222uO12x

当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

2当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

2∴）

15.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f"(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f"(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大值是（）A.0

B.1

23C.2D.3

f"(x)3xa3x（令aax033则xa或x3a3中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则a1，即a33∴a的最大值为3）

16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a2xa2为奇函数，则实数a如：若f(x)x21（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a20a20，∴a1）即0212x，又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x41求f(x)在1，1上的解析式。

2x（令x1，0，则x0，1，f(x)x

412x2x又f(x)为奇函数，∴f(x)x

4114x2xx41又f(0)0，∴f(x)x24x117.你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

x(1，0)x0x0，1）

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（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)则f(x)是周期函数，2ab为一个周期如：

18.你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(x)的图象关于y轴对称f(x)与f(x)的图象关于x轴对称f(x)与f(x)的图象关于原点对称f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称

f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

左移a(a0)个单位yf(xa)将yf(x)图象

yf(xa)右移a(a0)个单位注意如下“翻折”变换：

上移b(b0)个单位下移b(b0)个单位yf(xa)byf(xa)b

f(x)f(x)f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

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yy=log2xO1x

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k0)y=bO’(a,b)Oxx=a

（1）一次函数：ykxbk0（2）反比例函数：y的双曲线。

kkk0推广为ybk0是中心O"(a，b)xxa2b4acb2图象为抛物线（3）二次函数yaxbxca0ax2a4a2b4acb2b，顶点坐标为，对称轴x

4a2a2a开口方向：a0，向上，函数ymin4acb2

4aa0，向下，ymax4acb2

4a应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。

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0b2k如：二次方程axbxc0的两根都大于k2af(k)0y(a>0)Okx1x2x

一根大于k，一根小于kf(k)0（4）指数函数：yaxa0，a1（5）对数函数ylogaxa0，a1由图象记性质！（注意底数的限定！）

yy=ax(a>1)(0中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

指数运算：a01(a0)，apamn1(a0)paanm(a0)，amn1nam(a0)

对数运算：logaMNlogaMlogaNM0，N0logaM1nlogMlogN，logMlogaaaaMNnlogax对数恒等式：ax

对数换底公式：logab21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

logcbnlogambnlogab

logcam如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。（先令xy0f(0)0再令yx，）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。（先令xytf(t)(t)f(tt)∴f(t)f(t)f(t)f(t)∴f(t)f(t)）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2

22.掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：（1）y2x3134x（2）y2x4x3

2x2（3）x3，y

x3（4）yx49x2设x3cos，0，

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（5）y4x9，x(0，1]x11lRR2）22R1弧度OR23.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？（lR，S扇

24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sinMP，cosOM，tanAT

yTBSPαOMAx

如：若0，则sin，cos，tan的大小顺序是812cosx的定义域和值域。2

数又如：求函y（∵12cosx）12sinx02∴sinx2，如图：2中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

∴2k5x2kkZ，0y124425.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

x1，cosx1sinyytgxxO22

对称点为k

，0，kZ2，2k2kZ23x的增区间为2kysin减区间为2k，2kkZ22图象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ2中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

x的增区间为2k，2kycoskZ

kZ

减区间为2k，2k2图象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ

2ytanx的增区间为k，kkZ2226.正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx（1）振幅|A|，周期T2||若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。（2）五点作图：令x依次为0，（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

3，，，2，求出x与y，依点22

(x1)0如图列出

(x2)2解条件组求、值

正切型函数yAtanx，T||27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如：cosx23，x，，求x值。622中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

（∵x375513，∴x，∴x，∴x）26636412

28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数ysinxsin|x|的值域是（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）平移公式：

x"xha(h，k)P"（x"，y"），则（1）点P（x，y）

y"yk平移至f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程f为(xh，yk)0（2）曲线如：函数y2sin2x图象？

（y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的41横坐标伸长到原来的2倍1y2sin2x14241个单位42sinx1y2sinx1上平移y2sinx4左平移个单位12ysinx）纵坐标缩短到原来的倍30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sincossectantancotcossectan22224cos0称为1的代换。2“k”化为的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”，

2sin“奇”、“偶”指k取奇、偶数。如：cos97tansin2164

又如：函数yA.正值或负值

sintan，则y的值为coscot

B.负值

C.非负值

D.正值

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sinsin2cos1cos（y0，∵0）

coscos2sin1cossinsin31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：

sincoscossinsin22sincossin令令coscoscossinsincos2cos2sin2tantantan222cos112sin1tantantan2

2tan21tan1cos221cos22sin2co2s

asinbcossincosa2b2sin，tanba2sin

43sin3cos2sin应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：

（1）角的变换：如，222（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

sincos21，tan，求tan2的值。

1cos23sincoscos1（由已知得：1，∴tan2sin22sin22又tan

321tantan1∴tan32）2tan1tan1218tan32如：已知中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

b2c2a2余弦定理：abc2bccosAcosA

2bc222（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RsinAabc2Rb2RsinB正弦定理：sinAsinBsinCc2RsinCS1absinC2∵ABC，∴ABC∴sinC，sinABsin如ABC中，2sin（1）求角C；

2ABCcos22ABcos2C12c2，求cos2Acos2B的值。（2）若ab222（（1）由已知式得：1cosAB2cosC11

2又ABC，∴2cosCcosC10

21或cosC1（舍）2又0C，∴C

31222（2）由正弦定理及abc得：

2322222sinA2sinBsinCsin3431cos2A1cos2B

43∴cos2Acos2B）

4∴cosC33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。反正弦：arcsinx，，x1，122反余弦：arccosx0，，x1，1

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反正切：arctanx，，xR2234.不等式的性质有哪些？（1）ab，c0acbcc0acbc

（2）ab，cdacbd（3）ab0，cd0acbd（4）ab01111，ab0ababnnn（5）ab0ab，nab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa如：若2110，则下列结论不正确的是（ab2）

A.abB.abb2

C.|a||b||ab|答案：C

35.利用均值不等式：

D.ab2baabab2aba，bR；ab2ab；ab求最值时，你是否注

2222意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：

a2b2ab2ababa，bR22ab当且仅当ab时等号成立。abcabbccaa，bR当且仅当abc时取等号。ab0，m0，n0，则

222bbmana1aambnb中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

如：若x0，23x（设y23x4的最大值为x

42212243x当且仅当3x423，又x0，∴x时，ymax243）x3xy又如：x2y1，则24的最小值为（∵22x2y

22x2y221，∴最小值为22）

36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明1（111122232n21111111

1223n1n2232n211

11111223n1n122）n

37.解分式不等式f(x)aa0的一般步骤是什么？g(x)（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）38.用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x1x20

39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式|x3|x11

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（解集为x|x1）241.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题如：设f(x)xx13，实数a满足|xa|1求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：|f(x)f(a)||(xx13)(aa13)|

222|(xa)(xa1)|(|xa|1)|xa||xa1||xa1|

|x||a|1又|x||a||xa|1，∴|x||a|1∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）如：af(x)恒成立af(x)的最小值af(x)恒成立af(x)的最大值af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5）43.等差数列的定义与性质

定义：an1and(d为常数)，ana1n1d等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sna1annna21nn12d

性质：an是等差数列

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（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列；Sn，S2nSn，S3nS2n仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则2amS2m1；bmT2m1（5）an为等差数列Snanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；或者求出an中的正、负分界

2项，即：

an0当a0，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。1an10当a10，d0，由an0可得Sn达到最小值时的n值。

a0n1

如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n（由anan1an233an13，∴an11又S3a1a333a221，∴a21311na1anna2an1n3∴Sn18

222n27）

44.等比数列的定义与性质定义：an1q（q为常数，q0），ana1qn1an2等比中项：x、G、y成等比数列Gxy，或Gxy

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na1(q1)前n项和：Sna11qn（要注意!）

(q1)1q性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则amanapaq（2）Sn，S2nSn，S3nS2n仍为等比数列45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1）46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法

111a12a2nan2n52221解：n1时，a1215，∴a114

2111n2时，a12a2n1an12n15222112得：nan2

2如：an满足∴an2n11

2

14(n1)∴ann1

(n2)2［练习］

数列an满足SnSn15an1，a14，求an3Sn14Snn（注意到an1Sn1Sn代入得：又S14，∴Sn是等比数列，Sn4n2时，anSnSn134（2）叠乘法

例如：数列an中，a13，n1

an1n，求anann1解：

a2aaa12n113n，∴na1a2an123na1n中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

又a13，∴an3n（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)两边相加，得：

anan1f(n)ana1f(2)f(3)f(n)∴ana0f(2)f(3)f(n)［练习］

数列an，a11，an3（ann1an1n2，求an

1n31）2（4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x令(c1)xd，∴x∴andc1dd，c为公比的等比数列是首项为a1c1c1∴anddn1a1cc1c1dn1dcc1c1∴ana1［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an

4（an83（5）倒数法

n11）

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例如：a11，an12an，求an

an2由已知得：1an1an2112an2an∴1an111an21111，公差为为等差数列，a12an1111n1n1an22∴an2n147.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：an是公差为d的等差数列，求1aak1kk1n11111解：由d0

akak1akakddakak1n1111∴

ak1k1akak1k1dakn

1111111da1a2a2a3anan1111da1an1

［练习］求和：111112123123n（an，Sn2（2）错位相减法：

1）n1若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

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如：Sn12x3x4xnx23423n11

n1xSnx2x3x4xn1x12：1xSn1xxx2n1nxn2

nxn

x1时，Sn1xnxnn1x21x

x1时，Sn123nnn12

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2an1an相加

Snanan1a2a12Sna1ana2an1a1an［练习］

x2111，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f已知f(x)24231x1x2

x1（由f(x)fx1x22x2112221x1x11x1314∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

12111113）2248.你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

nn1r等差问题Snp1rp12rp1nrpn2△若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款分期等额归还本息的借款

种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足p(1r)x1rnn1x1rn2x1rx

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n11rn1r1xxr11r∴xpr1rn1rn1

p贷款数，r利率，n还款期数

49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（1）分类计数原理：Nm1m2mn（mi为各类办法中的方法数）分步计数原理：Nm1m2mn（mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

Annn1n2nm1mn!mn

nm!规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.nn1nm1Amn!nCm

m!m!nm!Ammn规定：Cn1（4）组合数性质：CnCnmnmm101nn，CmCmnCnn1，CnCnCn2

050.解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A.24B.15解析：可分成两类：

C.12

D.10

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（1）中间两个分数不相等，

有C55（种）

4

","p":{"h":17中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

a0a1a0a2a0a3a0a201*（令x0，得：a01

令x1，得：a0a2a201*1

（用数字作答）

∴原式201*a0a0a1a201*201*11201*）52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

AB

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B的和（并）。

（4）事件的积（交）：AB或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。AB

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，AAA，AA

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（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53.对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即P(A)A包含的等可能结果m

一次试验的等可能结果的总数n（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B)

A、B相互独立，P则ABPAPB（3）若（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kk次的概率：Pn(k)Cknp1pnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取2件都是次品；

C22P124

C1015（2）从中任取5件恰有2件次品；

3C2C1046P2521C10（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”∴mC3464

23C2443464∴P3

1251032213（4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）∴nA10，mC4A5A6

5223中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

23C2104A5A6∴P4521A10分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54.抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55.对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：（1）算数据极差xmaxxmin；（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×样本平均值：x频率组距1x1x2xnn12样本方差：Sx1x2x2x2xnx2

n如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5）（6C1556.你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量既有大小又有方向的量。

（2）向量的模有向线段的长度，|a|

（3）单位向量|a0|1，a0a|a|0，|0|0（4）零向量长度相等ab（5）相等的向量方向相同

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在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一实数，使ba（7）向量的加、减法如图：

OAOBOCOAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

（9）向量的坐标表示

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标

表示。

设ax1，y1，bx2，y2

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2ax1，y1x1，y1若Ax1，y1，Bx2，y2

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则ABx2x1，y2y1|AB|x2x12y2y12，A、B两点间距离公式

57.平面向量的数量积

（1）ab|a||b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。为向量a与b的夹角，0，

BbOaDA数量积的几何意义：

ab等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。（2）数量积的运算法则①abba

②(ab)cacbc

③abx1，y1x2，y2x1x2y1y2

注意：数量积不满足合结律(ab)ca(bc)（3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2①a⊥bab0x1x2y1y20②a∥bab|a||b|或ab|a||b|ab（b0，惟一确定）x1y2x2y10

2③a|a|2x2y2，|ab||a||11b|

④cosab1x2y1y2|ax||b|x2y2x22

112y2［练习］

（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，|abc|

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ACc，则

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答案：22

（2）若向量ax，1，b4，x，当x答案：2

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|答案：1358.线段的定比分点

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

o时a与b共线且方向相同

l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且

x1x2x1x2xx12，P为P1P2中点时，

yy1y2yy1y212如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3则ABC重心G的坐标是yy2y3x1x2x3，1

33※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面线⊥面面⊥面线⊥线线∥线线⊥面面∥面线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

判定性质ab线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

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三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

线面垂直：

POa

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

aOαbc

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

αalβ

a⊥面，b⊥面a∥b面⊥a，面⊥a∥

ab

60.三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

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（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°＝0时，b∥或b

o

（3）二面角：二面角l的平面角，0180

oo

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。证明：coscoscos

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AθOβBCDα

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。①求BD1和底面ABCD所成的角；②求异面直线BD1和AD所成的角；③求二面角C1BD1B1的大小。

D1C1A1B1HGDCAB

（①arcsin36；②60o；③arcsin）43（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的

锐二面角的大小。

PFDCAEB

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线）61.空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，则：（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

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（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

DCABD1C1A1B1

62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱底面为正多边形的直棱柱

正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE它们各包含哪些元素？S正棱锥侧V锥1Ch"（C底面周长，h"为斜高）21底面积×高3R2d2

63.球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（4）S球4R，V球24R33中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3B.4C.33D.6

答案：A

64.熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktany2y1，x1x2x2x12P1x1，y1，P2x2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k（2）直线方程：

点斜式：yy0kxx0（k存在）斜截式：ykxb截距式：xy1ab一般式：AxByC0（A、B不同时为零）（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离dAx0By0CAB22

（4）l1到l2的到角公式：tank2k1

1k1k2l1与l2的夹角公式：tank2k1

1k1k265.如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2

A1C2A2C1k1k2l1∥l2（反之不一定成立）A1A2B1B20l1⊥l2k1k21l1⊥l2

66.怎样判断直线l与圆C的位置关系？圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

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67.怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”0相交；0相切；0相离

68.分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2第一定义双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2

抛物线PFPK第二定义：ePFPKca0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y

bOF1F2axa2xc

x2y2221ab0

ababc222

x2y2221a0，b0

abcab222

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e>1e=1P0中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

y2pxp0

2通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。72.有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mxny1与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

22线的斜率为2m，则的值为2n

答案：

m2n273.如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A"（x"，y"）为A关于点M的对称点。（由axx"yy"，bx"2ax，y"2by）22只要证明A"2ax，2by也在曲线C上，即f(x")y"（2）点A、A"关于直线l对称AA"⊥lAA"中点在l上

kAA"kl1

AA"中点坐标满足l方程xrcos74.圆x2y2r2的参数方程为（为参数）

yrsinxacosx2y2（为参数）椭圆221的参数方程为ybsinab75.求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

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高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

nnn5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2个；真子集有21个；非空子集有21

个；非空的真子集有2n2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)axbxc(a0);(2)顶点式f(x)a(xh)k(a0);(3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式

22Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

f(x)NMNMN0||f(x)Mf(x)2211.f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后

者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在

2(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1k1k2bk2.22a9.闭区间上的二次函数的最值

bk1k2,或f(k2)0且2a2二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x2b处及区2a；

间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若xbb则fxp,q，()nmf(,)()fxi2a2axmaxma(f,)p()fqbp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2ab)iminfp()fq(若)(2)当a中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

xbp,q，则f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).2a10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根.设f(x)x2pxq，则

p24q0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0mpn2f(m)0f(n)0或或；

af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p.

m211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).

a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是b0或2.

b4ac0c012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论是不是至少有一个都是不都是至多有一个大于不大于至少有n个小于不小于至多有n个对所有x，存在某x，成立不成立p或q对任何x，不成立

存在某x，成立p且q反设词一个也没有至少有两个至多有（n1）个至少有（n1）个p且qp或q中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

14.四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.

x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)018．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22a21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若

2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

nn122．多项式函数P(x)anxan1xa0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).

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(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x1ab对称.2m(3)函数yf(x)和yf(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是k1y[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y[f(x)b]的反函数.

k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

"xf(0)1,limx0g(x)1.x29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；

f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

或f(xa)30.分数指数幂

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(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.

an31．根式的性质（1）(na)a.

（2）当n为奇数时，aa；当n为偶数时，a|a|32．有理指数幂的运算性质(1)aaarsrrsrrrsrsnnnna,a0.

a,a0(a0,r,sQ).

(2)(a)a(a0,r,sQ).

(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

p

注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logman推论logambnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2)loga236.设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为

2R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要

单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

1,则函数ylogax(bx)a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.

aa11，(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.

aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.

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（2）logamloganloga2mn.238.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

yN(1p)x.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,an(数列{an}的前n项的和为sna1a2an).

snsn1,n240.等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n项和公式为

n(a1an)n(n1)na1d22d1n2(a1d)n.22sn41.等比数列的通项公式

ana1qn1a1nq(nN*)；q其前n项的和公式为

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)sn.d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭贷款)

ab(1b)n每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).n(1b)144．常见三角不等式（1）若x(0,2)，则sinxxtanx.

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)，则1sinxcosx2.2(3)|sinx||cosx|1.

(2)若x(0,45.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的诱导公式

sin，tancot1.cos(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,

n)cos,n(12cos()n12(1)2sin,47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan.tan()1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan).

a48.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tan.tan21tan249.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()333tantan3tan3tantan()tan().

13tan23350.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T.

2；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T.中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

51.正弦定理

abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

53.面积定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222221(3)SOAB(|OA||OB|)(OAOB).2（1）S54.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB).222k55.简单的三角方程的通解

sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特别地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;

(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=ac+bc.59.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

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只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10.53.a与b的数量积(或内积)ab=|a||b|cosθ．61.ab的几何意义

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=(x1x2y1y2).

63.两向量的夹角公式

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则A||bb=λax1y2x2y10.ab(a0)ab=0x1x2y1y20.66.线段的定比分公式

PP2，则设P112的分点,是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PPx1x2xOP11OP2OPyy12y111）.OPtOP1(1t)OP2（t167.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3,).3368.点的平移公式

"注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).

"""""x"xhxx"h"OPOPPP.""yykyyk69.“按向量平移”的几个结论

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（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为yf(xh)k.

(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(xh)k.

(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

"""""""222（1）O为ABC的外心OAOBOC.

（2）O为ABC的重心OAOBOC0.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.

（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．2333（3）abc3abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值推广已知x,yR，则有(xy)(xy)2xy（1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy|最小；当|xy|最小时,|xy|最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与

2212s.422ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有绝对值的不等式当a>0时，有

xax2aaxa.

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xax2a2xa或xa.

75.无理不等式（1）f(x)0f(x)g(x)g(x)0.

f(x)g(x)f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或.

g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]2（2）（3）76.指数不等式与对数不等式(1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x178.直线的五种方程

（1）点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab（5）一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,①l1||l2A1B1C1；A2B2C2中国教育开发网中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

②l1l2A1A2B1B20；80.夹角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan|12|.

A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan|直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是81.l1到l2的角公式

.2k2k1.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan直线l1l2时，直线l1到l2的角是

.282．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线

xx0),其中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

BxAy0,λ是参变量．

83.点到直线的距离

AB84.AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.

85.(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：

d|Ax0By0C|22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

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