高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义

高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义

导数的定义及几何意义

1．f/(x0)limf(x0x)f(x0)xx0叫函数yf(x)在xx0处的导数，记作y|xx0。

/注：①函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。③

yx是函数yf(x)对自变量x在x范围

内的平均变化率，它的几何意义是过曲线yf(x)上点（x0，f(x0)）及点（x0+x，

/f(x0x0)）的割线斜率。④导数f(x0)limf(x0x)f(x0)x是函数yf(x)在

x0点x0的处瞬时变化率，它反映的函数yf(x)在x0点处变化的快慢程度，它的几何意义是

f(x0x)f(x0)x曲线yf(x)上点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。⑤若极限lim不

x0存在，则称函数yf(x)在点x0处不可导。⑥如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导；此时对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f/(x)，称这个函数f/(x)为函数简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：yf(x)在开区间(a,b)内的导函数，

求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

/[举例1]若f(x0)2，则limf(x0k)f(x0)2k等于：

k0(A)-1(B)-2(C)1(D)1/2

/解析：∵f(x0)2，即limf[x0(k)]f(x0)knk0=2limf(x0k)f(x0)2kn1=-1。

k0[举例2]已知a0,n为正整数设y(xa)，证明y"n(xa)n

解析：本题可以对y(xa)展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：

/ylim(xxa)(xa)xn1n1nnx0=

x0lim(xa)Cn(xa)xCn(xa)x2n2(x)Cn(x)(xa)2nnn=x0limn(xa)n1xCn(xa)2n2(x)Cn(x)2nnxn1=

nn1x0lim[n(xa)Cn(xa)2n2xCn(xa)3n3(x)Cn(x)t1t22]=n(xa)n1。

2[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为：S定义求t=3时的速度。

2t，试用导数的

[巩固2]设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为q0时，产量变化q对成本的影响可用增量比

CqC(q0q)C(q0)q刻划.如果q无限趋

近于0时，

Cq无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为q0时，增

加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)＝8＋A．2

x28，则生产8个单位产品时，边际成本是：（）B．8

C．10

1xD．16；

/2．常用导数公式：c"0,(xn)"nxn1,(ex)/ex，(lnx)导数的运算法则：若函数f(x)与g(x)的导数存在，则[f(x)g(x)]"f"(x)g"(x),

[cf(x)]"cf"(x)，[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；(f(x)g(x))////f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)2//（这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比）；

"""复合函数的导数：由yf(u)与u=(x)得到复合函数yf(x)，则yx=yu.ux。[举例1]已知f(x)xxf(1)x，则f(2)=。

//2////解析：f(1)是常数，∴f(x)3x2xf(1)1f(1)=3+2f(1)-1f(1)=-2

32//∴f(x)3x4x1，故f(2)=3。

123n[举例2]nN，Cn2Cn3CnnCn=。

/2/解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法（kCn=nCn1）；这里，我

n012233nnkk们观察(1x)CnCnxCnxCnxCnx①，不难发现其通项Cnx求

kk1导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：

n(1x)nCn2Cnx3CnxnCnx1232nn1，令x=1得：Cn2Cn3CnnCn=n2

123nn[巩固1]已知f(x)x1ln2x2alnx(x0)．令F(x)xf(x)，则F/(x)=。[巩固2]已知函数f(x)(x1)(2x1)(3x1)(nx1)，则f/(0)的值为：A．Cn2B．Cn21C．An2D．An21

3．函数f(x)在xx0处的导数f"(x0)的几何意义：曲线C:yf(x)在其上点P(x0，y0)处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。

1[举例1]曲线ye2在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．

92e

12x

xＢ．4e2

122Ｃ．2e2

xＤ．e2（07高考海南理10）

121解析：ye2y/e2，则]曲线在点(4，e)处的切线斜率为：1222e，

22∴切线方程为：yee(x4)，它与坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-e）；

∴切线与坐标轴所围三角形的面积为：e2，选D。

[举例2]函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是：yx8，若点P的横坐标为5，则f(5)f/(5)=。

解析：本题没有函数表达式，但有切线方程yx8，注意到“切点在切线上”，∴P（5，3）；又“切点在曲线上”，∴f(5)3；而曲线yf(x)在点P处的切线斜率为f/(5)，即f(5)=-1，故f(5)f(5)=2。

[举例3]已知直线xy10与抛物线yax相切，则a______.

解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式=0，从而求出a的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P（x0，y0），y2ax，则有：

x0y010（切点在切线上）①；y0ax0（切点在曲线上）②

2//2/2ax0=1（切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：a14。

12x2，则

[巩固1]已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y（07高考湖北文13）f(1)f(1)＿＿＿＿．[巩固2]点P是曲线yx3x23上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范

围是A、0,2B、0,333,C、,D、,244243

2

[巩固3]若直线y=x是曲线y=x-3x+ax的切线，则a=___________

4、注意区分“求曲线yf(x)上过点M的切线”与“求曲线yf(x)上在点M处的切线”；前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点。[举例]求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程

解析：易见O（0，0）在函数y=x-3x+x的图象上，y=3x－6x+1,但O点未必是切点。设切点A（x0,y0）∵y=3x－6x+1,∴切线斜率为3x0－6x0+1,又切线过原点，∴kAOy0x0’

2232’2

=3x02－6x0+1即：y0=3x03－6x02+x0①

又∵切点A（x0,y0）y=x3-3x2+x的图象上∴y0=x03－3x02+x0②由①②得：x0=0或x0=

32，∴切线方程为：y=x或5x+4y=0

点评：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。

以下给出简单证明（不要求学生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为f(x)ax3bx。若M（x1，y1）是三次曲线f(x)ax3bx上的任一点，设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0，y0），则切线方程为yy0f(x0)(xx0)，因点M上此切线上，故y1y0f(x0)(x1x0)，又y0ax0bx0,y1ax1bx1，所以ax1bx1(ax0bx0)(3ax0b)(x1x0)，

2整理得：(x0x1)(2x0x1)0，解得，x0x1或x033332x12。当点M是对称中心即x1=

-

x12=0时，过点M作曲线的切线切点是惟一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称

中心即x10时，过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。

[巩固]曲线yx2x4x2上过点(1，3)的切线方程是．

答案

1．[巩固1]

32327，[巩固2]A，2、[巩固1]F(x)11342xx2x，x0；[巩固2]B；

3、[巩固1]3，[巩固2]B，[巩固3]1或；4、[巩固]5xy20，或21x4y

扩展阅读：高中数学导数知识点

导数知识点

考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数的导数公式

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．

（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

知识要点

导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导导数的运算导数的运算法则函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值数1.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f"(x0)，切线方程为

yy0f(x)(xx0).

"2．导数的四则运算法则：

(uv)uvyf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)"""""""

(uv)vuvu(cv)cvcvcv（c为常数）

uv""""""""vu"vuv2"(v0)3.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f"(x)＞0，则yf(x)为增函数；如果f"(x)＜0，则yf(x)为减函数.⑵常数的判定方法；

如果函数yf(x)在区间I内恒有f"(x)=0，则yf(x)为常数.

4.极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f"(x)＞0，右侧f"(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f"(x)＜0，右侧f"(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f"(x)=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①：若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f"(x)=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数yf(x)x3，x0使f(x)"①

=0，但x0不是极值点.

是函数的极小值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x05.极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

6.几种常见的函数导数：

x)cosxI.C"0（C为常数）(sin(x)nxn"n1"s)sinx（nR）(cox(loagx)x"""II.(e(lnx)x""1x

x1xxlogae

)e(a)alna

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