高中数学知识点总结_导数的应用

高中数学知识点总结_导数的应用

导数的应用、复数

1.用导数研究函数的单调性。yf(x)在区间(a,b)内可导，若f"(x)>0，则yf(x)在

(a,b)上递增;若f"(x)[巩固2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（07浙江理8）

OA．

xOB．

xOC．

xOD．

xyyyy

//

[巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f(x)>g(x),若a>b，则（）A．f(a)>g(b)B．g(a)解析：f"(x)3x22axb0，∴f/(1)=2ab30①

2f(1)1abaa4a3或10②由①②得：b3b11a3当时，f"(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)无极值，舍去；b3当a4b11时f/(x)3x28x11，函数f(x)在x1处左减右增，有极小值；

此时∴f(2)18。注：在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入f/(x)检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对f/(x)再次求导，看f为负则有极大值。

[巩固1]已知f(x)ax3bx2cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数,又f()2132.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,

//为0则无极值，为正则有极小值，(x0)的值，

求m的取值范围.

[举例2]设函数f(x)ax2blnx，其中ab0．证明：当ab0时，函数f(x)没有极值点；当ab0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值．（07高考山东文21）3.求yf(x)在闭区间内的最值的步骤：（1）求导数f"(x)（2）求导数方程f"(x)=0的根（3）检查f"(x)在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式f"(x)≥0及再确定函数的极值；最后将极值与f"(x)≤0确定函数yf(x)在给定区间内的单调情况，区间端点的函数值比较以确定最值。

32[举例1]设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的x[0，3]，都有f(x)c成立，求c的取值范围．

2解析：（Ⅰ）f(x)6x6ax3b，由f(1)0，f(2)0．解得a3，b4．

222（Ⅱ）f(x)c在[0，3]上恒成立即cfmax(x)，x[0，3]

由（Ⅰ）可知，f(x)2x9x12x8c，f(x)6x18x126(x1)(x2)．当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0；当x(2，3)时，f(x)0．

3即f(x)在[0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当x1时，f(x)取得极大值

3时，f(x)的最大值为f(3)98c．f(1)58c，又f(3)98c．故当x0，于是有：98cc2，解得c1或c9，因此c的取值范围为(，1)(9，)。[举例2]已知定义在正实数集上的函数f(x)12x2ax，g(x)3alnxb，其中

22a0．设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同．用a表示b，

并求b的最大值；

解析：设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．

3ax2∵f(x)x2a，g(x)，由题意f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)．

122x2ax3alnx0b，00223a即由x02a得：x0a，或x03a（舍去）．23ax0x2a，0x0即有b1252a2a3alna22252a3alna．

122令h(t)t3tlnt(t0)，则h()t2(1t3nl)t22．于是当t(13lnt)0，即0te31时，h(t)0；当t(13lnt)0，即te时，h(t)0．故h(t)在0，e3为增函数，

131213∞为减函数，∴h(t)在(0，在e3，∞)的最大值为he3e3．2[巩固1]设函数f(x)ln(2x3)x，求f(x)在区间，的最大值和最小值．

44231[巩固2]已知函数f(x)ax6axb，其图象为曲线C

（1）直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值

（2）是否存在实数a、b，使f(x)在［-1、2］上取得最大值为3，最小值为-29。若存在，求出a、b的值，并指出函数y=f(x)的单调递增区间；若不存在，请说明理由。

324．复数包括实数和虚数，实数是虚部为0的复数；-1的“平方根”为i，i=-1，ii，

32i=1，(1i)2i；复数运算遵循有理式的运算法则；复数的商一般将分母“实数化”

（分子分母同乘分母的共扼复数）；两个虚数不能比较大小；两个复数相等当且仅当它们的实部相等，虚部也相等；复数abi（a∈R，b∈R）在复平面内唯一对应点（a，b）。[举例1]设a是实数，且A．

12a1i1i2322是实数，则a（）

D．2

a1(1a)i2

a1iB．1

1i2C．

=

解析：=

a(1i)21i∈R，则a1

[举例2]已知a，bR，且2ai,bi（i是虚数单位）是实系数一元二次方程

x2pxq0的两个根，那么p，q的值分别是（）AＡ．p4，q5Ｃ．p4，q5解析：分别将2ai,2

Ｂ．p4，q3Ｄ．p4，q3

2bi代入方程得：(2ai)p(2ai)q0①

(bi)p(bi)q0②对①②整理得：

2pqa240(p4)a0；解得：p4，q5。本题也可以用“韦达定理”求解：2pbqb10p2b02aibip③，(2ai)(bi)q④对③④整理得：

2bpa1a10b2。2baqp4ab20q5[巩固1]在复平面内，复数z=

12i对应的点位于

（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限[巩固2]设复数z满足A．2i

12izi，则z（）

B．2iC．2iD．2i答案

1、[巩固1]a2，[巩固2]D，[巩固3]D，2、[巩固1]f(x)2x33x2．0m≤12．

[巩固2]；3、[巩固1]f17171[巩固2]（1）a=,b=(2)a=2，b=3f(x)在(-1,0)ln15152416上单调递增;a=-2，b=-29f(x)在(0、2)上单调递增。4、[巩固1]D，[巩固2]C

扩展阅读：高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记

1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？

答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？

答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？

答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特别地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特别地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特别地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)

②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？

答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b上的极值；

⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？

答：分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质有哪些？

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1

1dxba

ababbbbb性质5若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0

①推广：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaa②推广:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定积分的取值情况有哪几种？

答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识有哪些？答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

数学选修2-2推理与证明知识点必记

13.归纳推理的定义是什么？答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。．．．．14.归纳推理的思维过程是什么？答：大致如图：

实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点有哪些？

答：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义是什么？

答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.类比推理的思维过程是什么？答：

观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义是什么？

答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。．．．．19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论20.“三段论”可以表示为什么？

答：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？

答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.什么是综合法？

答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24什么是间接证明？

答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤是什么？

答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。．．．26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？原结论词反义词原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个一个也没有至少有两个至多有n-1个至少有n+1个对任意x不成立p或qp且q反义词存在x使成立p且qp或q对所有的x都成立存在x使不成立27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反．．．．

28.如何归缪矛盾？

答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛．．．．．．．．．．．．．．．．盾．

29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤是什么？．．．nnN答：(1)证明：当n取第一个值时命题成立；00．．．．(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.．．．．．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记

30.复数的概念是什么？答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集．．．．

Cabi|a,bR叫做复数集。

规定：abicdia=c且，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。

实数(b0)31．数集的关系有哪些？答：复数Z一般虚数(a0)

虚数(b0)纯虚数(a0)32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.什么是复平面？

答：根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对

(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此

复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.如何求复数的模(绝对值)？答：与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模(也叫绝对值)记作

z或abi。由模的定义可知：zabia2b2

35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？

答：①复数的加、减法法则：z1abi与z2cdi，则z1z2ac(bd)i。

注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。．．②复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbdadbci。③复数的除法法则：

abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做实数化因子36.什么是共轭复数？

答：两复数abi与abi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虚根，则10，2(9)设

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